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1、数学试卷6.1平方根、立方根1了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根2能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题3知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根4能运用算术平方根解决一些简单的实际问题1平方根(1) 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做a的平方根，a也叫做二次方根换句话说，如果x2 a，那么 x 叫做 a 的平方根，例如 22 4，( 2)24，则 4 的平方根是2 和 2( 也可合写为± 2) ， 2 和 2 都是 4 的平方根(2) 平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相
2、反数；0 的平方根是0；负数没有平方根(3) 平方根的表示：正数 a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a”，读作“根号 a”，另一个是 a 的负的平方根，记作“a”，读作“负根号 a”，这两个平方根合起来可记作“±a”，读作“正、负根号 a”，其中 a 叫做被开方数【例 1 1】求下列各数的平方根：363 2(1)0.64 ； (2)25； (3) 2分析： 要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根解： (1) ( ±0.8) 20.64 ， 0.64 的平方根是± 0.8 6
3、236366(2) ± 5 25， 25的平方根是± 5.2 3 2(3) ±22，3323 2的平方根是± 2.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因32为表达形式的改变而改变，如 2是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的3平方根仅有 2.【例 1 2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由252(1) 16； (2)0 ； (3) 4； (4) 0.49 ；(5)( 3)分析：数学试卷数的序号存在情况原因(1)有 2个因为是正数，所以有两个平方根(5) 有 2个(3)无因为是负数，所以没有
4、平方根(4)无(2)有 1个0 的平方根是它本身2525解： (1) 因为 16是正数，所以 16有两个平方根5 225255由于 ±4 16，所以 16的平方根是± 4.(2)0 只有一个平方根，是它本身(3) 因为 4 是负数，所以 4 没有平方根(4) 因为 0.49 是负数，所以 0.49 没有平方根(5) 因为 ( 3) 2 9，所以 ( 3) 2 为正数，有两个平方根 由于 9 的平方根是± 3， 所以 ( 3) 2 的平方根是± 32算术平方根的概念正数 a 的正的平方根 a叫做 a 的算术平方根 .0 的算术 平方根是 0. 因此如果 x
5、2a，那么正数 x 叫做 a 的算术平方根平方根与算术平方根的区别与联系(1) 区别：表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a；正数 a 的算术平方根表示为a.个数不同： 一个正数的平方根有两个， 它们互为相反数； 一个正数的算术平方根只有一个性质不同： 一个正数的平方根有两个，可以是负数； 一个非负数的算术平方根一定是非负数平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和 1(2) 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有 非负数才有负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例 2】求下列各数的算术
6、平方根：(1)196 ； (2)1716.； (3)9x，使 x2分析： 根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数a，则 x 就是 a 的算术平方根(1)因为 142 196，所以 196 的算术平方根是147164 21616474(2)因为 19 9，3 9 ，所以 9 的算术平方根是3，即 19的算术平方根是 3.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根 .16表示的是 16 的算术平方根，所以 16 4由于 22 4，所以 4 的算术平方根是 2，即 16的算术平方根是 2解： (1)19614(2)1716 4.993(3)因为16
7、4,4的算术平方根是2，所以 16的算术平方根是 2求正数 a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数求一个分数的算术平方根或平方根， 当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方16 4根，不要出现149 17的错误3开平方数学试卷(1) 求一个数的平方根的运算叫做开平方(2) 用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可例如，用计算器求 529 与 44.81 的算术平方根：在计算器上依次键入529 ，显示结果为23，因此529 的算术平方根为529 23在计算器上依次键入44.81 ，显示结果为6.940 2
8、71 88，如果要求精确到 0.01 ，那么44.81 6.94 (1) 平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程(2) 开平方是平方的逆运算我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确(3) 平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数和指数2，求幂，是m平方运算，即2a 和指数 2，求底数，是开平方，即2m ( ？ ) ；已知幂( ？ ) a.(4) 选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作【例 3】求下列各式中未知数的值：(1) x2 25； (2)(2 a 3) 2 16分析： 如果
9、一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根， 它有一正一负两个值(1) 因为 x2 25，所以 x 就是 25 的平方根，有两个，是± 5；(2) 将 2a 3 看成一个整体，根据平方根的定义易知2a3 就是 16的平方根，是± 4，即 2a 3± 4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可解： (1)因为 ( ±5) 225，所以 x± 5(2) 因为 ( ±4) 2 16，所以 2a 3± 41当 2a 3 4 时，解得 a 2.当 2a3 4 时，解得 a72.故所求17a 的值是 或 .22利用开平方解方程的
10、方法是：先把方程化为x2m( m0) 的形式，然后根据开平方得到 x± m. 特别地，要注意整体思想的应用4立方根(1) 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a 的立方根 ( 也叫做三次方根 ) 也就是说，如果x3 a，那么 x 叫做 a 的立方根(2) 立方根的表示方法：数3a”，读作“三次根号a”，其中 a 是被a 的立方根记为“开方数， 3 是根指数，这里的根指数“ 3”不能省略【例 4】求下列各数的立方根：3(1)27 ； (2) 27； (3)3 8； (4) 0.064 ； (5)0 ； (6)5分析： 求一个数 a 的立方根，关键是求出满足等式
11、x3a 中 x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁解： (1)因为 33 27，所以327 3(2) 因为 ( 3)3 27，所以3 27 3数学试卷3273327333(3)因为 38 8，而 28，所以382.(4)因为 ( 0.4)3 0.064 ，3所以 0.064 0.4(5) 因为 03 0，所以 3 0 0.(6)35 的立方根是 5.开方开不尽的数，保留根号，如本题3(6) ， 5 的立方根是 5.5开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方开立方与立方互为逆运算 我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根被
12、开立方的数可以是正数、负数和 0；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根(2) 用计算器求一个数的立方根及近似值用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按 2ndf键，再按书写顺序按键即可例如用计算器求31 845 ，在计算器上依次键入 2ndf3845 ，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01 ，则 1 8451的立方根为 12.263，即 1 845 12.26 【例 5】解方程：(1)125x3 27 0；(2)(5 3) 3 343x分析： (1)把原方程变形为x327 后，可知 x 是27的立方根
13、(2) 把 5x 3 看做整体，125125则易知它是343 的立方根，其值可求，在此基础上可求x.解： 因为 125x3 27 0，所以3273x.故.125x5(2) 因为 (5 x 3) 3343，3所以 5x 3343 7，即 5x 10故 x 2利用开立方解方程的方法：先把方程化为x3 m的形式， 然后根据开立方得到3xm. 特别地，要注意整体思想的应用6立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是0.(1) 立方根的符号与被开方数的符号一致；(2) 一个数的立方根是唯一的；(3) 3 a 3 a， 3 a3 a， ( 3 a) 3 a.【例 6】下列语
14、句正确的是() A64的立方根是2B 3 是 27 的立方根数学试卷1255C216的立方根是±6D ( 1)2 的立方根是 1解析： 因为 64 8，而 2 的立方等于 8，所以64的立方根是2，即 A 正确，解答时不要把“求 64的立方根”误解为“求64 的立方根”； 因为 3 的立方是 27，所以 3 是 27的立方根是错误的；因为51251255的立方是，所以的立方根是 ，因此 C 是错误的；因为 ( 621621661) 2 1，它的立方根是 1，而不是1，所以 D 是错误的故本题选A答案： A(1) 任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2) 任何数的立方根只有一个，而正
15、数有两个平方根7用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型(1) 一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零33(2) 对于立方根来说， 任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知， aa，也就是说， 求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可(3) 当两个数相等时，这两个数的立方根相等反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数【例 7
16、1】已知2x 1 和 x 11 是一个数的平方根，求这个数分析：因为 2 1和x 11 是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x 1 和xx11 相等或互为相反数当2x 1 和 x 11 相等时，可列出方程2x 1x 11，当 2x 1 和x 11 互为相反数时，可列出方程2x 1 x 11 0，从而求出 x 的值，进一步可求出这个数解： 根据平方根的定义，可知2x 1 和 x 11 相等或互为相反数2 441；当 2x 1 x 11 时， x 10，所以 2x1 21，这时所求的数为 ( 21)当 2x 1 x 11 0 时， x 4，所以 2x1 7，这时所求的数为 72 49综上可知
17、，所求的数为49 或 441【例 7 2】若 32a 1 35a 8，求 a2 012 的值分析： 根据立方根的唯一性和33a，可知 2a 1 与 5a 8 互为相反数， 从而可 a构造出关于 a 的一元一次方程2a 1 (5 a8) 进一步可求出a2 012 的值解：因为32a 135a 8，所以32a13a，即 2a 1 (5 a 8) 解得 a 1故 a2 012 ( 1) 2 012 18非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有：(1) 绝对值 | a| 0；(2) 平方 a20；(3) 算术平方根 a具有双重非负性： a本身具有非负性，即 a0；算术平方根a的被开方数具有
18、非负性，即a0.非负数有如下性质：数学试卷若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、 认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0 的形式此类问题可以分成以下几种形式：) 20，| |一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题| (0，( ) 2 0，甚至同一道题目中出现这三个内容 | ( )20；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的
19、性质进行计算【例 8 1】如果 y 2x 11 2x2，则 4xy 的平方根是 _ 1解析：因为 2x10且 12x0，所以 2x 1 1 2x0，即 x2. 于是 y2x 111 2x2 2因此 4x y4× 22 4故 4x y 的平方根为± 2答案： ±2x2 44x22的值【例 8 2】如果 yx 2 2 012 成立，求 x y3x240,4 x20，因此，只有x2 40，分析： 由算术平方根被开方数的非负性知即 x± 2；又 x20，即 x 2，所以 x 2， y 2 012 ，于是得解解： 由题意可知 x240且 4 x20，因此 x24
20、0，即 x± 2又 x20，即 x 2， x 2， y 2 012故 x2 y 3 22 2 012 32 013 【例 8 3】已知 1( 2)20，求 ( ) 2 012 的值abab分析： a 1表示 a 1 的算术平方根，所以a1为非负数因为 ( b 2)2 为偶次幂，所以 ( b 2) 2为非负数 由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可解：因为 a 10， ( b2) 20，且a 1 ( b 2) 2 0，所以a 1 0，( b 2) 2 0，解得 a 1， b 2故 ( ab) 2 012 (1 2) 2 012 19利用方根探索规律(1) 可以利
21、用计算器探究被开方数扩大( 或缩小) 与它的算术平方根扩大( 或缩小) 的规律规律：如果将被开方数的小数点向左( 右 ) 每移动2 位， 则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1 位即当被开方数扩大( 或缩小 )100 倍时，其算术平方根相应地扩大( 或缩小 )10 倍；当被开方数扩大 ( 或缩小 )10 000倍时，其算术平方根相应地扩大( 或缩小 )100 倍.(2) 可利用计算器探究被开方数扩大 ( 或缩小 ) 与它的立方根扩大 ( 或缩小 ) 的规律规律：如果将被开方数的小数点向左( 右 ) 每移动 3 位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1 位即当被开方数扩大( 或
22、缩小 )1 000 倍时，其立方根相应地扩大( 或缩小 )10 倍；当被开方数扩大 ( 或缩小 )1 000 000倍时，其立方根相应地扩大( 或缩小 )100 倍.(3) 还可利用方根为问题背景进行规律的探索【例 9】 (1) 观察下列各式：1111111323，2 434，35 45，请你将发现的规律用含自数学试卷然数 n( n1) 的等式表示出来_(2) 借助计算器可以求出42 32， 442332， 4442 3332，观察上述各式特点，猜想： 44423332 _.n个n个解析： (1)第一个等式右边的 2 比左边被开方数里的 1 大 1，被开方数1与左边被开方数311的 3相同且
23、3 比 2 大 1；第二个等式右边的3 比左边被开方数里的2 大 1，被开方数4与左边111被开方数 4相同且4 比 3大 1，故有n n 2 ( n1)n 2( n1) (2) 借助计算器，可以分别求得42 32 5， 442 332 55， 4442 3332 555，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5 组成的， 且 5 的个数为相应式子的左边4 或 3的个数决定，故猜想44423332 =5555 .n个n个n个1答案： (1)nn 2 ( n1)(2) 555 5n个1n 2( n1)10平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题与
24、平方根、 立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可注意求出的结果要符合实际问题的实际意义【例 10 1】计划用100 块地板砖来铺设面积为16 m2 的客厅，求需要的正方形地板砖的边长解： 设地板砖的边长为x m，根据题意，得 100x2 16，即 x2 0.16 ，所以 x±0.16± 0.4 由于长度不能为负数，所以x 0.4(m) 故地板砖的边长为 0.4 m.【例 10 2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，( 每个面由 9 个小正方体面组成 )体积为 216 cm3，求组成它的每个小正方体的棱长3a cm，由题意得 (3 a) 3 216于是 27a3解：设小正方体的棱长为a cm，则玩具的棱长为 216， a3 8， a 2(cm) 故每个小正方体的棱长为2 cm.