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1、第7讲抛物线课时作业 分层训练.提号能力基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题2 11. （2015合肥质量检测）抛物线x=尹的焦点坐标为（）A. 2, 0 B. 0, 2 C. 8, 0 D. 0, 1解析 抛物线x2 = 2y的焦点坐标是0, 2 .答案 D2. （2014沈阳质量监测）已知抛物线y2= 2px（p>0）的准线与曲线x2 + y2 4x- 5= 0相切，则p的值为（）1 1A. 2B. 1C.2D.4解析 曲线的标准方程为（x 2）2 + y2= 9,其表示圆心为（2, 0）,半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x= p,由抛物线的准线与圆相切得2 +3,解得p=
2、 2,故选A.答案 A3. 点M（5, 3）到抛物线y= ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是（）2A. y= 12x2B.y= 12x2 或 y=-36x22C. y= 36xD.y= x2 或 y=-丄2"36x解析分两类a>0,a<0 可得 y=gx21 2，y= 36x.答案 D2 24. （2014潍坊一模）已知抛物线y2 = 2px（p>0）的焦点F与双曲线:一* = 1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK|=, 2AF|,则A点的横坐标为A. 2 2B. 3C. 2 3 D. 4解析 抛物线的焦点为P, 0 ,准线为x
3、=号.双曲线的右焦点为(3, 0),所以P =3,即p= 6,即y2= 12x.过A做准线的垂线，垂足为 M，则|AK匸,2AF|= 2AM|,即|KM 匸 |AM|,设 A(x, y),则 y = x+ 3,代入 y2= 12x, 解得x= 3.答案 B5. (2014新课标全国U卷)设F为抛物线C: y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则 OAB的面积为()3、39、.3小 639A. 4B. 8C.32D.4解析易知抛物线中p=2，焦点f 4，0, 法一直线AB的斜率k=h， 故直线AB的方程为y=f x 3 ,22 219代入抛物
4、线方程y = 3x,整理得x _2_x+花=0.21设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 + x2 = y.213由抛物线的定义可得弦长|AB匸X1 + x2+ p = "2 + 2= 12,3法二 由抛物线焦点弦的性质可得 ABL-2牛=乎 =12,sin 9 sin 30°结合图象可得O到直线AB的距离d = psin 30°=, 所以 OAB的面积S= 2AB| d=4.答案 D二、填空题6. (2014北京海淀区模拟)若抛物线y2 = 2px(p>0)的准线经过双曲线x2y2= 1的左顶点，则p=解析 由题意知抛物线的准线为x= p
5、,双曲线X (y1 + y2 + y3) 所以原式=2p = 0.答案0 三、解答题9. 如图，已知抛物线y2 = 2px(p>0)有一个内接直角三角 形，直角顶点在原点，两直角边 OA与OB的长分 别为1和8,求抛物线的方程.y2= 1的左顶点为(一1,0), 所以一 2=- 1, P= 2.答案27. (2014银川质量检测)已知一条过点P(2, 1)的直线与抛物线y2= 2x交于A, B 两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为.解析 依题意，设点A(X1, y1), B(x2, y2)，则有2x1, y2= 2x2,两式相减得22y1y22y1 y2 = 2(X1 x2),
6、即卩=1,直线AB的斜率为1,直线AB的方程x1 X2 y1 + y2是 y 1= x 2, 即卩 xy 1= 0.答案 x y 1 = 08. (2015沈阳质量监测)已知抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F,AABC的顶点都在111抛物线上，且满足FA+ FB + FC = 0,则茨+臥+忘=.解析 设点 A(X1, y1), B(x2, y2), C(X3, y3), F p 0 ,则 X1 p, y1 + X2p, y2 (p 、+ X3 2， y3 =(0, 0),故 y1 + y2 + y3 = 0.因为1X2 X1kABy2 y11 2 22p( y2yi)y2 y1y
7、2 + y1亍，同理可知1y3 + y2kBc = 2p ，1y3 + y1kcA= 2p ，解 设直线OA的方程为y= kx, kM0,则直线OB的方程为肓：，得x= 0或x*.y =2px,k A点坐标为 巻,2p，同理得B点坐标为(2pk2, 2pk),由|OA匸1, |OB匸8,可得Sp2k2 (k2 + 1)*解方程组得k6= 64,即k2 = 4.又p>0,则p=25,故所求抛物线方程为y2 = 455x.2 210. (2014陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：字+含二厂y1(a>b>0, y>0)和部分抛物线 C2: y= x2 + 1(y< 0
8、)连接而成，C1与C2的公共点为A, B,其中C1的离心率rr谱(1)求a, b的值；1Q(均异于则卩2= = 4则 p k2 (k2+ 1)5.过点B的直线I与C1, C2分别交于点P, 点A, B),若APIAQ,求直线I的方程.解在C1, C2的方程中，令y= 0,可得I 半椭圆C1的左、右顶点.设C1的半焦距为c,由及a2 c2= b2 =a 2b= 1,且 A( 1, 0), B(1, 0)是上1 得 a= 2.二 a= 2, b= 1.2由知，上半椭圆C1的方程为卷+x2= 1(y> 0)易知，直线I与x轴不重合也不垂直，设其方程为y= k(x 1)(kM 0),代入C1的方
9、程，整理得2 2 2 2(k2+ 4)x2 2k2x+ k2 4= 0.(*) 设点P的坐标为(xp, yp),直线I过点B，二x= 1是方程（*）的一个根.由求根公式，得ik2 4点p的坐标为匚4，8kk2 + 4 .同理,k (x 1)(山0), y= x2 + 1 (y< 0)得点Q的坐标为（一k 1, k2 2k）.4)， AQ= k(1， k+ 2). API AQ，a AP AQ = 0， 即k4(k+ 2) = 0，T心0,8 k4(k+ 2) = 0,解得 k= 3.经检验，8k= 3符合题意，8故直线I的方程为y= 3（x 1）.能力提升题组（建议用时：25分钟）2,7
10、11. （2015青岛模拟）已知P是抛物线y = 2x上动点，A 2, 4，若点P到y轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,则d1 + d2的最小值是（）911A. 4B.2C. 5D.y12. （2O14四川卷）已知F为抛物线y = x的焦点，点A, B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA OB = 2（其中O为坐标原点），则 ABO与厶AFO面积之和的最小值是A. 2B. 3C17D. . 1OJ0Z cBX解析 如图，可设A(m2, m), B(n2, n),其中m> 0,nvO,则OA= (m , m), OB= (n , n), OA oB= m n + mn=2,解得 mn=
11、1(舍)或 mn= 2.222Jab： (m n )(y n)= (m n)(x n ), 即(m+ n)(y n) = x n2,令 y= 0,解得 x= mn= 2,C(2, 0).1 1Szaof= X 4X m=.9m m=3,当且仅当8m1 1Szaob= Szaoc+ Szboc = qX 2X m+ qX 2 x ( n) = m n,119928m,贝U Saaob+ Saaof= m n + 8m=8m n = gm+ 帚2=m，即m= 3时等号成立故 ABO与 AFO面积之和的最小值为3.III324答案 B13. （2015南昌模拟）抛物线C: x2= 8y与直线y =
12、2x 2相交于A, B两点，点P是抛物线C上异于A, B的一点，若直线PA, PB分别与直线y= 2相交于点Q,R, O为坐标原点，贝U OP 解析设A xi,管,B X2,R(X4, 2).将 y=2x 2 代入 x2= 8y 得 x2 16x+ 16= 0,贝U xi + X2=xiX2= 16.8 8xo X1X0 Xo+ X1(x xo),即 y 8 =(X-xo).2 xo 2 直线PA的方程为y x0二xixo+ 16令y= 2,解得X3=X1 + xoX2X0 + 16同理可得X4=.X1 + X0xixo+ 16 X2X0 + 16所以 X3X4=X Xl+ X0X2 + X0
13、X2X1X0+ 16xo (Xi + X2)+ 16216 (X2X1 + 16xo + xo)2 = 2=16,X2X1 + 16x0 + X0X2X1 + 16x0 + X0所以 OR OQ = X3X4 + 4= 20.答案 20/X14. 已知抛物线C的顶点为0(0, 0),焦点为F(0, 1).(1)求抛物线C的方程；过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直 线AO, B0分别交直线I: y=x-2于M , N两点, 求|MN|的最小值.解 (1)由题意可设抛物线 C的方程为 x2 = 2py(p>0),则2= 1,所以抛物线C的方程为x2=4y.设 A(X1, y1), B(X
14、2, y2),直线 AB 的方程为 y= kx+ 1.y= kx+ 1,2由彳2消去y,整理得x2-4kx-4 = 0,x = 4y所以 X1 + X2 = 4k, X1X2=- 4.从而 |X1-X2| = 4 , k2 + 1.y1y= X1X,y=x-2,84 X12x12x1解得点 M 的横坐标 XM =2X1 y1X1X1- 418同理，点N的横坐标XN = 4.所以 |MN|= ,2Xm Xn|= 28 - 84 X14 X2=8 ：2X1 X2X1X2 4 ( X1 + X2)1= 8V/k2+ 1+ 16 =|4k-3|,令 4k- 3= t, t丰0,贝U k=.当 t>0 时，|MN|= 2 225+ 6 + 1>2 2.当t<0时,mna2也讹+営+ 2|>5羽.254综上所述，当t=25即“4时,8|MN|的最小值是52.1解析 因为点P在抛物线上，所以d1 = |PF| 2（其中点F为抛物线的焦点），则 d1 + d2= |PF|+ |PA|AF|2= 2 1 2 + 42-1二 5 = 2，当且仅当点 P 是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.答案 B