1、第3章 线性系统的时域分析法例题解析例3-1 设一阶系统的微分方程为其中T,且T-0.707,n2;(2)0.50,4n2;(3)0.7070.5,n2.解: 在s平面上系统的极点特征根是:s1,2=-njn,n和阻尼角cos=的关系如图3-2(a)所示。（1）当10.707,n2时,有:1cos0.707.即000,4n2时,有:0.5cos0,即600900,对称部分为 9000,kt0.1k。例3-12 求图3-11所示系统的稳态误差值。5解: 系统的闭环传递函数为 +由劳斯判据知,系统是稳定的. R(s)=1/sY(s)由输入引起的误差为 图3-11 系统结构图所以稳态误差 扰动传递函
2、数(令R(s)=0)为由扰动引起的误差为所以稳态误差为 故由输入和扰动共同引起的误差为例3-13 某单位反馈随动系统的开环传函为试计算闭环系统的动态性能指标%和ts值。解: 这是一个高阶系统,我们注意到极点-500离虚轴的距离较极点s=0,s=-5离虚轴远的多,这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小,因此可以忽略该极点,而使系统近似为二阶系统.近似原则如下:a)保持系统的稳态值不变;b)瞬态性能变化不大。根据这个原则,原开环传递函数近似为:近似后的闭环传递函数为所以则 %=100%=26%例 3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为（1）闭环系统稳定时k值的范围;（2）若要闭环特征方程的根的实部
3、均小于-1,问k的取值范围.解: 闭环特征方程为即 （1）列劳斯阵列如下欲使系统稳定,只需解得 (2) 若要求特征根实部均小于-1,可令s=s1-1,将s平面映射为s1平面,只要特征根全部处于s1平面左半平面就可以了.整理得 列劳斯阵列欲使D(s1)的根全部处于s1的左半平面则要求解得 即k值处于这个范围,可使D(s)的根实部全小于-1。此时可以认为系统具有1的稳定裕度。 例3-15 设系统结构如图3-12所示,试确定闭环系统的稳定性。R(s)Y(s)-图 3-12 系统结构图解: 闭环系统的传递函数为可见,闭环系统有一个极点在s右半平面,系统是不稳定的。例3-16 某反馈控制系统的方框图如图
4、3-13所示，试求：（1）信号流图；（2）闭环传递函数；（3）判别系统稳定性，并求不在左半 s 平面的特征根数。图3-13解:（1）画出系统信号流图，如图3-14所示。图3-14（2）用梅逊公式求闭环传递函数:（3）系统特征多项式为，列劳斯表： s5 1 0 -1 s4 2 0 -2 s3 s2 -2 s1 0 s0 -2 劳斯表第一列元素变号一次,说明系统有一正根.解辅助方程得可见，系统在右半 s 平面有 1 个根，在虚轴上有 2 个根,左半 s 平面有 2 个根。 图3-15例3-17 控制系统结构图如图 3-15 所示。(1) 希望系统所有特征根位于 s 平面上 s=-2 的左侧区域,且
5、不小于 0.5.试画出特征根在 s 平面上的分布范围(用阴影线表示).(2) 当特征根处在阴影线范围内时，试求 K,T 的取值范围.(3) 试求出系统跟踪单位斜坡输入时的稳态误差.(4) 为使上述稳态误差为零，让单位斜坡输入量先通过一个比例微分装置,如图3-16所示.试求出适当的Kc值。图3-16解: (1) 要求的特征根分布范围如图3-17 所示。 图 317 图3-17 特征根的分布范围 图3-18 参数范围 (2) 可得 令得 1) 特征方程: 由劳斯判据可得,系统稳定的条件是 T0 K0 2) 特征根 3) 令Res=-1/2T-2,得 T T1T2K1K2即可满足稳定条件(2) 故
6、N(s)例3-19 如图 3-20 所示系统.试求:G2G1E(s)C(s)R(s)图 320(1)当 r(t)=0,n(t)=1(t) 时,系统的静态误差 ess。(2) r(t)=1(t),n(t)=1(t) 时,系统的静态误差 ess(3)若要减少 ess，则应如何调整 K1,K2?(4)如分别在扰动点之前或之后加入积分环节,对 ess有何影响? 图3.9 例3.4解: 系统开环传递函数为 开环增益K=K1K2(1) (2) 由静态误差系数法可知,r(t)=1(t) 引起的稳态误差由叠加原理得(3) 由上式可看出:增加 K1 可同时减少由 r(t), n(t) 阶跃型输入所产生的稳态误差
7、增加 K2 只对减小由 r(t) 阶跃输入所产生的稳态误差有效。(4) 在扰动点之前的前向通道中加入积分环节，可使系统成为一阶无差系统,利于提高系统的稳态指标 (不论对控制输入还是扰动)；在扰动后的前向通道加积分环节,对减小扰动作用下稳态误差无效。例 3-20 复合系统的方框图如图3-21 所示, 前馈环节的传递函数。当输入 r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的静态误差为零，试确定前馈环节的参数 a和b。C(s)E(s)K1Fr(s)R(s)图3-21解: 系统误差传递函数为： 可见,只有令时才能满足要求.由此得出 例3-21 控制系统如图3-22 所示。试在 KP-KD 平面上画出:（
8、1）稳定区域和不稳定区域.（2）临界阻尼比轨迹以及欠阻尼区域和过阻尼区域.（3）加速度误差系数Ka为 40 s-2的轨迹.（4）自然振荡角频率 为 40rad/s 的轨迹.R(s)C(s)图3-22R(s)解: (1) 系统稳定条件 KD0 KP0 1)(2) 令,得 2) 图3-23(3) 得 3)(4) 得 4)依式 1)、2)、 3) 及式、4) 可以画出图 323,以表示各相应轨迹及区域。例322 已知系统结构如图 324所示。(1) 要使系统闭环极点配置在-5j5 处，求相应的 K1,K2值;(2) 设计 G1(s),使之在 r(t) 单独作用下无稳态误差;(3) G2(s),使之在
9、 n(t) 单独作用下无稳态误差。G1(s)G2(s)N(s)E(s)R(s)C(s) -图3-24解: (1) 令D(s)=s2+(K1K2+1) s+K1=(s+5+ j5)(s+5- j5 )=s2+10s+50比较系数得 K1=50 K2=9/50(2) 依题意令,得 G1(s)=(3) 令,得G2(s)=sR(s)K1E(s)C(s)-例3-23 设控制系统结构如图 3-25 所示，其中 K1, K2 为正常数,为非负常数.试分析:(1)值对系统稳定性的影响;(2)值对系统阶跃响应动态性能的影响;(3)值对系统斜坡响应稳态误差的影响. 图3-25 解: (1) 系统特征方程为可见:当
10、0 时. 系统稳定;当=0 时,系统临界稳定.(2) 当增大时，阻尼比增大,超调量%减小.(3) 系统开环传递函数 K=当 r(t)=t 时, ess=1/K=可见稳态误差会随增大而增大例 3-24 已知 4 个二阶系统的闭环极点.分布图如图3-26(a) 所示.试按表格形式比较它们的性能.答案见图3-26（b）。图 326（a）比较项目系统组别 振荡频率（高、低）阻尼系数（大、小）衰减速度（快、慢）1低中慢2高小慢1低中慢3高中快1低中慢4低大快 图3-27图3-26 （b）例 3-25 已知控制系统结构图如图3-27所示。(1) 当不存在速度反馈 (b=0)时，试确定单位阶跃输入时系统的阻
11、尼系数，自然频率，最大超调量,以及由单位斜坡输入所引起的稳态误差。（2）确定系统阻尼比等于 0.8 时的速度反馈常数b 的值,并确定在单位阶跃输入时系统的最大超调量和单位斜坡输入所引起的稳态误差。(3) 怎样使 (2) 的保持不变而使其稳态误差等于 (1) 问的稳态误差值?解: (1) 当 b=0 时,开环传递函数 闭环传递函数 当 r(t)=t 时, (2) 当时. 令 故 b=0.151+bsC(s)R(s)E(s) 图 3-28 当r(t)=t时 (3) 用比例加微分串联校正可以达到目的,如图 3-28所示。这时要在原闭环系统基础上多引入一个闭环零点。例 3-26 已知系统结构图如图3-
12、29 所示，单位阶跃响应的,峰值时间.试求:(1) 开环传递函数G(s);(2) 闭环传递函数(3) 根据已知性能指标及tP确定参数 K 及。(4) 计算等速输入 (恒速值 R=1.5(0)/s)时系统的稳态误差. C(s)KR(s)图3-29解:(1) (2) (3) 令 解出 又因故 (4) 由(1)得开环增益 K=系统型别 v=I故当r(t)=Rt=1.5t时,利用结构静态误差系数法得ess=例3-27 系统结构如图3-30所示。已知传递函数K0G(s)KhR(s)C(s)G(s)=今欲采用负反馈的办法,将调节时间tS减小为原来的0.1倍,并保证总放大倍数不变.试确定参数Kh和K0的数值
13、 图 330 解: 根据题意,最终闭环传递函数应为由结构图可知得 解出 例3-28 某控制系统结构如图3-31,图示G1(s)的单位阶跃响应为(1) 若r(t)=20,求系统稳态输出;(2) 求系统超调量,调节时间ts,和稳态误差ess;R(s)E(s)N(s)C(s)G1(s)25图3-31(3) 若n(t)为可测量的阶跃扰动信号,为消除扰动对稳态输出的影响,试设计顺馈补偿装置并画出相应的系统结构图解：(1)依题意 (2) 故 R(s)E(s)N(s)52C(s)开环传递函数 故 R(s)E(s)N(s)25C(s)(3) 图3-32给出了两种为消除扰动信号影响而设计的顺馈补偿方案。 图3
14、32 (a) 图3-32（b）例3-29 系统结构图如图3-33(a)所示,其单位阶跃响应为c(t)如图3-33(b)所示,系统的稳态位置误差ess=0.试确定K,v和T值.R(s)C(s) (a) (b)图3-33解: 依题意 因当r(t)=1(t)时,，故应有I。由图333(b)可见,系统响应是收敛的,说明系统稳定。特征式中不应缺项。应有 当时,分子分母之差3-1=2,此时,系统单位阶跃响应初始斜率为0,与题意不符,故只能有 I。依图3-33(b)得 K=10得 T=K/10=1因此有 K=10 T=1例3-30 The block diagram description of the
15、English Channel boring machine is shown in fig.3.1.The transfer function of the output due to the two input isK+11sG(s)Boring machineD(s)+Y(s)AngleR(s) DesiredAngleE(s)_+FIGURE3.1 block diagram modle of a boring machine control systemThe effect of the control gain K on the transient response is show
16、 in Fig.3.2 along with the script english 1.m used to generate the plots. Comparing the two plots in parts (a) and (b) ,it can be seen that decreasing K decreases the overshoot. Although it is not as obvious from the plots in Fig. 3.2,it is also true that decreasing K increases the settling time. Th
17、is can be verified by taking a closer look (at the MATLAB command level)at the date used to generate the plots. This example demonstrates how the transient response can be altered by feedback control gain K. Base on our analysis thus far ,we would prefer to use K=20. Other considerations must be tak
18、en into account before we can establish the final design.Before making the final choice of K, it is important to consider the system response to a unit step disturbance, as shown in Fig.3.3.We see that increasing K reduces the steady-state response of y(t) to the step disturbance. The steady-state v
19、alue of y(t) is 0.05 and 0.01 for K=20 and 100,respectively. The steady-state errors, percent overshoot, and settling times (2% criteria) are summarized in Table 3.1. The steady-state values are predicted from the final-value theorem for a disturbance input as follows: If our only design considerati
20、on is disturbance rejection, we would prefer to use K=100. (a) (b)english 1.m%Response to a Unit Step Input R(s)=1/s for K=20 and K=100%numg=1;deng=1 1 0;sysg=tf(numg,deng);K1=100;K2=20;num1=11 K1;num2=11 K2;den=0,1;sys1=tf(num1,den);sys2=tf(num2,den);%sysa=series(sys1,sysg);sysb=series(sys2,sysg);sysc=feedback(s
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