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1、一、双曲线知识点总结:1.双曲线的定义(1)第一定义：当|PF! |PF2|h2a ：|F1F2|时，P的轨迹为双曲线当|PFi|-門|=2a IF1F2I时,P的轨迹不存在当| pf1 _pf2 |=2a =尸店2时，P的轨迹为圧FF2为端点的两条射线(2 )双曲线的第二义平面内到定点 F与定直线1(定点F不在定直线I上)的距离之比是常数e( e 1 )的点的轨迹为双曲线2与双曲线务a-1共渐近线的双曲线系方程为:b22.双曲线的标准方程与几何性质标准方程质焦占八、八、(c,0),(-c,0),焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线渐近线22与双曲线笃a2 2 2 y2 =1共
2、轭的双曲线为爲一冷=1 bb a等轴双曲线x2-y2二a2的渐近线方程为 y二x，离心率为e= .2 ；1注意定义中“陷阱问题1：已知F1(-5,0), F2(5,0)，一曲线上的动点 P到F1, F2距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置3问题2:双曲线的渐近线为 y =- x，则离心率为 2二、双曲线经典题型:1.定义题：1. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到 了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在
3、同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，至俩定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.解析如图，以接报中心为原点 0,正东、正北方向为 x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C 分别是西、东、北观测点，则A (- 1020, 0), B (1020 , 0) , C ( 0, 1020)设P ( x,y)为巨响为生点，由 A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分 线P0上，P0的方程为y= x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|- |PA|=340X4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得 a=680, c=1020,用 y= - x
4、 代入上式，得 x = _680.5 ,： |PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680.10m处.22. 设P为双曲线x2=1上的一点F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|： |PF2|=3: 2,12则厶PF1F2的面积为()A . 6.3B. 12C. 12'. 3D. 24解析：a =1,b = ,12,c =、13,由 |PR |:|PF2 |=3:2又 I PR | - | PF2 |=2a =2,由、解得 |PF1|=6,|PF2 |=4.|PF1|2|PF?|2 =52,厅应,52,.PF1F2为1 1直角三角形.S PF1F2|
5、 PF1 | | PF2 |6 4 =12.故选2 23. 如图2所示，F为双曲线C : x y 1的左916焦点，双曲线C上的点R与P74(i= 1,2,3)关于y轴对称，贝V RF| + P2FI + P3F RF RF F6F 的值是()A . 9 B. 16 C. 18D. 27解析RF F6F| = F2F RF| = |RF RF =6，选 C2 24. P是双曲线 务-占=1(a 0,b 0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距a b为2c,则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为()(A) -a(B) -b(C) 一c(D) a b c解析设 PF1F2的内切圆的圆心的
6、横坐标为 x0 ,2 25.若椭圆 =1 m -m n2xn - 0与双曲线a=1 (a - b - 0)有相同的焦点F2,P是两条曲线的一个交点，则a. m aB.IPF1I IPF2I 的值是1 m a2C.m2-a2D.【解析】椭圆的长半轴为+ PF2双曲线的实半轴为ja, pf1 - pf2O -（2 ） : PF12.求双曲线的标准方程PF2 =4(ma戶 PF1x21已知双曲线C与双曲线一16PF2 = m a，故选A.2=1有公共焦点，且过点（3 2 ,2）.求双曲线C的方程.【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组2x解析解法一：设双曲线方程为 a22=1.由题意易求
7、c=25 .又双曲线过点（3'、2 , 2）, b(3歼 _ a2 b2.又 a2+b2= (2 5 )2 2，a =12,2xb2=8.故所求双曲线的方程为12解法二：设双曲线方程为=1.82x16 k将点（3 .2 , 2）代入得2.已知双曲线的渐近线方程是2y = 1.8y x，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程2k=4,所以双曲线方程为2X12解析设双曲线方程为x2 -4y22当-0时，化为=1 ,25 =10 =20,2、- 5 =10. - -20 ,2 2 2 2综上，双曲线方程为1或上一12055203以抛物线y2 =8 , 3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线
8、是 x _ 3y = 0的双曲线方程为解析抛物线y2 =8 3x的焦点F为(2、3,0)，设双曲线方程为x2-3y2=，2 2x y_9 一 34 .(2、. 3)2. =9，双曲线方程为34已知点M (-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为2 2A . X2 - y 1 (X ： -1)B. x2 - y 1 (x 1)8 822 yC. x1 (x > 0)8解析PM -PN二BM -BN =2 , P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲 线的右支，选 B3.与渐近线有关的问题1若双曲线x2=
9、1(a0,b 0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 ()A. ' 2B. . 3C. . 5D. 2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a,b,c的关系c2b2解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b = 2a , e22 =12 = 5 ,所以e5，通过a, b, c的比例关系可以求离心率aa【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系也可以求渐近线方程3.焦点为(0, 6),且与双曲线2xr-y2"有相同的渐近线的双曲线方程是2112242 2-J =112242 2小 y x c .124122xy2D .124122 22.双曲线-仏=1的
10、渐近线方程是()49A2A. yxB.y = -xC.y =_3x9D. yx3924解析选C解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选4过点（1, 3）且渐近线为y=-1x的双曲线方程是2【解析】设所求双曲线为2x 2.-y k4点（1, 3）代入:35 .代入（41）：2x 2 Vy35 4 4y2x2【评注】在双曲线3535=1即为所求2Xa2 b=1中,2丄-0 2 . 2a bf-r0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2a2，而无须考虑其实、虚轴的位置4.几何故知 PF1F2是直角三角形，/ F1P F2=90 ° .1PF-i PF2 = X
11、：6X：4=12.选 B.25求弦1.双曲线A.y = 2x -1 B.y =2x -2 C.D.=2x 3x2 -y2 =1的一弦中点为（2, 1）,则此弦所在的直线方程为X1 X2 yr y2【解析】设弦的两端分别为 AWy ）,B（X2,y2 ）.则有:-2 2 .产27=（丈-创"2-£）=0二 2 x2 - y2 = 1% - x2x!x2 = 4弦中点为（2, 1）, |yy2.故直线的斜率X1 -X2X1X2yr y2=2.则所求直线方程为：y-1=2 x-2 = y=2x-3，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它但是，“设而不求”的手段应当慎用 .不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：22.在双曲线x2 -1上，是否存在被点 M（ 1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直2线方程；如不存在，请说明理由 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证由这里拱-16 -24 0 ,故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件此外，上述解法还疏忽了 一点：只有当为=X2时才可能求出k=2.若为=x2，必有y1 = y2二0 说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件结论；不存在符合题设条件的直线