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1、第五章习题1 .华中某食品公司为市场提供四种口味的月饼，有豆沙、莲蓉、火腿、蛋黄，需要的 主要原料是：面粉、红豆、鸡蛋、糖、腿肉。由于市场需求量大，公司库存原料有限，无法 完成接收的订单，公司管理层希望在资源有限的条件下，使利润最大化，因此需要确定各种口味月饼产量的最优组合。 管理科学小组经调查得到每种口味月饼每箱利润、公司各种原料库存量以及制作各种月饼对每种单位需求量如下表(表5-28):表 5-28消一、月/耗点、饼原一豆沙莲蓉火腿蛋黄资源限制面粉8090809520000红豆3010051200鸡蛋10510503600糖15105103000腿肉053002500单位利润(元/箱)80
2、0750600730(1) 建立此问题的线性规划模型；(2) 用Excel规划求解此线性规划问题，并生成灵敏度分析报告；(3) 如果豆沙月饼单位利润增加到950元，其它参数不变，运用敏感性分析报告确定最优解是否改变；(4) 假设公司有机会以单价 5元购得100单位的糖，公司是否应该购买这批糖，为 什么？(5) 公司发现有200单位的腿肉已经变质，只能仍掉，最优解是否改变？总利润又 会有什么影响？解：线性规划模型设Xj为第j种口味月饼的产量，j 1,2,3,4Max z 800x1 750x2 600x3 730x480x190x280x395x42000030x110x25x4120010x1
3、5x210x350x43600s.t.15x110x25x310x430005x230x32500x1,x2,x3,x40 用Excel规划求解此线性规划问题:豆沙莲蓉火腿蛋黄资源限 制关系资源消 耗面粉8090809520000>=18641.4红豆3010051200>=1200鸡蛋10510503600>=3600糖15105103000>=1781.9腿肉053002500>=2500单位利润（元/ 箱）800750600730095.51724167.41379348.965517总利润147831灵敏度分析报告:可变单元格单元格名字终值递减成本目标式
4、系数允许的 增量允许的 减量$B$20厂量豆沙0-1150799.999999911501E+3$C$20产量莲蓉95.517241380750810383.3333334$D$20产量火腿67.413793106002300525.263157、$E$20产量蛋黄48.965517240730249540,约束单元格名字终值阴影 价格约束 限制值允许的 增量允许的 减量$H$14>=资源消耗18641.379310200001E+301358.62069$H$15>=资源消耗120062.206896551200186.7298578923.333333：$H$16>=资源
5、消耗36008.37931034536001158.8235292366.666667$H$17>=资源消耗1781.896552030001E+301218.10344f$H$18>=资源消耗250017.206896552500596.9696972057.894737根据敏感性分析报告，豆沙月饼利润的允许增量为1150,豆沙月饼单位利润增加到950元，最优解不会改变。根据敏感性分析报告，糖的影子价格为0,不应该购买，因为糖还有剩余，没必要花钱再买；根据敏感性分析报告，月！肉的允许减量为2057.89,最优基不变，利润将减少17.20689655 义 200=3441.379.
6、5.已知线性规划问题:maxZst3x12 x1 x1xi713二 乂2乂322X2X2 0x3 24 4x3 60 i 1,2,3的最优单纯形表（表 5-29）如下:表 5-29CbXbxix2x3x4x5b3xi1304-13613/2x30-1/21-11/26-Z0-9/40-11/2-1/4-147其中X4、(i)X5分别表示第一、第二个约束的松弛变量。要保持现有最优解不变，分别求Xi、X2目标系数的变化范围;当第二个约束右端项由 60减少到50时，最优解如何变化?解：Xi为基变量，目标系数的变化将影响所有非基变量检验数: 令Ci的增量为Ci,CjCB PjCjCbCi)Pj)Pj，
7、故而,Ci)P2CiCi)P4112Ci31一24P5Ci所以,Ci最优解不变。4X2为非基变量，目标系数的变化将只影响令C2的增量为C2,'' c'2C2 - CB P2'C2C2 -CBP2所以，当C29,最优解不变。4当第二个约束右端项由60减少到Xi_ iB 1bX3i036I3 CX-42CiCiX2检验数:C2CiC250时，计算右端项的值:B 1bi0Ci11836i046CiC2i07.已知线性规划问题maXZ2X13x2X3x42X5Xi2x2X3X43x5s.tXi2x22x32x4xX6、X7,化为标准型后，用单纯形法求得的最优单i,2,3
8、,4,5CbXbXiX2X3X4X5X6X7b2Xi1100X7011对第一、第二约束分别引入松弛变量 纯形表（表5-3i）如下：表 5-3i-Z(1) 求B 1并完成以上单纯形表；(2) 写出原问题与其对偶问题的最优解；(3) 分析约束右端项b变为3时最优解的变化;(4) 增加一个新的约束条件x1 2x2 x3 x41最优解如何变化？,1 0解：B 1101 12X1121131060X70433211100-7-1-3-8-20-12T对偶问题的最优解：Y* 2 0 0 7 1 3 81 0 33tb'，所以 X* 3 0 0 0 0 0 71 1 47将X* 6 0 0 0 0
9、0 10 T代入新的约束条件，显然不满足，2X11211310060X704332110100X81-2-110001-1(T0-7-1-3-8-200122X11211310060X704332110100X80-4-20-3-101-7(T0-15-7-9-12-4-20122X110011.50.500.52.50X70-203-2.5-0.511.5-0.51X302101.50.50-0.53.5(T0-10-9-1.5-0.5-2-3.58.52X110011.50.500.52.5-3X2010-1.51.250.25-0.5-0.750.251X30013-10113(T000
10、-10.5-0.25-0.25-2.5-4.257.25原问题的最优解：X*一 .一5129最优解：X*300000下一2 449.某公司生产A、B、C、D四种产品，每种产品需要甲、乙、丙三道工序。公司管理 层希望能合理安排各种产品数量以获利最大，各产品在各工序中需要的工时、各工序的最大供给工时和各产品的单位利润如下表(表5-33):表 5-33)位工X品 盛ABCD供给工时数甲121016800乙1.52451000丙0.50.612340单位利润(元)8143050用X1、X2、X3、X4分别表示A、B、C、D产品的生产量，建立线性规划模型并求得最优单纯形表(表 5-34)如下：表 5-3
11、4CbXbX1X2X3X4X5X6X7bX20111191 . 5-10200X110-12-22-220400X7000.41.60.1-0.4120-Z00-28-40-5-20-6000(1) 产品C的单位利润增加多少时，才会生产产品C;(2) 为使最优方案不变，产品 B的单位利润最多能减少多少？(3) 如果工序甲的最大供给工时数 匕有变化，若使管理层只生产 A、B两种产品，匕的变化范围是多少？(4) 相邻的公司愿意以每工时 4元的价格提供100个甲工序工时，管理层是否应该 接受？解：可变单元格单元格名字终值递减成本目标式 系数允许的 增量允许的 减量$B$78r# a400081.81
12、81818181$C$78J里B20001422.105263158$D$78J里C0-2830281E+30$E$78J里D0-4050401E+30约束单元格名字终值阴影 价格约束 限制值允许的 增量允许的 减量$H$74>=工时消耗8005800200133.3333333$H$75>=工时消耗10002100050200$H$76>=工时消耗32003401E+3020 产品C的单位利润增加 28时，才会生产产品 C;3''c3CbP3c3c3'Cb P33c328c30c328令C2的增量为C2,所以,cjCB Pjc2c2C2C24019c
13、jC2CbC2)PjC20 0 Pj',故而,11P3P4P5)P62,-28-40 -5 -c2c2C2C2最优解不变120.419221.61.5-20.10.4-28-11 c2 0-40-19 c2-5 15 c2 02c20c2c2C228114019103c22为使最优方案不变，产品 B的单位利润最多能减少2.1 ;如果工序甲的最大供给工时数匕有变化，若使管理层只生产 A、B两种产品，0的变化范围是 200031000。bi11X B 1b B 1 b 00biB 1b B 1002001.5400220.110b12000.410得至上2001.5b14002b120.1
14、b1200 1.5 1bl400 2 b102 0.1 b1bib14003200b120400b12002000b11000(4)由于甲工序工时的影子价格为5,允许增量为200,相邻公司的报价为 4,供应量100,应该接受。10.用单纯形法求解下列参数线性规划问题maxZ x st x s-t 2为xi(3 2x2 2x2 2x2 0 i)x1 (5 2 )x2 (4 风x3 62x3 3x3 41,2,3解:0x5020-111-53xi14/301/301/310/30-5/30-11/30-M+1/362/34x302102/31/3-2/30x40-201-1-153xi12001/
15、32/35/3j0I -900-11/3-M-10/37/3由于本问题参变量为价值系数，它的变化只会影响最优性，与可行性无关，故本问题无可行解。(2)maxZ 3x1 4x5 2x6Xi2x4x5 x68stx2x4 2x5x6 2x3 人x52x632xi 0 i 1,2,3,4,5,6解:c342000B-1bCBxBx1x2x3x4x5x6b93x11002-118-14x2010-12-12-12x300111-232j000-4-7538(3)0x61002-111 8-14x2110110(10-22x32015-10190j-500-14-2078(8),8-0 由5 可知5时，
16、10-20存在最优解：X* 0 10 -219 0 0 8 -z* 78 85,由最优单纯形表第二行可知，无可行解。5 X* 0 10-219 0 0 8- z* 78 85无可行解(3)minZ 3x1 2x2 3x32x1x2 4x3 8 2stx1 ,x2 ?3 2x1 2x2 3x3 10xi 0 i 1,2,3解:Cj-3-2-3000B-1bCBxbx1x2x3x4x5x6b90x4-2-1-4100-8-20x51-11010-210x6123001101-3-2-3000010-3x31/21/41-1/40021/20x51/2-5/401/410-41/20x6-1/25/
17、403/4014-1/2CT j-3/2-5/40-3/400-6-3/2-3x33/501-1/51/506/53/5-2x2-2/510-1/5-4/5016/5-2/50x600011100-200-1-10-10-1由最优单纯形表可知：当0时，X* 0 3.2 1,2 0 0 0 , Z' 106 3c 0上心 -5 50X* 0 3.2-0.41.2 0.60考虑，由 5 5-2816 210-0550 02时，1.2 0.60,原最优解不可行，迭代运算如下表Cj-3-2-3000B-1bCBxbx1x2x3x4x5x6b9-3x33/501 P-1/51/506/53/5-
18、2x2-2/510-1/5-4/5016/5-2/50x600011100-200-1-10-10-1当 8时，1.2 0.60,第二约束条件不满足，原最优解不可行,迭代运算如下表Cj-3-2-3000B-1bCBXBX1X2X3X4X5X6b9-3X33/501-1/51/506/53/5-2X2-2/510-1/5-4/5016/5-2/50X600011100-200-1-10-10-1-3X31/21/41-1/40021/20X51/2-5/401/410-41/20X6-1/25/403/4014-1/2CT j-3/2-5/40-3/400-6 1-3/2由上表可知，当 8时，第二和第三约束条件必 有一个不满足, 即无可行解存在。由上表可知，当 2时，20,第一和第三约束条件必 有一个不满足，即无可行解存 在。综上所述-2随着 的变化，本问题的最优 解与最优值变化如下：2无可行解X* 0 3.2-0.41.2 0.60 0 08z* 10无可行解