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1、第五节 双曲线热点考点题型探析一、复习目标：1、了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质； 2、 双曲线的几何元素与参数 a,b,c 之间的转换二、重难点 : 运用数形结合，围绕“焦点三角形” ，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何 元素转换成参数 a,b,c 的关系 三、教学方法： 探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、热点考点题型探析考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1：运用双曲线的定义 例 1 （2006 ·广东 ） 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北 两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听
2、到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测 点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置 .（ 假定当时声音传播的速度为 340m/ s : 相关各点均在同一平面上 ） 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的 解析 如图， 以接报中心为原点 O，正东、 正北方向为 x 轴、y 轴正向， 建立直角坐标系 . 设 A、 B、C分别是西、东、北观测点，则 A（ 1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设 P（x,y ）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得 |PA|=|PC| ，故 P在 AC的垂直平分线 PO上， PO的方程为
3、 y=x，因 B 点比 A点晚 4s 听到爆炸声，故 |PB| |PA|=340 × 4=1360由双 曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线2x2a2 y1 b2 1 上，依题意得 a=680, c=1020 ，b2 c2 a2故双曲线方程为102022x680268022y5 34023402用 y= x 代入上式，得 x680 5 ， |PB|>|PA|,x 680 5,y 680 5,即P( 680 5,680 5), 故PO 680 10答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m处.【反思归纳】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
4、题型 2 求双曲线的标准方程22x2y2例 2 已知双曲线 C与双曲线 16 4 =1有公共焦点，且过点（ 3 2 ，2）.求双曲线 C的方程解题思路】运用方程思想，列关于 a,b, c的方程组2x 解析 解法一：设双曲线方程为 a22y2b2 =1. 由题意易求 c=2 5(3 2)2又双曲线过点（ 3 2 ，2），a24 b2 =1.又 a2+b2=( 2 5 )2，a2=12，b2=8.x2故所求双曲线的方程为12 82y2=1.x2解法二：设双曲线方程为2 y216 k 4 k 1，将点（ 3 2 ，2）代入得 k=4 ，所以双曲线方程22x2 y 2为 12 8 1.【反思归纳】求双
5、曲线的方程，关键是求 准线）之间的关系，并注意方程思想的应用 考点 2 题型 1a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、 c、e 及 例 3双曲线的几何性质 求离心率或离心率的范围22x2 y2 1,(a 0,b已知双曲线 a2 b20）的左，右焦点分别为 F1,F2，点 P在双曲线的右支上，且 |PF1| 4|PF2 |，则此双曲线的离心率 e的最大值为解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决解析由定义知 |PF1| |PF2| 2a ，又已知 |PF1| 4|PF2|，解得8PF1aPF22a3，cos F1PF2在 PF1F2 中，由余弦定理，得64 2 4 2 2 a a
6、 4c992 8a317892e8，要求 e 的最大值，即求 cos F1PF2 的最小值，当 cos F1PF21时，解得5即 e的最大值为 3 反思归纳】 （ 1）解法 1 用余弦定理转化，解法2 用定义转化，解法 3 用焦半径转化；2）点 P 在变化过程中，|PF1 |PF2 | 的范围变化值得探究；3）运用不等式知识转化为 a,b,c 的齐次式是关键题型 2 与渐近线有关的问题 例 4 （07 ·宁夏海南 ） 若双曲线2x2a2 y b21(a0,b 0） 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. 2B. 3C. 5D.2解题思路】通过渐近线、离心率等几
7、何元素，沟通a,b,c的关系 解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故 b2ae22c2ab22a5, 所以 e 5反思归纳】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系, 通过a,b,c 的比例关系可以求离心率也可以求渐近线方程（二）、强化巩固训练1、焦点为（ 0，6），且与双曲线 222y2 1 y 224 B 12 24有相同的渐近线的双曲线方程是2xA 12 解析 从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选22y2x2 1C 24 122 x 242y 2 1122 x 2、（08江苏 6）设 P为双曲线2 y 12上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点，若 |PF1| ：|PF2|
8、=3 ： 2，则 PF1F2 的面积为A 6 3B12C 12 3D24解析： a 1,b 12,c 13,由| PF1 |:| PF2 |3:2 又 |PF1 | |PF2 | 2a2,由、解得 |PF1 | 6,| PF2 | 4.| PF1 |2| PF2 |252,| F1F2 |2 52,PF1F2为 直角三角形，PF1F2112|PF1|PF2|1 6 4 12.2 故选 B。22xy223、P 是双曲线 ab1(a0,b0） 左支上的一点，F1、F2 分别是左、右焦点，且焦距为2c，则 PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标为（）（A） a（B） b（C） c（D） a b c解析设
9、 PF1F 2的内切圆的圆心的横坐标为 x0 ，由圆的切线性质知，PF2 PF1 |c x0 | |x0 ( c)| 2ax0a4、(08 年上海)以抛物线 y 8 3x的焦点 F为右焦点 ,且两条渐近线是 x 3y 0的双曲 线方程为 . 解析 抛物线 y 8 3x 的焦点 F 为 (2 3,0) ，设双曲线方程为 x 3y ，224 (2 3)29 x y 13 ，双曲线方程为 9 35、已知点 M( 3,0) ， N(3,0) ，B(1,0) ，动圆C与直线 MN切于点 B，过M 、N与圆 C相切的两直线相交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为22 xy1(x1)2y x1(x1)A8B8
10、222 xy12y x1( x1)C8(x >0 )D 10解析 PM PN BM BN 2， P点的轨迹是以 M 、 N为焦点，实轴长为 2 的双曲线 的右支，选 B22e12 e22点，且满足 PF1 PF20，则 (e1e2) 的值为 ( C )1A 2B1C2D不确定 解析 C.设|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2m， |PF1 | a m，|PF2 | a m2 2 211222a2 m2 2c2222(a m)2(a m)24c2e1e26、设 e1， e2分别为具有公共焦点F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共(三)、小结： 本课主要探析了二个考点两种题型，它是高考考查的重点，要求大家掌握五 种题型的解法，并在题目中能熟练的识别和运用，教师引导学生抓住重点题型反思，进一步 深化理解。(四)、作业布置： 复资 P123 页 2、5、 6、7 课外练习： 限时训练 50 中 1、 4、5、 6、 9、10、 11五、教学反思：