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1、学习必备欢迎下载不等式选讲知识点一、绝对值不等式1绝对值三角不等式定理 1：如果 a,b 是实数，则 |a+b| |a|+|b|,当且仅当ab 0 时，等号成立。注：（ 1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a ， b 不共线时， | a + b | | a |+|b | ，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（ 2）不等式 |a|-|b| |a ±b| |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b| |a|+|b|，在侧“ =”成立的条件是ab 0，左侧“ =”成立的条件是ab 0 且|a| |b|;不等式 |a|-|b| |a-b| |a|+
2、|b|，右侧“ =”成立的条件是ab 0，左侧“ =”成立的条件是 ab 0 且 |a| |b| 。定理 2：如果a,b,c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)时，等号成立。2绝对值不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式|x| a 与|x| a 的解集不等式a 0a=0a0|x| ax|-ax a|x| ax|x a 或 x -a x|x R 且 x 0R注： |x| 以及 |x-a|± |x-b|表示的几何意义（|x| 表示数轴上的点x 到原点 O 的距离； |x-a |± |x-b|）表示数轴上的点x 到点 a,b 的距离之和（差）
3、（ 2） |ax+b| c(c 0) 和|ax+b| c(c 0) 型不等式的解法 |ax+b| c-c ax+b c; | ax+b| cax+b c 或 ax+b -c.（ 3） |x-a|+|x-b| c(c 0) 和 |x-a|+|x-b| c(c 0) 型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法学习必备欢迎下载1比较法（ 1）作差比较法理论依据：a ba-b 0;a ba-b 0.证明步骤：作差变形判断符号得
4、出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（ 2）作商比较法理论依据：0,a1;bbabb0, a1a;bb证明步骤：作商变形判断与1 的大小关系得出结论。2综合法（ 1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（ 2）思路： 综合法的思索路线是 “由因导果” ，也就是从一个 （组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3分析法（ 1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需
5、条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（ 2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、 条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4放缩法（ 1）定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（ 2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。