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1、2. 2.4点到直线的距离【学习目标1. 了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题3初步掌握解析法研究几何问题的方法.II问题导学知识点一点到直线的距离思考1你能说出求点 Rxo, yo)到直线I : Ax+ By+ C= 0的距离的一个解题思路吗?思考2根据思考1的思路，点P到直线Ax+ By+ C= 0的距离d怎样用A, B, C及xo, yo表示？思考3点到直线的距离公式对于当A=0或B=0时的直线是否仍然适用?梳理点到直线的距离及公式的长度.公式：d =知识点二两条平行直线间的距离思考 直线 I i: x + y 1= 0 上有
2、 A(1,0)、B(0,1)、C( 1,2)三点，直线丨2: x+ y + 1 = 0 与直线|1平行，那么点 A B C到直线|2的距离分别为多少？有什么规律吗？梳理 两条平行直线间的距离及公式(3)求法：转化为点到直线的距离.的长.公式：两条平行直线 I仁Ax+ By+ C= 0与I 2： Ax+ By+ C2= 0之间的距离d= |_善例1(1)求点P(2 , - 3)到以下直线的距离.41 y = 3X + 3:3 y= 4:x = 3.求过点M 1,2)，且与点A(2,3) , B( 4,5)距离相等的直线I的方程.反思与感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 直线方程应
3、为一般式，假设给出其他形式应化为一般式. 当点P在直线I上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. 直线方程 Ax+ By+ C= 0，当A= 0或B= 0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.跟踪训练1 (1)假设点(4 , a)到直线 4x 3y = 0的距离不大于3，贝U a的取值范围为直线I过点R3,4)且与点 A 2,2) , B(4 , - 2)等距离，那么直线 I的方程为类型二两平行线间的距离例2 (1)两直线3x + y 3= 0和6x + my 1 = 0平行，那么它们之间的距
4、离为 . 直线I到直线li： 2x-y + 3 = 0和丨2： 2x y 1 = 0的距离相等，那么I的方程为反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线I 1： y=kx + b1, 12： y= kx + b,且 bv b2时，d=1 ? 2 b| ;当直线 I 1： Ax+ By+ C = 0, 12： Ax+ pk2+ 1By+ C= 0且Cm C时，d= "C电.但必须注意两直线方程中x, y的系数对应相等.半+ B2跟踪训练2 (1)求与直线I : 5x 12y + 6= 0平行且到I的距离为2的直线方程； 两平行直线I 1,丨2分别过P(1,
5、0) , F2(O,5)，假设I 1与I 2的距离为5，求两直线方程.类型三利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3实数x, y满足6x+ 8y 1= 0,那么Qx2+ y2 2y + 1的最小值为 .反思与感悟解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数转化为“形，从而利用图形的直观性加以解决.跟踪训练3(1)动点P(x, y)在直线x+ y 4 = 0上，O为原点，求| Op最小时点P的坐标;(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.命题角度2有关两平行线间距离的最值例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2) , B( 3, 1)，并且各自绕着点 A B旋转，
6、如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；2求d取最大值时，两条直线的方程.反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.跟踪训练4值为P, Q分别是直线3x + 4y 5= 0与6x+ 8y + 5= 0上的动点，那么| PQ的最小A. 3B. ：'3c迢C. 23D.2甌当堂训练1.点a, 1到直线x y+ 1 = 0的距离为1,贝U a的值为A. 1B. 1C. ：2D ± ,'22.直线x 2y 1 = 0与直线x 2y C= 0的距离为2 ,；5,那么C的值为A. 9B. 11 或9C.
7、11D. 9 或一113 .点M1,2，点Fx, y在直线2x+ y 1 = 0上，那么| MP的最小值是A. ,10B誉C. ：6D. 3 .'54.两平行直线 3x + 4y+ 5 = 0与6x + ay+ 30= 0间的距离为d,贝U a+ d=.5 .直线3x 4y 27= 0上到点F2,1距离最近的点的坐标是 .1一"规律与方法 .1 点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.2 利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.3 .两平行
8、直线，其距离可利用公式d=求解，也可在直线上取一点，转化Qa+ B2为点到直线的距离.合案精析问题导学知识点一思考1由PQL l，以及直线I的斜率为一A,可得I的垂线PQ的斜率为B因此，垂线 PQ的方程可求出.解垂线PQ与直线I的方程组成的方程组， 得点Q的坐标，用两点间距离公式 求出|PQ，即为点P到直线I距离.思考2 d=笃号C.a/A2+ B2CC思考3仍然适用，当 A= 0, BM0时，直线I的方程为By+0，即y = , d= |yo+-BB丨Byo + q| =，适合厶式.1 BCC | Ax? + C 当B= 0, A0时，直线I的方程为 Ax+ C= 0, x = a，d=|x
9、o +入1 = 两 ，适合公式. 梳理1垂线段| Ax0 + By) + qA2+ b2知识点二 思考 点A、B C到直线丨2的距离分别为，：2、，：2、,-'2.规律是当两直线平行时，一条直线 上任一点到另一条直线的距离都相等.梳理1公垂线段题型探究41例 1(1)解 y = 3X+ 3可化为 4x 3y+ 1 = 0,点P2 , 3到该直线的距离为|4 X 2 3X_ 3_ + 1|183 y= 4可化为3y 4 = 0,由点到直线的距离公式，得| 3X 3 4|1302+ 3-=亍 x = 3可化为x 3= 0,由点到直线的距离公式，得21 = 1.解方法一当过点M 1,2的直线
10、I的斜率不存在时,直线I的方程为X =- 1,恰好与A(2,3),氏一4,5)两点的距离相等， 故x = 1满足题意.当过点M 1,2)的直线I的斜率存在时， 设I的方程为y 2 = k(x+ 1),即 kx y+ k + 2= 0.由点A(2,3)与点B( 4,5)到直线I的距离相等，得|2 k 3+ k+ 2| = | 4k 5+ k + 2|k2 + 1= k2+1，解得k= 1,1此时I的方程为y 2 = 3(x + 1),即 x + 3y 5 = 0.综上所述，直线I的方程为x = 1或x + 3y 5 = 0. 方法二 由题意，得I / AB或I过AB的中点， 当I / AB时，设
11、直线 AB的斜率为kAB, 直线I的斜率为kI,5 31那么 kI = kAB=H2 = 3，此时直线1I的方程为y2 = gx + 1),即 x + 3y 5 = 0.当I过AB的中点(一1,4)时，直线I的方程为x = 1. 综上所述，直线I的方程为x = 1或x + 3y 5 = 0.131跟踪训练1(1)-,3 3(2)2 x y 2= 0 或 2x + 3y 18 = 0解析(1)由题意知，.才+ 3131131解得aw3，故a的取值范围为§，.(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x= 3与A、B两点的距离不相等,故可设所求直线方程为y 4= k(x 3),即 kx
12、y+ 4 3k = 0.由，得| 2k 2 + 4- 3k| _ |4 k+ 2 + 4 3k|<1 + ，2 k = 2 或 k = 3,所求直线l的方程为2x + 3y18 = 0或2x y 2= 0.例2 甲解析由题意，得6=m，3 I m= 2.将直线 3x + y 3= 0 化为 6x+ 2y 6= 0, 由两平行线间距离公式，得I i+6| =丄=典62+ 22404 .(2)2 x y + 1= 0解析 设直线I的方程为2x y + C= 0,|3 C | C+ 1|由题意，得丨.22=2 I2,2 + 1 yj2 + 1解得0= 1,直线I的方程为2x y+ 1 = 0.
13、跟踪训练2 解(1)方法一设所求直线的方程为5x 12y + 0= 0,1在直线 5x 12y+ 6 = 0 上取一点 Po(0 , ),那么点R到直线5x 12y+ 0= 0的距离为1| 12"+ 0|2 7| C 6|厅 +12 2=13 .由题意，得耳尹=2, 所以 0= 32 或 0= 20,故所求直线的方程为 5x 12y + 32= 0或5x 12y 20= 0.方法二 设所求直线的方程为 5x 12y+ 0= 0,由两平行直线间的距离公式，I0 6|；52+12解得 0= 32 或 0= 20,故所求直线的方程为5x 12y + 32= 0或5X 12y 20= 0.(
14、2)依题意得，两直线的斜率都存在，设 li： y = k(x 1)，即 kx y k= 0,12： y = kx + 5，即 kx y+ 5 = 0.因为li与I 2的距离为5,所以I= 5，解得k = 0或舟.12所以11和I 2的方程分别为 y = 0和y = 5或5x 12y 5 = 0和5x 12y+ 60 = 0.，7例3忆解析 T .'x2 + y2 2y + 1=，:x 0 2+ y 1 2,上式可看成是一个动点Mx, y)到定点N0,1)的距离，即为点N到直线I : 6x+ 8y 1 = 0上任意一点 Mx, y)的距离， S=|MN的最小值应为点 N到直线I的距离，即
15、 | MNmin = d=|8 1| =；62+ 82=710.OP垂直跟踪训练3解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时 于直线，那么kOP= 1, OP所在的直线方程为 y= x.y= x,x = 2,由解得x+y 4= 0,y= 2.点P的坐标为(2,2).(2)由题意知，过点 P且与OP垂直的直线到原点 O的距离最大,T koP= 2,、 1所求直线方程为 y 2= (x 1),即 x + 2y 5 = 0.例4解(1)设经过点A和点B的直线分别为丨1、丨2,l 1 丄 AB显然当l2± ab时，和l2的距离最大,且最大值为|AB =； 3 6 2+ 1
16、 2 2 = 3 , 10, d的取值范围为0,310.由(1)知，dmax= 3 10,此时 k= 3,两直线的方程分别为 3x+ y 20= 0或3x+ y+ 10= 0.跟踪训练4 D 两平行线间的距离就是| PQ的最小值，3x+ 4y 5= 0可化为6x+ 8y 10 =0，那么|PQ =|5 103当堂训练1. D 2.B3.B4. 10解析由两直线平行知,a= 8, d=115 5|5a+ d= 10.5. (5 , 3)解析 由题意知过点 P作直线3x 4y 27 = 0的垂线, 设垂足为M那么IMP为最小，4直线 MP的方程为y 1 = 3(x 2),3x 4y 27= 0,解方程组4y 1 = 3 x 2x= 5, y= 3所求点的坐标为(5 , 3).