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1、2. 2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征【学习目标？ 1.能合理地选取样本， 并从中提取根本的数字特征 .2. 了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征.问题导学知识点一众数、中位数、平均数 思考1平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点?思考2在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低 分?梳理众数、中位数、平均数定义(1) 众数：一组数据中出现次数 的数.(2) 中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置的数(或中间两个数的 )叫做这组数据的中位
2、数. 平均数：如果 n个数xi, X2,，Xn,那么 x =叫做这n个数的平均数.知识点二方差、标准差思考1当样本数据的标准差为 0时，该组数据有何特点？思考2标准差、方差的意义是什么?梳理 标准差、方差的概念及计算公式(1) 标准差是样本数据到平均数的一种 ，一般用S表示.S = ( xn是样本数据，n是样本容量， 7是样本平均数) 标准差的平方s2叫做方差.S2 =( xn是样本数据，n是样本容量， 匚是样本平均数).(3) 标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s = 0时，每一组样本数据均为 匚.知识拓展平均数、方差公式的推广：1. 假设数据 xi, X2,，xn的平均数为 x
3、，那么 mx+ a, mx+ a, mx+ a,，mx+ a的平均数是mx + a.2. 设数据xi, X2，xn的平均数为 7，方差为s2，贝U1a. s2= 一( xi + x2 + x2) - n x 2;nb. 数据 xi+ a, X2+ a,，xn+ a的方差也为 s ；c. 数据 axi, ax?，axn的方差为 a2s2.知识点三用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征1. 样本的根本数字特征包括 、.2. 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能无视的.因此，还需要用标准差
4、来反映数据的分散程度.3. 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但 是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有 性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不 同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.命题角度1众数、中位数、平均数的计算例1某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表:职业董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数;(2) 假设董事长、副
5、董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工月工资新的平均数又是什么？反思与感悟 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要 的量.(2) 众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的局部数据有关，当一组数据中部 分数据屡次重复出现时，众数往往更能反映问题.(3) 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所 给的数据中，也可能不在所给的数据中.(4) 平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的 变动.(5) 因为平均数与每一个样本数据有关，所以任
6、何一个样本数据的改变都会引起平均数的改 变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比拟起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： 这组数据的众数是 3； 这组数据的众数与中位数的数值不相等； 这组数据的中位数与平均数的数值相等； 这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确结论的个数为A. 1 B . 2 C . 3 D . 4命题角度2在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数例2以教材节调查的100位居民的月均用水量为
7、例，样本数据的频率分布表和频率分布直方图如下图，试估算月均用水量的中位数.频議累计频敎痛串4Cl.lM正下H(1.1.5)止15l.5T2)正 lEiEiE r22().22(2.2 3)iEiEiEjEiE25O.2S2.53)IF if iF14<.U阴刖jE '6(JJN>(3.5.4)iF114,4 S|T2(J.IW加1IM.IK)圏I “坏加匡月均用水皐的霖率分布左反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值， 其中众数和 中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数 代表了数据更多的信息，但受样本中每
8、个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取 100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图试估计这个样本的众数，中位数和平均数.类型二标准差、方差与应用例3计算数据89,93,88,91,94,90,88,87 的方差和标准差标准差结果精确到0.1 反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比拟两组 数据的波动大小.(2) 样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，说明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，说明各样本数据在样本平均数的两边越分散.(3) 假设样本数据都相等，那么 s= 0.(
9、4) 当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征， 而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.£：跟踪训练3甲、乙二人参加某体育工程训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.1615I 11312J11155:次(1) 分别求出两人得分的平均数与方差；(2) 根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.当堂训练1某市2021年各月的平均气温C数据的茎叶图如图:U1盘29a20卄：i 3 H312那么这组数据的中位数是A. 19B. 20D. 23C. 21.5 2设样本数据xi, X2,，xio的平均数和方差分别为 1和4,假设yi = x +
10、aa为非零常数,i = 1,2，10，贝U yi, y2,，yio的平均数和方差分别为A. 1 + a, 4B. 1+ a, 4+ aC. 1,4D. 1,4 + a3一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为 .4. 假设样本数据X1，X2，X10的标准差为8，那么数据2X1 - 1,2 X2- 1，2X10- 1的标准差为.5. 某校医务室抽查了高一10位同学的体重单位：kg如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.1求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差;2估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.规律与方法1利用直方图求
11、数字特征：众数是最高的矩形的底边的中点中位数左右两边直方图 的面积应相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.2 标准差的平方S2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标 准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.3现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用 样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.合案精析问题导学知识点一思考1平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息， 但它的缺点是平均数受数据中极端值的影响较大.思考2为了防止平均值受数据中个别
12、极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计 算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分.梳理1最多 2从小到大或从大到小中间 平均数13 nXl+ X2+ + Xn.知识点二思考1当样本数据的标准差为 0时，该组数据都相等.思考2标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的 离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.梳理 1平均距离 n【X1 - X2+X2 X 2+ Xn X2知识点三1 众数中位数平均数标准差 3.随机题型探究类型一 例1解1公司职工月工资的平均数为5 500 + 5 000 + 3 500 X 2+ 3 000 + 2 500 X 5
13、+ 2 000 X 3+ 1 500 X 20 3369 000332 091元.2假设董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为30 000 + 20 000 + 3 500 X 2+ 3 000 + 2 500 X 5+ 2 000 X 3+ 1 500 X 203310；00 3 2 88元.跟踪训练1 A 在这11个数中，数3出现了 6次，频率最高，故众数是3;将这11个数2X 2+ 3X 6+ 6X 2+ 1011=4.故只有正确.例2解 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的，由此可以估计中位数的值以下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值
14、为跟踪训练2解2.02 .四个矩形的面积分别是0.02 X 5= 0.1,0.02 X 10= 0.2,0. 02X 25= 0.5, 0.02 X 10= 0.2.0.2中位数为 39.99 += 39.998 ;25平均数为 39.96 X 0.1 + 39.98 X 0.2 + 40X 0.5 + 40.02 X 0.2 =39.996.类型二1 1例 3 解 x = 90 + ( 1) + 3+ ( 2) + 1 + 4+ 0 + ( 2) + ( 3) = 90 + X 0= 90; 计算 Xi x (i = 1,2，8)，得各数据为1,3 , 2,1,4,0 , 2, 3; 计算(
15、Xi x ) 1 2 2 2 2s甲 = (10 13) + (13 13) + (12 13) + (14 13) + 5(i = 1,2，8)，得各数据为 1,9,4,1,16,0,4,92 144 计算方差：s2=：(1 + 9+ 4+ 1+ 16+ 0 + 4 + 9) = 5.5 ;8 8 计算标准差：s = 5.5 2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.10 分，13 分，12跟踪训练3解1由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.10 + 13+ 12+ 14 + 16x 甲=13,13 + 14+
16、 12+ 12 + 14x 乙= 13,2(X10- 1)解析 由得，所求平均数为4 + 6 + 5+ 8+ 7 + 6= 6.(16 - 13) 2 2 =祁 X1 - 1) + (X2- 1) + + S2= 4. = 4,2 应选A. 2 2 2 2Sz= 丁(13 - 13) + (14 - 13) + (12 - 13) + (12 - 13) +2(14 - 13) = 0.8. 由S甲S乙可知乙的成绩较稳定.从折线图来看，甲的成绩根本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高.当堂训练1. B 由茎叶图知，平均气温在20C以下的有5个月，在20
17、 C以上的也有5个月，恰好是 20C的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.应选B.2 一2. A v X1,X2,，X10的平均数x = 1，方差S1=4,且yi = xi+ a(i = 1,2，10),1 y1, y2,，y10的平均数 y = 10°(3. 6 + y?+ ye)1=( X1 + X2+ X10+ 10a)101=10 (X1 + X2+ X10) + a= x + a= 1 + a,2 1 2 2 2其方差 S2= 10 ( y1- y ) + (y2- y ) + (屮。一y )4. 16解析设样本数据X1 , X2,-X10的标准差为S,那么
18、S= 8,可知数据 2X1 - 1,2 X2- 1,2X10 - 1的标准差为 2s= 16.5. 解 (1)这10个学生体重数据的平均数为X1/ (74 + 71+72+ 68 + 76+ 73 + 67+ 70+ 65 + 74) = 71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76 ，位于中间的两个数是71,72 ,.这10个学生体重数据的中位数为71 + 722 = 715这10个学生体重数据的方差为2 1 2 2 2 2S = J0X (74 71) + (71 71) + (72 71) + (68 71) +2 2 2 2 2 2(76 71) + (73 71) + (67 71) + (70 71) + (65 71) + (74 71) = 11,这10个学生体重数据的标准差为s = s2 = 11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71,中位数为71.5，方差为11，标准差为11.