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1、第三讲数论真题模考1. ( 2003 年一零一培训学校期末考试题 ( 2003 年 12 月 ) 第 7 题) 一个整数 m( m 1) ，除 219， 270，338 得到的余数相同，则这个整数m _ 。【分析】 219， 270， 338 除以m 得到的余数相同，那么他们两两的差就能被m 整除。 270- 219=51，33827068 ， 338219119 ，m = 51， 68， 119 =17。2.如果 2n 1 能被 31 整除，那么自然数n 应满足什么条件？【分析】 31=11111(2)2n20000 0000 （ n 个 0）n1 200000000(2)1= 10000
2、0000 (2) （ n 个 0）2n整除，那么n 是 5 的倍数即可。21能被 313.在算式 1( 所填数字均选自 1， 2， 3， ,9) ，要求 的每个括号内各填入一个数字所填的数字都是质数，并使得算式成立。【分析】 在 1， 2， 3，,， 9 中只有 2， 3， 5， 7 为质数，根据分母的特性，可知结果的分母为两分数的最小公倍数，那么只能为5， 7。可得到：321 。75354.5 位数 2 x9 y1是某个自然数的平方，则4x7 y.【分析】 2x9 y1是一个自然数的平方，那么这个自然数的末位只能为1或 9。1402 <2x9 y1<180 2得 161 2 =2
3、5921x =5， y =2，那么 4 x +7 y =345.从 1， 3， 5， 7，, 。97， 99， 101 中最多可以选出n 个数，使得选出的这n 个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n=_【分析】 1，3，5，,，101 这些数中， 35,101 这 34 个数中，每个数都不是另一个数的倍数。因为1，3， 5， ,， 101 都可以写成3at 的形式（其中a 是 0 或自然数， t 是不能被 3 整除的自然数）由于 1，3，5，,，101 有 17 个不能被3 整除的数，剩下51- 17=34 个数不是3 的倍数。所以t 的值有 34 种，所以 n346.( 2003 年一零一
4、培训学校期末考试题(2003 年 12 月)第 21题)一个三位数等于它的各位数字之和的19 倍，问这样的三位数最大是_，最小是 _.【分析】 设这个三位数为abc ，根据题意的：abc =19× （ abc ），因为 abc 29，所以 114 abc 513所以 19× 6=114 最小， 19× 15=285 最大7.( 北京市一零一中学计算机培训班六年级04 05 学年一学期第三次随堂测试第10 题 ) (101)2 (1011)2 (11011)2 _567 (）8(）5(）2 ；(11000111）(10101）(11）(）2；222（3021） （6
5、05）()；4710 若 (1030) n140 ，则 n _。【分析】 (101)2(1011)(11011)2）22 （ 11100567(1067）(4232）(1000110111）；852(11000111）2(10101）2(11）2(11000000）2 ； （3021） （605）；47( 500) 10 若 (1030) n140 ，则 n=（5）8.2007=a12a22a3. 2ana1a2ana1a2an2，其中，,为两两不等的自然数，则+,= .，【分析】 2007=1023 +1024 = 21222321 0a1 + a 2 +, + an =1 +2+ 3+ ,
6、+10 = 559.( 北京市一零一中学计算机培训班六年级04 05 学年一学期第三次随堂测试第9题)( 85) N是( 7)N 的 11 倍，则 ( 338) N _ 。【分析】 (85)n8n5(7) n7根据题意得： 8n57n=9338392398278n10.用 2、 3、 4、 5、6、 7 这六个数码组成两个三位数A, B，那么 A、 B、 540 这三个数的最大公约数最大可能是多少 .【分析】 最大公约数必定为235 的约数。 但公约数不可能为 5，否则两个三位数的末尾数应540 23该为 0 或 5。因此最大的公约数可以考虑2233108 ，为了“凑”到 108，考虑因子 4
7、，末两位分别令其为 24， 56，之后考虑9 构造结果324， 756。答案： 108考点拓展【例 1】 在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数。此六位数能分别被位数中最小的是_3，5， 8整除，那么这样的六【分析】 根据题意可知这个六位数最小时568000120=4733,40，那么568000，能同时被3， 5， 8 整除，也就能被 3， 5， 8= 120，568000+（ 120- 40） =568080，就能被3，5， 8 同时整除。【例 2】101 个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_【分析】 设这个自然数为a ，则 101 个连续自然数的
8、和为：a +（ a +1） +（ a +2 ）+,+（ a +100 ）=（ a + a +100）× 101 =（ a +50 ）× 1012因为101 是质数，所以a+50必须是3 个质数的乘积，要是和最小。那么 a +50=66=2×3× 11，所以和最小为66×101=6666。【例 3】 设, b,c同情况 .是0 9的数字( 允许相同) ，将循环小数0.abc 化成最简分数后，分子有种不【分析】0.abc = abc , 显然只要 abc 与 999 互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小999于 999 且与999
9、 互质的数，这样的数一共有999999999999648 个. 如果 abc 与 999337337不互质，那么abc 的质因数当中，如果质因数3 不多于3 个，质因数 37 多于 1 个，那么 abc 约999分后是分子还是与 999 互质的数（已被统计过） ；如果 abc 的质因数当中，如果质因数3多于 3个，质因数37 多于 1 个（这种情况肯定没有因为37 的平方大于999） ,质因数 3多于 3个，那么约分过程当中，分子分母至少约掉27，所剩下的分子不会大于99937 ，所以凡是不大于2737 的分子都可能有它的 27 倍约分而来，其中的3、6、9、 ,、36这 12个数都是可能的分
10、子 .所以一共有648 +12 =660 个【例 4】 ( 2002 年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题二试解答题第5 题 ) 101 中学的老师和和学生到圆明园参加植树活动，在圆明园的一条笔直马路的一边共植11 棵树，且每相邻的两棵树间隔3 米，不妨可以看作一条直线从0 点起每隔 3 米，如果把3 块“爱护树木”的小木牌分别挂在3 棵树上，老师说可以证明至少有两棵树它们之间的距离是偶数米。老师说法对吗？要是不对，试举出反例。要是对了，试说明理由。036912151821242730【分析】 对 。因为第一块小木牌与第二块小木牌的距离可能是3 的奇数倍 （奇数米） 或是 3 的偶
11、数倍 （偶数米），偶数米则达到要求。同样第二块小木牌与第三块小木牌的距离可能是3 的奇数倍（奇数米）或是 3 的偶数倍（偶数米） ，偶数米则达到要求。当第一块小木牌与第二块小木牌的距离是奇数米，第二块小木牌与第三块小木牌的距离是奇数米时，第一块小木牌与第三块小木牌的距离就是偶数米。所以至少有两棵树它们之间的距离是偶数米。【例 5】 ( 北京市一零一中学计算机培训班六年级04 05 学年一学期第三次随堂测试第14 题 )abc 是一个三位数， 由a、b、c 三个数字组成的另外5 个三位数之和为2743 ，那么三位数abc 是多少？【 分 析 】根据题意得：acb + bac + bca + ca
12、b + cba =2743abc + acb+ bac + bca + cab + cba = 2743 + abc222× （ abc ） =2743 + abc因为 3 abc 272743 222 12222× 14 =3108 =2743 + 365（ 3+6+5=14）【例 6】 ( 2003 年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛附加题第2 题 ) 甲、乙、丙三个班的同学为国庆游行队伍做红花. 其中甲班有1 人做 6 朵, 有 2 人各做 7 朵, 其余每做11 朵; 乙班有 1 人做 6 朵,有 3 人各做 8 朵, 其余每人做10 朵; 丙班有 2 人各做 4
13、 朵, 6 人各做 7 朵, 其余每人做9 朵. 已知甲班做花总数比乙班多28 朵, 乙班比丙班多101 朵, 且每班做花总数在400 朵至 550 朵之间 . 问每班各有多少人?【分析】 根据题意可知，甲班每人 11 朵，缺 （ 11- 6）× 1+（11- 7）× 2=13 朵乙班每人 10 朵，缺 （ 10- 6）× 1+（ 10- 8）× 2=10 朵丙班每人 9 朵， 缺（ 9- 4）× 2+（ 9- 7）× 6=22 朵解：设甲班有x 人，乙班有y 人，丙班有z 人，可得：1 1x1 31y 01 021 1x1 y03
14、11 2。01 0y1 0z92 2解得1 0y9z，得 1 1x 9z1 0 18 9解得 x =51， z =49， y =53。课后练习1.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274 ；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是 _。【分析】 设甲为 AB ，看错个位为Ab ，看错十位为aB ，可以得出：Ab × 乙 =1274aB × 乙=819乙 ×（ Ab - aB ） =455=5× 7× 13乙 =13， Ab =98， aB =63，所以 AB =93。2.( 2002 年一零一
15、培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题二试第2 题)两个不同质数的倒数相加，所得的和的分子是42，分母可以 ( ) 、 ( )、( )或() 。【分析】 设这两个质数为 A ， B ，根据题意可得：11A B ，A + B =42=5+37=11+31=13+29=19+23ABAB分母为 5× 37=18511×31=34113× 29=37719× 23=4373.已知两位数ab ，满足 ab =4 ( ab) ，满足此条件的最大两位数是_【分析】 因为 ab =4 (ab) ，可得： 10ab =4 (ab)解得：2abab 最大 =484.一个
16、数 a，它的小数点向左移动一位得到数b，数 b 的小数点向右移动两位得到数c，已知 a，b，c 的和是 13. 32，则 a=.【分析】 根据题意可知， a 为两位数，且a 由一位小数，设a= A.B 则 b= 0.AB ， c= AB可得： AB 0.ABAB 11.1A1.11B1.11(10AB) 13.3210A+B=12所以 A=1B =2a=1. 25.( 2003 年一零一培训学校期末考试题( 2003年 12 月)第 22题)已知 P、 Q 都是质数，并且P 11Q 932003 ，则 P Q _ 。【分析】由 P 11 Q93 2003得 11P200393Q因为 P、 Q 都是质数， P× 11=奇数Q× 93偶数可得 Q=2P=199