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1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一. 知识点总结1) O 是 ABC 的重心二 OA OB OC =0 ；1若 O 是 ABC 的重心，则 SBOC =SAOC =S；AOB =3S ABC 故 OA OB OC.0；”PG = -(PA PB PC )：二 G 为. ：ABC 的重心. 32) O 是 ABC 的垂心二 OA OB =OB OC =OC OA ；若o是AABC (非直角三角形)的垂心，则S少C ： S少C ： Swb =tan
2、A : tan B : tan C - -故 tan AOA 亠 tan BOB 亠 tan COC =02 2 23) O 是 ABC 的外心=|OA |=| OB 1=1 OC |(或 OA =OB = OC )若O是ABC的外心贝y S boc : S AOC : S AOB 二 sin._BOC :sin _AOC :sin _AOB = sin2A : sin2B:sin2C故sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC =04) O是内心 ABC的充要条件是AB ACBA BCCA CBOA () =OB () =OC ()=0| AB | AC| BA | BC | CA
3、 | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 ab,bc,ca的单位向量为ei，e2，e3，则刚才O是-ABC内心的充要条件可以写成：OA ( ei e 3 ) - OB ( e 1 e 2 - OC ( e 2 e 3 - 0O是 ABC内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC =0若O是 MBC的内心，贝y S店OC : S心OC : S虫OB =a : b : cn fc-b百 r故 aOA bOB cOC = 0或 sin AOA sin BOB sin COC =0 ；| AB | PC | BC | PA | CA | PB = 0 = P . ：ABC 的内心；PC
4、向量X.(-AB亠十-AC)(九H 0)所在直线过 也ABC的内心(是N BAC的角平分 I AB | |AC |线所在直线)；二. 范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满足 OP -OA( ABAB宀q / ?AC 0,；则P点的轨迹一定通过 ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心A D -i-J. i=» 解析：因为是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为 e1和e2 , 又IAB 一OP -OA二AP，则原式可化为 AP 7.（8飞2），由菱形的基本性质知AP平分.BAC，那么在
5、.：ABC 中，AP平分/ BAC，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零H向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，ha hB =hB hC =hc HA二 点H是厶ABC的垂心.-1V«甲由 HA HB =HB ,HC = HB （HC _HA ） =0 = HB AC =0= HB 丄 A
6、C ,同理hC _ab， HA _BC .故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若 PA .PB =PBPCPC PA，贝U P是厶ABC的（D ）A .外心B .内心C.重心D .垂心解析：由 PA PB = PB PC 得 PA PB - PB PC =0 .即 PB （PA - PC ）二 0,即 PB CA 二 0 贝U PB _ CA ,同理 PA _ BC , PC _ AB 所以P为AABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等”等相相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有
7、关运算及数量积为零，则两向量所在直线垂直关知识巧妙结合。变式：若HABC所在平面内一点，且|habc=|hb|2+ CA2则点H是厶ABC的垂心证明:2 22HAHBCABC2.(HA HB )BA = (CA CB ) * BA得(HA HB -CA -CB ) * BA =0即(HC HC ) *BA =0A图6同理 AC _ HB , BC _ HA故H是厶ABC的垂心（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是厶ABC所在平面内一点，GA gB gc =0=点G是厶ABC的重心.证明 作图如右，图中GB GC =Ge'连结BE和CE,贝U CE=GB，BE=GC=
8、 BGCE为平行四边形=D是BC的中 点，AD为BC边上的中线.将 GB GC =GE 代入 GA GB GC =0,得GA -EG =0二.GA- _GE 一 _2GD，故G是厶ABC的重心.(反之亦然(证略) 1 例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心：=pg = (pa - pb - pc).30EDC证明 PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3 PG =(AG BG CG ) (PA - PB PC ) G是厶ABC的重心二 GA GB - GC =0= AG - BG - CG =0,即卩 3PG =PA - PB - PC由此可得pG 1 (pa -
9、 PB - PC ).(反之亦然(证略)3例6若0 为 ABC内一点，OAOBOC=：0，则0 是.：ABC 的( )A .内心B .外心 C .垂心D .重心解析：由oa；ob"+oc；o得OB+oC=0A，如图以 OB 0C为相邻两边构作平行四边形，则MW*.AOB +0C =0D，由平行四边形性质知OE =0D，OA = 2 OE ，同理可证其它两边上的这个性质，2所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识， 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质： 重心是三2角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形1的对角线互相平分及三角形
10、重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知D，E，F分别为 ABC的边BC，AC，AB的中点.贝U AD BE CF =0 .证明：3AD = _ GA23/« BE = _ GB23 CF = GC 23.AD BE CF(GA GB GC )2GA GB GC =0二 AD +BE +CF =0 .变式引申：如图4，平行四边形abcd的中心为0，p为该平面上任意一点,_ 1 贝U PO = 一( PA PB PC - PD ).4_1 1 " 1 证明： 丁 PO =(PA +PC ) PO =(PB +PD )，2 ' 21.PO 二(PA PB PC - PD
11、)4点评：(1)证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则.(2)若P与0重合，则上式变OA OB - OC OD =0.(四).将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点，A .内心B .外心解析：由向量模的定义知O到厶ABC的三顶点距离相等。故O是厶ABC的外心，选B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查 例8.已知向量。卩勺， 求证证明OA =OB =OC ，则O是厶ABC 的（C.垂心 D .重心OP 2，OP3 满足条件 OP1 +OP2 +0P3 =0，|0P1 | =
12、|0P2 | = |0P3 | = 1, P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题） 由已知OP1 +0P2 =- 0P3，两边平方得0P1 0P2二一-，2 . 1 OP2 OP3 = OP3 OP 1 =.2I IP1P2 FIP2P3' FIP3P1 |=：3，从而 P1P2P3 是正三角形.反之，若点O是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 眄+迟+匝=0且|OP； | = |OP； | = |OP |. 即O是厶ABC所在平面内一点，Op1 +0P2 +0P3 =0 且|OP1 Flop? FI0P3 |：=点 O 是正 P1P2P3 的中心.例9
13、.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。C（x2,y 2），D E、F分别为AB BC AC的中点，则有： 厂宀+X2 y22 2_ x1Q（，y3）、h2同理x 1D ( 一，0)、2由题设可设X2 y2)、F(，-)2 2Xt + x 2(X2，y4),G(-3二 AH =(x2,y4),QFBC =(x2 -x1;y2).A H *BC = x 2 (x 2X2&2 xj-y 4x 2 x 1.QF *AC x2( 2 L)2 2X 2(x 2 x1)十 y 2
14、2 y 2x 1 -，y 42X t X3.QH =(xx.QG =(一y3x 2 (xQ G H三点共线,设 A(0,0)、B(xi,0 )、1 y 22-，7_X 1 J 2633x 2 (x 2 -x 1) y 2、 評2y 22勺y 2 x2(X 2 Xj 卓)2y 223x 2(X 2 -Xy 2)2y 221 2x 2 'X 1 爲(-T-1= Q H3即QH =3QG，故Q G H三点共线，且 QG GH=1： 2【注】 本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向OP =0A+PACJ)， Ze (0,七C )，则动点P的轨迹一定通过厶 A
15、BC的(AB AC(A)外心(C)重心(B)内心(D)垂心事实上如图设AEABAC、,AF都是单位向量ABACC量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从 而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10.若0、H分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH =OA，.OB_ OC .证明 若厶ABC的垂心为H，外心为0，如图.连B0并延长交外接圆于D，连结AD，CD.AD丄AB， CD丄BC .又垂心为H， AH 丄BC ，CH丄AB AH / CD，CH / AD，.四边形AHCD为平行四边形，AH =DC =D0 +
16、0C 故 OH =0A +AH =0A +0B +0C .外心、重著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一心、垂心的位置关系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11. 设0、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心. 1 求证 0G，= 0H3证明 按重心定理 G是厶ABC的重心:0G =-(0A - OB 0C )3按垂心定理 OH =0A OB OC由此可得 0G 0H .3三、与三角形的“
17、四心”有关的高考连接题及其应用P满足例1 : ( 2003年全国高考题)0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点易知四边形AETF是菱形故选答案B例2: (2005年北京市东城区高三模拟题)0ABC所在平面内一点，如果 OA OB = OB OC = OC 0A，则0必为 ABCW()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上 OA OB =0B OC = (0A - OC ) OB =0= CA OB =0= OBL CA故选答案 D例3:已知0为三角形ABC所在平面内一点，且满足则点0是三角形ABC的(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心故选答案D事实上由条件可推出 O
18、A OB =0B OC =0C OA例4:设0是平面上一定点， A B C是平面上不共线的三点,动点P满足OP = OA (ABAB cosACB AC |)，八三0,；，cos C则动点P的轨迹一定通过厶ABCW(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上(ABAC BC=& ( BC + BC ) = 0故选答案DAB cos BAC cos C例5 : 2005年全国(I )卷第15题“厶ABC的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心OH =m(0A +OB +OC)，则实数 m =图3DC
19、 _ BC先解决该题：作直经 BD，连 D A，DC ,有 O B - _O D，D A _ AB，AH _ BC，CH - AB，故 CH / DA， AH / DC故AHCD 是平行四边形，进而AH =DC ，又DC=OC-OX O C O二 OH =OA AH =OA DC故 OH =OA OB OC，所以 m =1评注：外心的向量表示可以完善为：若O为, ：ABC的外心，H为垂心，则OH =OA OB OC。其逆命题也成立。例 6已知向量 OP! , OP2 , OP3 满足条件 OP! +OP2 +OP3 =0, |OP! | = |OP2 FIOP3 |=1 ,求证： P!P2P3
20、是正三角形(数学第一册(下)，复习参考题五 B组第6题)1证明： 由已知 OPt +OP2 =- OP3，两边平方得 OPt OP2 = -一 ,21同理OP?OP3=OP3 OP1, 二円卩2| = |卩2卩3| = |卩3卩1|= '，3，从而P1P2P3是正三角形反之，若点 O是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 OP1 +OP2 +OP3 = 0且|OP1 |=|OP2 | = |OP3 |,即O是厶ABC所在平面内一点，四、练习1.已知A、B C是平面上不共线的三点,0P1 +OP2 +OP3 = 0 且 |0P1 | = |OP2 |=|OP3 |=点 O 是正 P1P
21、2P3 的中心44_ _ I I .=-_ _ _0是三角形ABC的重心，动点P满足op=;(;oa+-OB +20C ), 3 22则点P一定为三角形ABC的(B)AAB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点分析：取AB边的中点M则O胃+6百=20矿,1 1 1 1 由 6P =；(7°A +OB +26 C )可得 36P =3OM -2MC ,3 22 MP =?MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心。32.在同一个平面上有.-ABC及一点O满足关系式：OA +BC =OB +CA = OC + AB，则O AB
22、C 的(D)A.外心 B.内心C.重心D.垂心3.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：pa pb pc =o，则PABC的( C ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心4.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:OP =OA ,AB AC )，则P的轨迹一定通过厶ABC勺(C )A.外心 B.内心 C.重心D.垂心5.已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且满足：PA *PC +PAPB +PB .PC =0，贝U P点为三角形的(D )A.夕卜心B.内心 C.重心 D.垂心 6 .已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a
23、PA +b .PB +c.PC =0，则P点为三角 形的(B )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心7.在三角形ABC中，动点A.外心 B.内心P满足：CA CB -2AB «CP，C.重心 D.垂心则P点一定通过 ABC的(B )8.非零向量AB与AC满足(AB AC| AB | AC | 7BC =0 且-AB-| AB |_AC_ =1,则厶 ABC为(D)| AC |2D.等边三角形BCA三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形”解析：非零向量与满足(-ABAC-) bc =0,即角A的平分线垂直于|AB| |AC|7 AB=AC又cosJ .J = i，/
24、Z，所以 ABC为等边三角形. |AB| |AC|239. ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为 H, OH =m(OA OB OC)，则实数m=J10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA OB =OB OC =OC OA，则点O是厶ABC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点图111.如图1,已知点G是厶ABC勺重心，过G作直线与AB, AC两边分别交于 M N两点，且AM xAB , AN =yAC , 则1丄=3。x y证点G是厶ABC勺重心，知GA GB GC =0，得_AG (AB _AG) - (AC _AG) =0 ,1( AB - AC )3又M N, G三点共线（A不在直线MN上）,于是存在入，卩，使得AG二.AIM但. -1）, IAG = x AB !y AC = ( AB 亠 AC )，彳得1，于疋彳得3卜x =3 =3