1、国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本 人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要 的作用，会给您节省大量的时间。做考题时，利用本文档中的查找工具，把考题中的关键字输到查找工具的查找内容 框内，就可迅速查找到该题答案。本文库还有其他网核及教学考一体化答案，敬请查看。课程总成绩=形成性考核X50% +终结性考试X50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）.选择一项：A.
2、一阶线性微分方程组B. 定性和稳定性理论简介C. 初等积分法D. 基本定理题目2本课程安排了 6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）.选择一项：A. 第一章至第四章的单项选择题B. 第二章基本定理的形成性考核书面作业C. 初等积分法中的方程可积类型的判断D. 第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）.选择一项：A. 课程公告B. 自主学习C. 课程信息D. 系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）.选择一项：A. 一阶隐式微分方程B. 分离变量法C. 全微分方程与积分因子D. 常数变易法题目5网
3、络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲.选择一项：A. 18B. 20C. 19D. 17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）.选择一项：A. 考核说明B. 复习指导C. 模拟测试D. 各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100-1000 字.答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基木解法是学 习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫 做微分方程的解，含有独立的任意常数
4、的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题 密切相关的值得我们好好探讨。在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科 学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复 值函数问题，相对来说是比较复杂难憧的。至于后而的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝 大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断
5、其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概 念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解 技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。形考任务2初等积分法中的方程可积类型的判断（1）题目1dr答：（一阶线性非齐次微分）方程. 题目2答：（可降阶的高阶）方程题目3y =冷+ 2（）答：（克莱洛）方程题目4j + 2个 + xy = 0答：（伯努利）方程题目5dx x答：（一阶线性非齐次微分）方程 题目6顼 + （矿）：
6、 0答：（恰当导数）方程题目7dj _ xi,dx 1-fx2答：（变量可分离）方程题目8.T（x_ln y） = 1答：（一阶隐式微分）方程题目9eldx-H（xe-十 =0答：（全微分）方程题目10(x+ 2y)dx 一 炒=0 答：(齐次微分)方程 形考任务3常微分方程学习活动3第一章 初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、 第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点, 重点复习，争取尽快掌握.要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填
7、写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相 应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1.微分方程叫+。/)3 、 = 0是 二阶微分方程.2.初值问题，的解所满足的积分方程是y = y0+X f s, y)ds . yM = y0XQ3.微分方程VIn vdx + (x-In v)dv = 0是一 一阶线性非齐次微分方程.(就方程可积类型而言)4. 微分方程+ 2v)dv = 0是全微分方程.(就方程可积类型而言)6. 微分方程7. 微分方程一dxdy一dx5. 微分方程均 + 0/)2 +3/ =0是恰当倒数方程.(
8、就方程可积类型而言)=x2 sin y的所有常数解是y = Att, * = 0, 1, 2,.=1-殳的常数解是_歹=1.8. 微分方程x2yf-y = x2e x的通解为孑=。(工+。)9. 微分方程y = Xyf + -(yf)2的通解是y = Cx + -C2210. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线.二、计算题1. 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(1) = y2+x2dx答：一阶，非线性(2)也一2业+生=0dx4 dr3 dx2答：四阶，线性(3) x+xx + x = t 答：三阶，非线性2. 用分离变量法求解下列方程：(1) / = exy(2) tan
9、dx-cotxdy = 0(3)(乂2+声2炒=0b =-12. (1)解通积分为e =e+C(2)解 当tanycotx。0时，分离变量，两端取积分得fA=fL+lnk| J tany cotx即 ln(sin y) = ln(cos x) + In | c |通积分为 sin y cos x = C.7T另外，y = k7r,X = k7T+ 一是常数解，4=0,l,2,.注：在方程求解时，求出显式通解或隐式通解(通积分)即可，常数解可以不求。(3)解当x正0,孑。0时，方程可变为三了& =匕顼0x y1 1X通积分为 ln|x| = + ln|v|+C 或- = Cex x*y上式代入初
10、值条件x = l,y = l.2_2得C = 一萨.于是初值问题解为 -=3. 解下列齐次线性微分方程(1) (y2 2xy)dx 4- x2dy = 0x(2) xy -y = xtan(1)解显然x = 0是方程的解.当有0时，原方程可化为孚=一/：2个令以，则原方程可化为dr xx2du 2dw u + uu + x = u + 2iz, 即 =dxdr x易于看出，u = 0 u - 1是上面方程的解，从而y = x y = 0是原方程的解.当一/时，分离变量得，乎 =虫.两端积分得Ini|=ln|Gd(C0)-u + X|M-1|将换成三，便得到原方程的解Cy = x(x-y)i (
11、5 0).X故原方程的通解为Cy = x(x-y)(C为任意常数)及* = 0.(2)解显然y = 0是方程的解.当yo时，原方程可化为=tany + y.令w=2,则原方程可化为dx xxxduHII du tan um + x = tsn + ， 叩=.dxdx x易于看出，u=0 是上式的解， 从而y = 0是原方程的解.当uO时， 分离变量得，- =.两端积分得ln|sinw|=ln|q (CO). 将换成便得到原方程的解sin = Cx (CrO).故原方程的通解为sin =XXX4. 解下列一阶线性微分方程：(1) xyf 2y = 2x4(2) yf ytanx = secx(1
12、) 解 先解齐次方程x = 2y.其通解为y = Cx2.dx用常数变易法，令非齐次方程通解为y = C(x)x2.代入原方程，化简后可得Cf(x) = 2x.积分得到C(x) = x2+C.代回后即得原方程通解为j; = Cx2+x4.(2) 解 先解齐次方程 =-y tan x .其通解为y = Ccosx.dx用常数变易法，令非齐次方程通解为v = C(x) cos x.代入原方程，化筒后可得C (x) = cos X积分得到C(x) = tanx + C.代回后即得原方程通解为y = sinx + Ccosx .5. 解下列伯努利方程(1) =o(2) + y = y2(cos x-s
13、inx) dx(1)解 显然y = 0是方程解.当yO时， 两端同除得1 dy 2x+ x = 0.令Z = -, 代入有一玉+ 2定+x = 0,它的解为Z = L + Ce32 y33dx211于是原方程的解为=一+ Ge、 及V = 0.V 2 ，夕(2)解 显然y = 0是方程解.当yO时，两端同除得令 z =,彳弋入有z + (cos x - sin x) = 0ydx它的解为z = Cex sinx t于是原方程的解- = Cex-sinx及y = 0.6. 解下列全微分方程：(1) e_ dx - (2y + xev )dy = 0(2) (1-y sin2x)dx-ycos2x
14、dy = 0(1) 解 因为华 = -e=半，所以这方程是全微分方程，M(x,y)及N(x疗)在整个xQy平面都连续可微,dyox不妨选取Xo = 0, % = 0 故方程的通积分为evdx- 2j；dy = C,即 xQy -y2 =C.(2) 解 因为 = 2ysin2x = i所以这方程是全微分方程，M(x,y)及N(x,y)在整个xQy平面都连dydx续可微， 不妨选取X。= 0,为=o.故方程的通积分为(i+/)dx- = c,即 2x-y2cos2x = C.7. 求下列方程的积分因子和积分：(1) (x2 +y2 + x)dx xydy = 0(2) (x4 + y4)dx xy
15、3dy = 0dM dN(1) 解 因为 =-,与y无关，故原方程存在只含x的积分因子.N x-dx由公式(1. 58)得积分因子/(x) = e x ,即/y(x) = x,于是方程(疽+ / + x)dx - xydy = 0 为全微分方程.取 =0,yQ =0 . 于是方程的通积分为 x(x2 + j2 4- x)dx = 0.即 3x4 + 4x3 + 6x2y2 = C.dM dN(2) 解 因为= 与*无关，故原方程存在只含x的积分因子.解方程N xdv1由公式(L 58)得积分因子(x) = e即z/(x) = ,，x1V3于是方程 (x4+/)dr-dj； = 0为全微分方程.
16、取 x=l,为=0. 于是通积分为XX二(x4 +/)dx-y3dy = Cr 即/ =4x4In|x|+Cr4.8. 求解下列一阶隐式微分方程(1) y2y -yr) = y2 sin2 x(2) y,2 2yyf = y2(ex 1)(1) 解 将方程改写为 -y,2+2y,y = y2(l-cos2x)即 y2 - 2yyf 4- y2 = y2 cos2 x 或 3- y)? = y2 cos2 x解 V = V土*cosx 得通积分为：In Cy = x sin x,又y = 0是常数解.(2) 解 y = 0显然是方程的解,当yO时，方程可变为()2_2()= e-l,令U=u,y
17、 yy则上面的式子可变为u2 2u = ex 1. 解出得，u 1 .即=1 V?7.对上式两端积分得到方程的通解为ny = x14e +C9. 求解下列方程何”-yy=(/y+i（2）-（y）2+i=o（1）解 令y” = p,贝代入原式得即一p）2=p，2+l.解出p得p = xp仕加”+1这是克莱洛方程，通解为 p = xC】土 J1 + C；. 即 y = xC】l + C：.解之得26七如亨+ C2X + G（G，G，C3为任意常数）(2)解 化简得 0y) + l = O, 即 yyf = -x+C 求积分得 (X + C )2 4 2 22或J+(x G)2=G.三、证明题方程1
18、 设函数p(x) , /(X)在0,+ 00)上连续，且lim p(x) =。0 , f(xj +OCp1yr + P(x)y = f(x)的一切解在0, + oo)上有界.2. 设/(X)在0,+8)上连续，K lim /(x) = 0 ,求证：方程X-KO孚 + V = /(X)OX的一切解 y(x),均有 lim y(x) = 0 .X-409所以对任意e 0,存在七如使得*叫时 有X-0C0 a p(x) a + 令。=a-.Iv(x)|%|+9(1/2(F)/ b5 + a=M又在苍，为上*(x)有界设为跳,现取M = max(M,M2)则 y(x) 40* -X-KC qX X0
19、 X-430二0 +0,limqx x0若 fX/()e(s_Xo)L9 0),(或不含x轴的上半平而).9. 方程史=一咋七满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平而.dr l + xz + yz10. 一个不可延展解的存在在区间一定 定 区间.二、计算题1. 判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？(1) yr = x2 +y2(2) yf = x +siny1. 解 (D因为/(乂,*)=工2+丁及疗) = 2在整个XO*平面上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以在整个、0*平面上，初值解存在且唯一.(2)因为v) = x + siny及/x,v) = cosw在整个xo*平而上连
20、续，且满足存在唯一，性定理条件，所以在 整个o*平面上，初值解存在且唯一.2. 讨论方程在怎样的区域中满足定理2. 2的条件.并求通过(0,0)的一切解.dr 22 .解 因为方程f(x,y) = -在整个x。*平面上连续，f；(x9y) = -除x轴外，在整个xo*平而上有界，所22/3以除x轴外在整个xo*平面上都满足定理2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为y = (x-c)a,xc,其中c0.另外容易验证y = 0是方程的特解.因此通过(0,0)的解有无穷多个，分别是:0,xc3 ；V = c0,xc3. 判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解.(1) = -Jy-x
21、2) = -x Jx2 +2ydxdx3. 解(1)因为/(工疗)=五; 在半平而yx上连续，f；(x9y)= / 当* =工时无界，所以如果存在2Jy-x奇解只能是* = X,但* = X不是方程的解，故方程无奇解. ,_工21y2(2)因为/3*)= 7土Jx2 + 2y在V-一的区域上连续，y;x时)=当v =时无界，所2J x2 +2y2以如果方程有奇解，则奇解只能是 =-.显然y = -是方程的解，是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求1出方程的通解y = cx + -c2.由此可见对于x轴上点(0,0),存在通过该点的两个解：y = -一及y = 0.故22y = -是奇解.三、证
22、明题1 .试证明：对于任意的X。及满足条件Ovyvl的允，方程的解y = y(x)在(-oo, + oo)上存在. dx 1 + x +y2. 设f(x,y)在整个平面上连续有界，对夕有连续偏导数，试证明方程毕=/(毛力的任一解y = 0(x)在区间 dx(一00, +00)上有定义.3.设0(x)在区间(-oo? + oo)上连续.试证明方程史dx=(p(x) sin*的所有解的存在区间必为(-00, + 00)4. 在方程亲=/。)伊。)中，已知/*(*)，伊(工)在(-8,+3)上连续，旦0(1) = 0.求证：对任意X。和R|vl,满足初值条件y(x() ) = 0的解V(X)的存在区
23、间必为(-00, + 8)5. 假设方程孚切在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且M(x),歹2(对是定义在区间，上的两个解.求 证：若M(Xo)光(工0)，x0 g Z,则在区间,上必有y (x) )上存在.2.证明 不妨设| f (x,y) M. V(x?y)R2.过点(书为)分别作直线4 ：V = Vo+(x_Xo)和 2 ：V = Vo_M(x_Xo)设过点(如Vo)的初值解为y = y(x).因为|y(x0) |x()不能与直线相交.若不然，也x()使得y(x) = yQM(x -x0),且y(x)xQ不能与直线4相交.同理可证，当xx0时，它也不能与匕相交.故当、不) 时解曲线y
24、 =以)位于直线，之间同理可证，当xx0时，解曲线y = y(x)也位于直线4，之间.由延展定理，y = y(x)的存在区间为(00, 00)o3. 证明 由已知条件，该方程在整个斗y平而上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然* = 1是方程的两个常数解.任取初值(私 处)，其中工0 e (-00, + oo), |0| 1.记过该点的解为y = y(x),由上面分析可知，一方而y = y(x) 可以向平而无穷远处无限延展；另一方而又上方不能穿过* = 1,下方不能穿过y = -l,否则与惟一性矛盾.故该解 的存在区间必为(-00, 4-00).4. 证明由已知条件可知，该方程在整个洌；平
25、而上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 y = Att, A: = 0, 1, 2, .对平而内任一点(x0, yQ)f若为=上勿，则过该点的解是y = k7r,显然是在(-oo,+ oo)上有定义.若为。厩，则e krc. (k + 1)tt),记过该点的解为y = y(x),那么一方而解y =、(x)可以向平而的无穷远无限 延展；另一方而在条形区域(x,)| -oox +oo, lcRy)不能上、下穿过解 = (4 + 1)”和 y = &,否则与解的惟一性矛盾.因此解的存在区间必为(-00, + 00).5. 证明 仅证xx0方向，(反之亦然).假设存在xx0，使得y(x)y2
26、x)(山(对二光(同不可能出现，否则与解惟一矛盾).令y(x)=y(x)-y2(x)，那么y(xQ) = y1(xQ)-y2(xQ) 0由连续函数介值定理，存在X*G(X0?X),使得Xx*)=(x*)-2(x*)= o即功0*) = *2(疽)这与解惟一矛盾6. 证明 由已知条件知方程存在零解.该方程满足解的存在惟一性定理条件.设贝X)是方程的一个非零解，假如它满足y(xo)=。孚=0，由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有*(x)三0,这与贝x)是非零解矛盾.7. 证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.又y = l是该方程的两个常数解.现取x
27、0 e(-o, + oo) ,记过点(x(),*o)的解为V(x)一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越y = l,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在区域G = (x,y)|M0的上半平面B. 全平面C. 除去x轴的全平面D. y0的下半平面题目5生=小一尸方程过点(0, 0)的解为J =slnx ,此解的存在区间是().选择一项：题目6A = A(x)Y+F&x任 R. Y eRnf若A(x), F(x) 乂0在(-8,+8)上连续，那么线性非齐次方程组出_,的任一非零解()选择一项：A. 不可以与x轴相交B. 构成一个n维线性空间C. 构成一个n +1维线性空间D.
28、 可以与x轴相交题目7n维方程组由dI F(xtY)的任一解的图像是n+1维空间中的().选择一项：A. n条曲线B. 一条曲线C. n个曲面D. 一个曲而题目8方程的任一非零解在平面上()零点.选择一项：A. 只有一个B. 只有两个C.无D. 有无穷多个题目9三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个()线性空间.选择一项：A. 3维B. 2维C. 4维D. 1维题目10用待定系数法求方程】+】=2血的非齐次特解时，应设为().选择一项：C Vj =x(-4sinx-3cosxy形考任务6常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要
29、分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、 第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点, 重点复习，争取尽快掌握.要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相 应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1. 若.4(0在(-8,+8)上连续，那么线性齐次方程组=Ax)Y , YeRn的任一非零解在R由空间不能dx与x轴相交.dy2. 方程组- = F(x,YxeR.YeRn的任何一个解的图象是
30、 1维空间中的一条积分曲线.dx3. 向量函数组R(x),儿，H(x)线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式(x)=0.4. 线性齐次微分方程组半=的一个基本解组的个数不能多于 + 1个.dx5. 若函数组例(x),代3)在区间JM)上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区间QM)上恒等于零.6.函数组，*y. =sinxsinx cosx的朗斯基行列式fT(x)是_ Wx)=cosx -sinxy2 =cosxV =Vi7. 二阶方程/ + 9 +子* =。的等价方程组是,71 =F*8. 若y =(px)和夕=仞2(工)是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有共同零点.9. 二阶线性齐次微
31、分方程的两个解y =(p(x)t y =(p2(x)成为其基本解组的充要条件是线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)10. n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N个.11. 在方程y + p(x)y +q3y = 0中，p3, g(x)在(-, +)上连续，则它的任一非零解在刀切平面上可以 与x轴横截相交.12. 二阶线性方程/ + 2/ + y = 0的基本解组是e_xe_x .13. 线性方程yn -y = 0的基本解组是_cos x, sin x .14. 方程/ +个 +疽v = o的所有解构成一个2维线性空间15. 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个_n_维线性空间.二、计
32、算题1.将下列方程式化为一阶方程组(1) x + f(x)x 4- g(x) = 0(2) y + a(x)y a2(x)y a3(x)y1. (1)解 dx-dzdy-drr、=y=- g(x)(2)解dydxdy2武一松加-y m2.求解下列方程组:(1)dxdt= 5y + 4x(2) = 0 即 b = ai.-a-bi = 0取a = l,b = i,于是方程组对应于玉=ea+pifcos (3t + i sin (3tLm 一.I-sin (3t + icos/3t_故特征根人=afii所对应的实解为cos pt二。以sin (3t_凹_-sin J3t_y2_cos位COS pt
33、 -sin 仞所以方程组的解为3.求解下列方程组:(1)x = x + y y = 3y-2x(2)(1)解方程组的系数阵为1-2特征方程为：det (A- 2 E)=1 -人-2sm/3t cos仞x = 2x-y + z y = x2y - z z = x- y + 2z13-A= 22-42+5 = 0特征根为九=2 + z；冬=2 Z当4=2 + 1时,Xe(2+w其中a,力满足(即(_l_g = o1 + (1_泌=0第一个方程 x(l /)有2a + (1 + i)b = 0令。=1,则h = l + i于是由=e (cos + zsinZ)sinZ特征方程为:det(A-2E) =2-Z -1
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