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1、精品文档第二章 曲面论第四节 曲面面积1、正则曲面的概念设曲面匚有向量方程r = r(u,v), 其中(u,v)'是R2中的一个区域。也就是说，有参数向量方程 r = r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)，(u,v)，如果，与曲面2上的点有对1应关系，且 r = r(u,v) C C )， rv F 0，(u,vp °，则称 为正则曲面。2、正则曲面面积的定义设正则曲面匚有参数向量方程 表示 r = r(u,V)， (u,v)。我们来定义曲面二的面积用U曲线和v曲线把曲面匚 分成小块。每一小块在曲面的切平 面上的投影的面积可以近似地表 示为1山 u
2、 r/ v |=l|ru rv | u v，这样，和式' |ru rv|p u v就可当作匚的面积的近似值。加密u曲线和v曲线，通过极限过 程，我们就把此极限值定义为曲面 匚的面积。定义18.1设正则曲面匚有参数向量方程表示r = r(u,v)，(u,v),我们称CP|u rv |dudvA，为曲面匚的面积，并且记 d亿rv |dudv， 称d为曲面的面积元素， 简称面元。特别地，平面图形的面积：设D是xy平面上的区域，参数方 程 r = r(x,y)= (x,y,O),其 中 (x, y) D.这时G = (1,0,0) , I厂(0,1,0),从而 rx ry=(0,0,1),d
3、= | rx ry |dxdy = dxdy则 7 (Dp dxdy。D这正是我们在过去给出的平面 图形面积的定义这说明，一般曲 面面积的定义与过去已经给出的 平面图形面积的定义没有冲突。3、曲面面积的几种计算公式(1)设正则曲面:有参数向量方r = r(u,v) = (x(u,v), y(u,v),z(u,v)(u,v)/xz)(7(x,点y冷ev£vijk点X£ycz已ucucuXexL、ex&vcvL、v=：(y,z)- (z,x) .:(x,y)k' (u,v) ' (u,v)：(u,v)，于是3)2 (3)2 (a)22dudv ； A 巩
4、u,v)c(u,v) c(u,v)(2)设正则曲面匚有参数向量方 程r= r(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u, v)，(u,v)，由于IIG 口|2 = |亿|rvsin2(ru，rv)2 2 2 2 2训u | |v | - |ru | |v| cos (u)M|ru |2|rv|2 -(ru,rv)2,守呻（：z)2 ,F =uv=(X,z):uu:uxx-yr u:v-u2E =|u |:y : z ： Zv u ; vG =|rv|2=(百2(占°v cv从而，有|u rv|= /EGF2 ,于是C )二 EG - F 2dudv(3 )当曲面，是由显式
5、 z= f(x, y),(x, y) D 表达时， r = (x, y, f(x,y),(x,y) D，x = (1,0, fx(x, y),ry 二(0,1, fy(x, y),E=|x=1(f)2xXry精品文档2 2G=|ry"(一)2cy ，|xHEG-F2于是十)ffD1+()2 + ()2dxdyx y设曲面的方程为z二f (x, y), (x, y) D，其中D为有界闭区域, f(x,y)在D上有连续的偏导数，法向量-yn =-fx(x,y),-fy(x,y),1,则-的面积表示为7 p | n |0xdyD(1)注意到l|n|1.1 fx(x,y)2 fx(x, y)
6、2所以公式(1)也表示为/、 1 .7 n )dD |cos |(2)例1求圆锥面x2 y2被圆柱面 x2 y2二x截下的部分的面积S如图(2).f(x,y) = x2 y2fx (x, y)xx2y2，fy(x，yx2yy2|n |-2,所以 S 二 2drSZ图例2求球面x2 y2 z2二R2的面积S.解 球面的参数方程为r =Rsi n cos 3 Rs in sin 亠 Rcos .r =Rcos cosv,Rcos sin 比-Rsin ,n - -Rsin sin 亠 Rsin cos ：,。.n 二 r q - R2sin2 cos1, R2 sin2 sin = , R2 si
7、n cos | n |二 R2sin '',于是有S 二 R2sin d C,Q0 =（屯日）|0兰©兰兀，0兰8兰2兀.2 二 二因此有 S 二 R2 d： sin d =4 ：R2.0 0球面参数方程的本质是 T平面上的区域门到 三维空间的球面上的映 射,|n|F A2 B2 C2表示面积的变化率.(4)旋转曲面的面积1 曲线 y = f(x)(f(x)- 0,a= x= b)绕x轴旋转所得旋转曲面匚的面积。显然，曲面匚的方程为y (f(x)2，由此得旋转曲面在z正方向的方程为 z= J(f (x)2由此得:z f (x) f (x) Jf 2(x) - y2-
8、yJf 2(x)- y2，z 2 dz 2 J (.)(-) V cxcy于是，面积忤:當，rcz 2cz 21()2()2dxdyx yf(x)；2(f化dxdyf (xp y ，其中d是旋转曲面在xy平面的投影 区域，D 二(x,y): - f (x)乞 y 兰 f (x),a x b , 于是2jbf(x)J(r(x)2dxx)/ dyaf(x) 22vf (x)- ydxf (x)1 (f (x)2dx(我们看到，这里证明得到的 公式与用定积分时用微元法得到公 式一致的)。2 曲线厂 f (x)(0 二 a x b) 绕y轴旋转所得旋转曲面匚的面积。则曲面方程为y = f ( x2z2
9、)(D :a2 x2 z2 岂 b2)，十)Di WdZ二 2 a山(f (x)2dx。(f (r)2rdr2 二bd=0a4、计算曲面面积的步骤(1)为曲面匚求得一个符合要求 的参数表示r(u,v)二(x(u,v), y(u,v), z(u,v)(u,v)或显表示 Z 二(x,y),(x,y) D，定出它们的定义域:或D， 靠画图形和空间想象力；(2)计算面积元d = | ru rv |dudv二EG - F2dudv或者dI 豁 2/2r( j az3)代入公式转化为计算二重积 分，然后按二重积分的计算方法技 巧进行。5、计算曲面面积举例例1计算下列曲面的面积：(1) 锥面Z= £
10、;x2 y2被圆柱面2 2x y = 2x截下的部分；(2) 圆柱面 x2 z2 = a2被圆柱2 2 2面x y a截下的部分。解 (1)所截得的曲面二为：D 二(x,y):(x- 1)2 y2 二 1，1 + (-+ (xdy = V2dxdy L、L、.x y面积)=2dxd厂 2 (Dp2 D；(2)由图象的对称性，所截得的上半曲面3为：z 'a2 - x2，D 二(x,y):x2 y2 二 a2,d7|已Z 2已Z 21()()2dxdyx ydxdy于是所截得曲面的面积S = 2十）=2dxdyd Ja2 - x2aa2-x22 dx-aa2 -x22 xdya二 2 2a
11、dx二-a8a2由对称性，得这两个柱面所围成的封闭曲面的面积16a2例2计算下列曲面的面积:2 2 2（1） 圆柱面xy= a 介乎平面X Z = 0和X - Z = 0之间的 部分；球面x2 y2 z2 = a2被椭圆柱面 2 2x y孑了“（° a）所截下的部分。解( 1)所截得曲面在第一卦限的曲面 U 为：y = a? - x2 ,0 £ x- a,Q- z x ；+(与zdxdz =adxdz于是利用对称性，所求的面积为a x aS = 8 dxdz00 a2-x2a x ,二 8adx0 2 2 a - x=8a'a2 - x2) |0 = 8a2 ；(2
12、)由图象的对称性，所截得的上半曲面'为：z =a2 - x2 - y2，2 2D = ( x, y):笃；a b ?cz 2cz 2a1 ( J2 (,y)2dxdya2”y2 昨由积分区域位于第一象限部分为0乞x乞a,0乞 aa于是利用对称性，所求的面积为a/aS = 2 4 dx aL092 2-Xa .dy 2 2 2.a - x - yay=8a arcs in0 a2 -X2by2_x2|o dx2. b二 8a arcs inoa特别地，当a时，得到球面面积S二4 例3求马鞍面az = xy被圆柱面 X2 y2 = a2 (a 0)所截下的部分曲面 的面积。1解所截得的曲面
13、z为：z=axy， aD = (x,y):x2 y2 匚 a2，d7:22 2z 2 a x y()2dxdydxdyya于是所截得曲面的面积S =)=2 2 2 a x ydxdya=2 d a rdr0 01 1 / 2232 .a a2=2 (a r ) 2 |o = 2(22 1)。a 33例4求抛物面x2 y2二2az (a 0)被2 2 2 2柱面（x + y ） = 2a xy截下的部分曲面的面积。解 所截得的曲面二为：y2)D = (x,y):(x2 y2) 2a2xy，aa1( Z)2Z)2dxdy 二L、x y、a2 x2 y2adxdy于是所截得曲面的面积S * （小D由
14、对称性, 计算此二重积分，i a2 x2 y2dxdy a再采用极坐标变换在第一象限内x 二 r cos ,rsim ，2 岂 a2sin2,dxd厂 rdrd利用在第一、第三象限内的对 称性，得v a2 sin 2日 J a 2 + r 22 2 小rdr00ao 151/2 ,2V32 Ja2sin2°22(ar ) 2 |0d，a 0 3312 1 32 1 2=2a °2 §2 一 (sin 丁 - cos丁) d (sin 寸-cos丁 )-2a 2 (sin 71 cos ) - 1da2331亠a23心上(sicosjl(sin-cosVR3311二
15、 2a2 -2(sin = - cos=) - - (sin= - cos= )32: aH102a(20 - 3 )933r snr cos'h , 0 面积。解因为(rcosjrsin二片)二(cos，,sin= ,0)(rcosrs in 阡)二(-si n，,rcos，, h),=0? G = r2 s2 h2c6所以E = 1 , Fh2EG F2 EG - F2drd，A击h2 r2dr0 02 r2 Ln(r2、h2 r2)|0Inh)二a、h2 a2h2(ln(a h2 a2)-例 6 曲线 z f(x)(O ± a ± x ± b)绕 z
16、轴旋转所得旋转曲面匚的面积。则曲面方程为z = f (yxy2)(D : a - X y2 - b2),面积I二二 J (Z)2(Z)2dxdyd cx 鬥"1(f (r)2 rdr0a二 2*1 (f (x)2dx oa例7圆曲线2 2 2(x - b) z = a (0 a * b)绕 z 轴旋转所得旋转曲面匚称为圆环面，-的方程为(X2 y2 - b)z2 = a2 ( a - b)；z 的参数表示为： X二(b acos )cos, y = (b acos )sin , z a sin , 0兰® -2兀兰屮八.常数时曲面上的曲线称为经线，=常数 时曲面上的曲线称为
17、纬 线。(1 )求环面Z被两条经线<p1，2和两条纬线所界那部分的面积;(2)求整个环的表面积解因为x 2“：y、2, :z 22E = ()()()= (b a cos )2，)2 (严)2x x ： y ： y ： z ： zC<P £屮c<p 点屮 c <P f屮故PEG F2 = a(b a cos ),于是，所求的面积为®2屮2(1) S 二 d a(b a cos )d匚 a( 2 一 i)b( 2 一 i) a(sin .J；(2)整个环的表面积9-d2 O2.a(b acos' )d叩 =2a 2二b =4 ab 。课后练习1、求半径为a的球面的面积。2、 求球面x2 y2 z2 = a2含在圆柱 面x2 y2 = ax(a 0)内部的面积S 。3、计算下列曲面面积：(1 ) z axy包含在圆柱面X 屮=a2 (a 0)内的部分；2 2 1 2 (2)锥面x yjz与平面X y z = 2a (a 0)所界部分的表 面。