《最短路径问题(2)》教案.docx

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1、2）教案过 P、Q分别作 CD 的垂线，垂足分为 为 A、PM> QNB、PMQN确定答案：形状，大小； 小于；2.预习自测直线 AB 上有一点 P，当点 P 在 小值为 AB 的值；直线 AB 上有一点 P，当点 P 在M、N，那么 PM 与 QN 的大小关系C、 PM< QND 、不能B时， PA+PB有最小值，最时，PB-PA 等于最短路径问题13.4.2 造桥选址问题 一】教学目标： 一学习目标1. 熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2. 学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3. 体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 二教学重点 教学重

2、点：利用平移将造桥选址的实际问题转化为两点之间， 线段最短问题三教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题【二】教学设计一课前设计1.预习任务平移不改变图形的 和 ;三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边 ;如图，直线 AB，CD 且 ABCD，在直线 AB 上任取不同两点 P、Q，AB 的值；直线 AB 上有一点 P，当点 P在时，PA-PB 等于AB 的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】 直线 AB 上有一点 P，此时点 P 与线段 AB 的位置关系有 两种：如图 1，点在线段 AB 上；如图 2和图 3，点在线段 BA 的延长

3、 线上或点在直线 AB 的延长线上 .【解题过程】当点 P在线段 AB 上时，如图 1，PA+PB=AB 即 PA+P B 最小值为 AB 的值；当点 P 在线段 BA 的延长线上时，如图 2， PB-PA =AB ；当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图 3，PA - PB =AB ；【答案】线段 AB 上；线段 BA 的延长线上；线段 AB 的延长线 上.如图，点 A 、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上能否找到一点 P，使得 PBPA的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点 P、点 A、点 B 不共线时，根据三角形任意两边 的差小于第三边 ，

4、那么 PB PA AB ； 当点 P与 A、B 共线，点 P 在线段 BA 的延长线上时，即点 P为直线 AB 与直线 l 的交点，那么 PB PA=AB.【解题过程】当点 P在直线 l 上且点 P、点 A、点 B 不共线时 PB PA AB ；当点 P 在线段 BA 的延长线与直线 l 的交点时，如图， PB -PA=AB ，即 PB PA =AB ；【答案】如图，连接 BA 并延长交直线 l 于 P，此时 PB PA的值 最大.二课堂设计1. 知识回顾在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变 换称为平移变换简称平移 . 平移不改变图形的形状和大小 .三角形三边的数量关系：

5、三角形两边的差小于第三边2. 问题探究探究一 运用轴对称解决距离之差最大问题 活动回顾旧知，引入新知 师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史 中的经典问题将军饮马问题，但善于观察与思考的海伦在解决 两点直线同侧一线的最短路径问题时他从另一角度发现了最大 值的情况：活动整合旧知，探究新知例 1. 如图， A、B 两点在直线 l 的异侧， 在直线 l 上求作一点 C，使 ACBC的值最大【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系 【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较 来说明最值问题是常用的一种方法 .此题的突破点是作点 A（或点 B）关于直 线l 的对称点

6、 A（或B），利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直 线 AB（AB ）与直线 l 交点 C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线 l的对 称点A，AB的延长线交 l于点C，那么点 C即为所求活动类比建模，证明新知 师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明两点直线同侧一线 型时 AC +BC 最小的吗？试类比证明 AC BC最大的作法是否 正确性？理由：在直线 l 上任找一点 C （异于点 C ），连接 CA ，C A，C A，CB.因为点 A，A关于直线 l 对称，所以 l 为线段 AA 的垂直平 分线，那么有 CACA，所以 CACBCA CBAB.又因为点 C 在l

7、上，所以 CACA.又在ABC中，CACBCA CB<AB，所以 CA CB<CACB.练习 点 A、B 均在由面积为 1的相同小矩形组成的网格的格点上，建 立平面直角坐标系， 如下图.假设 P是 x轴上使得|PAPB|的值最大的点， Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，请在图中画出点 P 与点 Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三 角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点 P与A、B共线时，即在线段 AB 的延长线上，点 P 为直线 AB 与x轴的交点，那么此时 P是 x轴上使得 |PAPB|的值最大的点， 即PAPB=AB. 将点 A、

8、B 看成 y 轴同侧有两点：在 y 轴上求一点 Q， 使得 QA+QB 最小【解题过程】延长线段 AB，AB与x轴交于点P，那么此时 P是x 轴上使得 |PAPB|的值最大的点，即 PAPB =AB ；作点 A 关于 x 轴 的对称点 A，AB的连线交y轴于点Q，那么点 Q是y轴上使得QA+ QB 的值最小的点 .【答案】如图，点 P与点 Q 即为所求： 探究二 利用平移解决造桥选址问题 活动结合实际，难点分解 师：常说遇山开路，遇水搭桥，生活中的建桥问题与我们所学习 的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸 CD 上的点 A 处需建一座桥，连接河岸 EF，且 CD EF.显然当桥 AB 垂直于

9、河岸时，所建的桥长最短 .活动生活中的实际问题例 2. 如图， A 、B 两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥 M N，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？假设河的两岸是平 行的直线，桥要与河岸垂直【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点 A 到点 B 要走的路 线是 AM NB，如下图，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 A MBN 最短即可如图 1，此时两线段 AM、BN 应在同一平行方向上，平 移 MN 到 A A，那么 A A=MN，AM+NB= A N+NB ，这样问题就转 化为：当点 N 在直线 b 的什么位置

10、时， AN+NB 最小？如图 2，连接 A， B 两点的线中，线段 AB 最短，因此，线段 AB 与直线 b的交点 N 的 位置即为所求，即在点 N 处造桥 MN ，所得路径 AM NB 是最短的 .图1【解题过程】 如图 2，平移 MN 到 AA 或者过点 A 作 A A垂 直于河岸，且使 AA 等于河宽连接 BA 与河岸的一边 b 交于点 N. 过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸 a 于点 M.【答案】如下图，那么 MN 为所建的桥的位置图2活动几何证明 上述作图为什么是最短的？请你想想 . 先让学生小组合作完成，进行展示、分享 .证明：由平移的性质， 得 MN AA ， 且 MN= AA

11、， AM=A N， AM A N，所以 A、B 两地的距离 :AM+MN+BN= AA+ AN+ BN= AA + A B. 如图 2，不妨在直线 b 上另外任意取一点 N， 假设桥 的位置建在 NM处，过点 N作 NM a，垂足为 M ，连接 A M ，AN ，N B.由平行知： AM =AN， AA= NM， 那么建桥后 AB 两地的距离为：AM+MN+NB=AN+AA +N B=AA +A N+NB. 在 ANB 中，AN+NB>AB，AA +AN+NB>AA +AB ， 即 AM +M N+NB>AM+MN+BN. 所以桥建在 MN 处，AB 两地的路 程最短 .【设

12、计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而做 出最短路径的选择 .练习 如图 1，江岸两侧有 A、B 两个城市，为方便人们从 A 城经过一 条大江到 B 城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江 岸互相平行 .应如何选择建桥的位置，才能使从 A 地到 B 地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从 A 到 B 要走的路线是 AM NB，如下图，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AMBN 最短即可此时两线段应在同 一平行方向上，平移 MN 到 AC，从 C到 B 应是余下的路程，连接 BC 的 线段即为最短的，此时不难说明点 N 即为建桥

13、位置， MN 即为所建的桥【解题过程】 (1)如图 2，过点 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河 宽；(2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N； (3)过点 N 作河岸的垂线交另一条 河岸于点 M.【答案】如图 2所示，那么 MN 为所建的桥的位置3. 课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：1利用轴对称知识解决线段距离之差最大问题；2利用平移、两点间线段最短解决造桥选址问题重难点归纳 解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条 直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问 题距离之差最大问题的两种模型：如果两点在一条直线的同侧 时，过两点

14、的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一 条直线的异侧时， 先作其中一点关于直线的对称点， 转化为即可 . 通常求 最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三 边的关系来推证说明其作法的正确性 造桥选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上解决连 接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽 度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问 题三课后作业基础型 自主突破1.如图，A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线 a表示输水总 管道，直线 b 表示输煤气总管道现要在这两根总管道上分别设一个连接 点，安装分管道将水和

15、煤气输送到 A、B 两幢大楼， 要求使铺设至两幢大楼 的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中，点 A是点 A 关于直线 b的对称点， AB 分别交 b、a于点 C、D；点 B是点 B 关于直线 a的对 称点， BA分别交 b、a于点E、F那么符合要求的输水和输煤气分管道 的连接点依次是 A、F和 CB、F和EC、D和CD、D和E【知识点】最短路径问题【思路点拨】 图中隐含了两个两点同侧一线型的模型 .【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点 是点 B 关于 a的对称点 B与 A 的连线的交点 F，煤气分管道的连接点是 点A关于b的对称点A与B的连线的交点 C、应选A、【答

16、案】A2. 如下图，一面镜子 MN 竖直悬挂在墙壁上， 人眼 O 的位置与镜子 M N 上沿 M 处于同一水平线 有四个物体 A 、B、C、D 放在镜子前面，人 眼能从镜子看见的物体有 A.点 A、B、CB. 点 A、B、D C. 点 B、C、DD. 点 A 、B、C、D【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜 面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须 在眼的视线范围内如以下图示，分别作 A、B、C、D 四点关于直线 MN 的对称点 A、B、C、 D由于 C不在 MON 内部，故人能从镜 子里看见 A、B、D 三个物体【解题过程

17、】如以下图示，分别作 A、B、C、 D 四点关于直线 MN 的 对称点 A、B、C、D由于 C不在 MON 内部，故人能从镜子 里看见 A 、 B、D 三个物体【答案】B3如图，在四边形 ABCD 中， C50°， BD90°，E、F 分别是 BC、DC上的点，当 AEF 的周长最小时， EAF 的度数为A、50°B、60°C、70°D、 80°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角 形内角和、四边形内角和【解题过程】在四边形 ABCD 中， C50°，BD90°， BAD=130 °

18、;延长 AB 到 P，使 BP=AB， 延长 AD 到 Q，使 DQ=AD ，那么点 A 关 于 BC 的对称点为点 P，关于 CD的对称点为点 Q，连接 PQ与 BC 相交于 点 E ，与 CD 相交于点 F，如图， PQ 的长度即为 AEF 的周长最小值；又 BAD=130 °，在 APQ 中， P Q 180° 130° 50°. AEF P PAE2 P，AFE Q QAF2Q，AEFA FE2（PQ）2×50°100° ， EAF=180° 100°=80°【思路点拨】 补全图形，转化

19、为一点两线型求三角形周长最小 的问题；根据三角形的内角和等于 180°求出 P Q，再根据三角形的外 角以及三角形内角和知识运用整体思想解决【答案】D4. 如图，村庄 A，B 在公路 l 的同侧， 在公路 l 上有一个公交车站点 P， 此点 P使得 PBPA值最大，试作出公交车站 P 的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点 P、点 A、点 B 不共线时，根据三角形任意两边 的差小于第三边 ，那么PBPAAB； 当点 P与 A、B 共线时，即 在线段 BA 的延长线上，点 P为直线 AB 与直线 l 的交点，那么 PBPA =AB.【解题过程】

20、当点 P在直线 l上且点 P、点 A、点B不共线时 PB PA AB ；当点 P 在线段 BA 的延长线与直线 l 的交点时，如图， PB -PA=AB ，即 PB PA =AB ；【答案】如图，点 P 为所求公交车站的位置 .5. 如图，等边 ABC 的边长为 2，AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 边 上的动点， F是AC 边上的中点，当 EF+EC取得最小值时，求 ECF的度 数.【知识点】等腰三角形的三线合一，轴对称知识，两点之间线段 最短【思路点拨】拆分出点 F、点C和直线 AD ，构成两点一线型的基 本模型是解决此题的关键， 连接 CF或者连接 BF与直线 AD 交于点 E

21、， 此时 EF+EC取得最小值为 CF或者 BF，但题目要求 ECF 的度数， 那么只能连接 CF，根据等腰三角形 三线合一的性质求解 .【解题过程】 取 AB 得中点 F，那么等边三角形 AC 边的中点 F 与点 F关于直线 AD 对称；连接 CF，与直线 AD 相交于点 E，此时 EF+EC 取得最小值 .因为 CF是等边 ABC 的边 AB 上的中线，所以 CF平分 ACB，那么 ECF 的度数是 30°.作图解题之前应该忽略图中的点 E，如图 1，又由两点一线型的最 短距离的模型得到图 2；【答案】 ECF 的度数为 30°6. 如图，在 Rt ABC 中， ACB

22、=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD 是BAC 的平分线假设 P、Q分别是 AD 和 AC 上的动点，求 PC+PQ的 最小值 .【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点 C作CMAB于点M，交AD 于点P，过点 P作PQAC于点 Q，AD是BAC的平分线， PQ=PM，这时PC+PQ 有最小值，最小值为 CM 的长度. AC=6，BC=8，AB=10，SABC= 1 A B? CM= 1 AC? BC， CM= AC BC =6 8 =24 ，即 PC+PQ的最小值为 24 2 AB 10 5 5【思路点拨】因为

23、BAC 的对称轴是 BAC 的平分线所在的直线 AD， 所以点 Q 的对称点在射线 AB 上.假设点 Q 关于直线 AD 的对称点为点 M， PC+PQ =PC+PM， 又当 PC、PM 共线时， PC+PM 的最小值为线段 CM 的最小值，根据垂线段最短， 所以当 CMAB 时线段 CM 的值最小 .过点 C 作 CM AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P作 PQAC 于点 Q，因为 AD 是 BAC 的平分线，得出 PQ=PM，这时 PC+PQ有最小值，最小值为 CM 的长度，再运用 SABC= 1 AB? CM= 1 AC? BC，得出 CM 的值，即 PC+22PQ 的最小值此

24、题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足 PC+P Q 有最小值时点 P 和 Q 的位置【答案】 245能力型 师生共研7. 如下图，在边长为 3 的等边三角形 ABC 中，E、F、G分别为 AB、A C、BC 的中点，点 P是线段 EF 上一个动点，连接 BP、 GP，求 BPG周 长的最小值【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使 PBG的周长最小，而 BG=1.5 是一个定值，只要 使 BP+PG 最短即可，那么转化为两点一线型的最短路径问题 . 连接 A B 交直线 EF 于点 P即当 P和 E重合时，此时 BP+PG最小，即 PBG 的周长最小 .【解题过程】如图

25、，连接 AG 交 EF于 M.等边 ABC，E、F、G 分 别为 AB 、AC 、 BC 的中点， AGBC，EFBC， 那么 AGEF，AM= MG，A、G 关于 EF对称，连接 AB 交直线 EF于点 P，即当 P和 E 重合 时，此时 BP+PG最小，即 PBG 的周长最小， AP=PG，BP=BE， 最 小值是： PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=3+1.5=4.5 【答案】 4.5探究型 多维突破8. 读一读： 勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系 : 在直角三角形 中，两直角边 a、 b的平方和等于斜边 c的平方， 即 a2 +b2 =c2 .我国 古代学者把直角三角

26、形的较短直角边称为勾，较长直角边为股， 斜边称为弦，所以把这个定理成为勾股定理 .例如：直角三角形的 两个直角边分别为 3、4，那么斜边 c2= a2+b2=9+16=25，那么斜边 c为 5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股 定理的具体内容我们将在八年级下册中学到 .借助勾股定理，请尝试完成下 面的练习：如图，A、B 两个村庄位于河流 CD 的同侧，它们到河流的距离 AC=1 0km，BD=30km ，且 CD=30km现在要在河流 CD 上建立一个泵站 P向村 庄供水，铺设管道的费用为每千米 2 万元，要使所花费用最少，请确定泵 站 P 的位置，并求出此时所花费用的最小值为

27、多少？保留痕迹，不写作 法【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据得出作点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连接 AB， 那么 A B 与直线 l 的交点 P 到 A、B 两点的距离和最小，再构造直角三角 形利用勾股定理即可求出此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和 勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形【解题过程】依题意，只要在直线 l 上找一点 P，使点 P到 A、B 两点 的距离和最小作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 A B，那么 AB 与直线 l 的交点 P 到 A、B 两点的距离和最小， 且 PA+PB=PA+PB=AB、 又过点 A 向 BD 作垂线

28、，交 BD 的延长线于点 E，在直角三角形 A BE 中，AE=CD=30，BE=BD+DE=40 ，根据勾股定理可得： AB=50千米 即铺设水管长度的最小值为 50 千米所以铺设水管所需费用的最小值为： 50×2=100万元【答案】 100 万元9. 读一读： 勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系 : 在直角三角形 中，两直角边 a、 b的平方和等于斜边 c的平方， 即 a2 +b2 =c2 .我国 古代学者把直角三角形的较短直角边称为勾，较长直角边为股， 斜边称为弦，所以把这个定理成为勾股定理 .例如：直角三角形的 两个直角边分别为 3、4，那么斜边 c2= a2+b2=9+1

29、6=25，那么斜边 c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股 定理的具体内容我们将在八年级下册中学到 .借助勾股定理，请尝试完成下 面的练习：如图， AOB=30 °，点 M、N 分别在边 OA、OB上，且 OM=1，ON =3，点 P、 Q分别在边 OB、OA 上，那么 MP+PQ+QN 的最小值是 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点 M、N分别在边 OA、OB上的定点，作 M关于 OB的 对称点M，作N关于OA的对称点 N，连接MN，即为 MP+PQ+ QN 的最小值【解题过程】解：作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N关于 OA 的对称 点 N ，连接 M

30、N，即为 MP+PQ+QN 的最小值根据轴对称的定义可知： NOQ=MOB=AOB=30°，O N=ON=3，OM=OM=1 ，N OM =90°，在 RtMON中，MN= 32 12 = 10 故答案为 10【答案】 10自助餐1. 如图，小河 CD 边有两个村庄 A 村、B 村，现要在河边建一自来水 厂E为 A村与 B村供水，自来水厂建在什么地方到 A村、B村的距离和最 小？请在以下图中找出点 E 的位置保留作图痕迹，不写作法【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短 【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出 A 点关于直线 CD 的 对称点 A，再连接 AB交CD于点

31、E，即可得出答案【解题过程】如下图，点 E 即为所求2. 如图，在一条笔直的公路 l 旁修建一个仓储基地，分别给 A、B 两 个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差 即PBPA最小 ? （保留作图痕迹及简要说明 ）【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即 PB AP 0，所以当点 PA=PB 时， PBPA最小值为 0.【解题过程】 作线段 AB 的垂直平分线，与直线 l 交于点 P，交点 P 即为符合条件的点如图，取线段 AB 的中点 G，过中点 G画 AB 的垂线， 交 EF于 P，那么 P到 A，B 的距离相等也可分别以

32、A、B 为圆心，以大1于21AB 为半径画弧， 两弧交于两点， 过这两点作直线， 与 EF的交点 P即为 所求【答案】如图，点 P 为所求公交车站的位置 .3. 如图，直线 l 外不重合的两点 A 、 B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的长度最短，作法为：作点 B 关于直线 l 的对称点 B；连接 AB 与直线 l 相交于点 C，那么点 C 为所求作的点在解决这个问题时没 有运用到的数学知识或方法是 A、转化思想B、三角形的两边之和大于第三边C、两点之间，线段最短D、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】点 B 和点 B关

33、于直线 l 对称，且点 C 在 l 上，CB= CB，又 AB交 l 与 C，且两条直线相交只有一个交点， CB +CA= A B最短，即此时点 C使 CA+CB 的值最小，将轴对称最短路径问题转化为 两点之间，线段最短，表达了转化的思想，验证时利用三角形的两边 之和大于第三边应选 D、【思路点拨】利用两点之间线段最短分析并验证即可此题主要 考查了利用轴对称知识解决最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一 般要考虑线段的性质定理两点之间线段最短，结合本节所学轴对称变 换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点【答案】D4. 如图，在 ABC 中，AC=5，EF垂直平分 BC，点 P为直线 EF

34、 上的 任一点，那么 AP+BP 的最小值 = .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】数形结合 .【解题过程】 EF垂直平分 BC， B、C关于 EF对称.连接 AC 交 E F于 D，当 P和 D 重合，即当点 P在直线 EF上的 D 点处时， AP+BP 的 值最小，最小值等于 AC 的长为 5.【思路点拨】根据题意知点 B 关于直线 EF 的对称点为点 C，故当点 P 与点 D 重合时， AP+BP 的最小值为 AC 长度 5.【答案】55. 如图，在平面直角坐标系中， PQ x 轴于点 Q，P-4， 8. 直线 AB 垂直平分线段 OQ,交 x 轴于点 C，点 M 为直线

35、 AB 上的一动点，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，连接 PM、NQ，求 PMMN NQ 的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线 AB 和 y 轴看作河的两岸，点 P 和点 Q看作河 岸两侧的点，转化为造桥选址问题 .从 P到 Q要走的路线是 PMNQ， 如下图，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 PM QN 最短即可此 时两线段应在同一平行方向上，平移 MN 到 PP，从 PNQ 应是余 下的路程，当 PN+ NQ 的值最小时 PM MN NQ 有最小值 .作点 Q 关于 y 轴的对称点 Q，连接 P Q的线段即为最短， P Q与 y 轴的交点 为 N

36、，过 N 作直线 AB 的垂线，垂足为点 M，那么 PMMNNQ 的最小 值为线段 PQ的长【解题过程】因为 PQx 轴于点 Q，P-4，8所以 Q-4，0又因 为直线 AB 垂直平分线段 OQ,交 x 轴于点 C，所以 C -2， 0.如图 2，过 点 P作 PPAB 于 P，且 PP等于 OC、又作点 Q关于 y 轴的对称点 Q4，0，连接 PQ与 y 轴的交点为 N，过 N 作直线 AB 的垂线，垂 足为点 M ，那么 PM MN NQ 的最小值为线段 PQ+MN 的长又易 得 P C=8， QC=6，借助勾股定理，在直角三角形 P CQ中可得 PQ = P'C2 Q'C2 = 82 62 =10，所以 PMMNNQ 的最小值为 10+2=1 2.【答案】 PMMN NQ 的最小值为 12.