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1、2017-2018学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中,有且仅有一项是符合要求的1. （5 分）已知集合 A=1, 3, 4, 5，集合 B=x Z|x2-4x-5v 0，则 A A B的子集个数为（）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16(姑2. (5 分)计算：二di =()2 B.- 2 C . 2i D. - 2i3.A.4.削存在零点的是（）2 f (x) =ln(x+l) (5分)在下列区间中，使函数 厂(0,1) B. (1, 2) C. (2, e) D. (3, 4) （5分）设随机变量X
2、服从正态分布N （0，1），P （X > 1） =p，则P （X >-1)A. p B. 1 - p C. 1 - 2p D. 2p5. （5分）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到 0.8mg/ml,在停止喝酒后，血液中酒精含量 就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（）小时后才可以驾驶机动车.A. 1 B. 2 C. 3 D. 46 . （5分）如图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图，则 该几何体外接球的面积（单位：cm
3、2）等于（）A. 55 冗B. 75 nC . 77 dD . 65 n7. （5分）某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（）2C.D. 0U B .I所表示的区域为M，函数y= -1 -x8. （5分）设不等式组与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（）JJ 四A.可 B. A-7tC. JLD .丄9. （5分）用数学归纳法证明“的图象v n (n N*, n> 1) ”时，由 n=k3(k> 1)不等式成立，推证A. 2k “B. 2k - 1 C. 2k10. （5分）已知函数f （x）n=k+1时，左边应增加的项数是（）D. 2k+1=C
4、OS （ 2x+4I）,将y=f （ x）的图象上所有的点的横,纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|咁个单位长度,坐标缩短为原来的所得的图象关于原点对称，则 ©的一个值是（）3 叫 3TT| 5H| 3叫A.B .C.D . -1-111. （5分）“> 4”是 方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12. (5分)抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,准线为L，A、B是抛物线上的W两个动点，且满足/ 的最大值是()7tAFB<3.设线段AB的中点M在L上的投影为N，则置23丄A
5、. 1B. 1 C. 1D.13.、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知两个单位向量，满足|+2|=_，贝U，的夹角为.（5 分）_a14.（5 分）dx=a，则(x+卫)展开式中的常数项为15.16.（5 分）（5 分）若寸/兀、1sin） -cos CL =-y-已知cos（2a），则已知函数f (x) = (x2+ax+b) ex，当bv 1时，函数f (x)在(-巴b+2-2）, （1,+x)上均为增函数，则归的取值范围是三、解答题：共70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第仃21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根 据要求作答.
6、(一)必考题：共60分.17. (12分)已知等差数列an满足a4=6，a6=10.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设等比数列bn各项均为正数，其前n项和Tn，若b3=a3, T2=3，求Tn .18. (12分)如图，在四棱锥中P- ABCD，底面ABCD为边长为-卫的正方形， PA丄 BD .(1) 求证：PB=PD;(2) 若E，F分别为PC，AB的中点，EF丄平面PCD，求直线PB与平面PCD 所成角的大小.19. (12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与 生育政策的历史性调整，使得要不要再生一个”生'二孩能休多久产假”等成为千 千万万个家庭
7、在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成 的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷 调查，得到如下数据：产假安排(单位：周)1415161718有生育意愿家庭数48162026(1) 若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家 庭有生育意愿的概率分别为多少？(2) 假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择. 求两种安排方案休假周数和不低于 32周的概率； 如果用E表示两种方案休假周数和求随机变量 E的分布及期望.20. (12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x
8、轴上，左顶点为A，左焦 点为F1 (- 2, 0)，点B (2,迴)在椭圆C上，直线y=kx (k工0)与椭圆C交 于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N(I)求椭圆C的方程；(U)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化，总有/ MPN为 直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.21. (12分)已知函数 f (x) =ax (Inx - 1) (a0).(1) 求函数y=f (x)的单调递增区间；(2) 当 a>0 时，设函数 g (x) =EJx3-f (x)，函数 h (x) =g' (x)， 若h (x) >0恒成立，求实数a的取值
9、范围； 证明：In (1 x 2Xn) 2ev 12+22+32+n2 (n N* ).(二)选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答至选做题答题区 域，标清题号如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程(本题满分10分)x=i+tcos e22. (10分)已知直线I的参数方程：一 (t为参数),曲线C的参数(沪近8m a方程： ( a为参数)，且直线交曲线C于A , B两点.(I)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求 B=l时,|AB|的长度；(U)已知点P: (1, 0),求当直线倾斜角B变化时，|PA|?|PB|的范围.选修4-5:不等式选讲23. 已知函
10、数 f (x) =Iog2 (|x - 1|+| x+2| - a).(I)当a=7时，求函数f (x)的定义域；(U)若关于x的不等式f (x)> 3的解集是R，求实数a的取值范围.20仃-2018学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学 试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中， 有且仅有一项是符合要求的21. （5 分）已知集合 A=1, 3, 4, 5，集合 B=x Z|x - 4x-5v 0，则 A A B的子集个数为（）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【分析】求出集合B,根据集合的基本运算进行求解即可.【解
11、答】解：B=x Z| x2 - 4x- 5V 0=B=x Z| - 1v xv 5=0, 1, 2, 3，4， 则 A A B=1, 3, 4,故A A B的子集个数为23=8个，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件求出 A A B是解决本题的关键.（2+i） CL-1）?2. （5分）计算：二门=（）A. 2 B.- 2 C . 2i D . - 2i【分析】先求出（1-i） 2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幕运算性质进行化简.【解答】 解： = 黔 =£=2,故选A.【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单
12、位 i的幕运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数.3. (5分)在下列区间中，使函数f (x)=ln(x+l)2存在零点的是)A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, e)D. (3, 4)【分析】由函数零点的判定定理即可判断出.【解答】 解：f (1) =ln2 - 1vlne仁0, f (2) =ln3 1>Ine 1=0,二 f (1)f (2)v0.函数f (x)在区间(1, 2)上存在零点.故选B.【点评】熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键.4. (5分)设随机变量X服从正态分布N (0, 1), P (X > 1) =p,贝U P (X
13、 > 1)=()A. p B. 1 p C. 1 2p D. 2p【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于 x=0对称，得到一对 对称区间的概率之间的关系，即 P (X > 1) =P (X V- 1),得到要求的区间的概 率.【解答】解：随机变量X服从正态分布N (0, 1),P (X > 1) =p, P (X V 1) =p,P (X> 1) =1 P (XV 1) =1 p,故选B.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于 x=0 对称时，对称轴两侧的对称区间上的概率之间的关系， 本题的运算量比较小，是 一个送分题目.5.
14、(5分)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾 驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml,在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过()小时后才可以驾驶机动车.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【分析】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量 成等比数列，进而可得方程，求得 n.【解答】解：设n个小时后才可以驾车，由题得方程0.8 （1 - 50%） n=0.20.5n=_，n=2即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.故答案为2【点评】
15、本题意实际问题为依托，主要考查了等比数列的性质及实际应用. 考查 了学生运用所学知识解决实际问题的能力.6. （5分）如图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图，贝U 该几何体外接球的面积（单位：cm2）等于（）A. 55 冗B. 75 nC . 77 dD . 65 n【分析】由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A - BCD ;由三棱锥的体积求出h的值，把三棱锥还原为长方体，长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R，由此求出外接球的面积.【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A - BCD ;由三视图可知 AB丄平面BCD，BC丄BD，BD
16、=5，BC=6, AB=h，三棱锥的体积 V=3xUx 5X 6h=20，A h=4;把三棱锥还原为长方体，如图所示；则长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径 2R;（ 2R） 2=42+52+62=77，三棱锥外接球的面积为S=4冗R2=77 n故选：c.目.甘 疋基【点评】本题考查了三棱锥的结构特征以及多面体外接球的面积计算问题, 础题.7. （5分）某一算法程序框图如图所示，则输出的 S的值为（）C. 一D. 0【分析】由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,根据y=sin 的周期性，即可求出S的值.【解答】解：由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量Hl2兀 |2
17、87 瓦S=si-l+sil+sin +sin$的值，n2£l由于y=sin的周期为6,且同一周期内的6个函数值的累加和为0;又 2016-6=336,287 口=sin?K I 2开所以 S=sin+sin 3 +sin故选：A.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.'x-y<V2jx+y>-Va8. （5分）设不等式组 所表示的区域为 M，函数y=-五丈的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（Jb.7tTC.7tT【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率.点O到直线x+y=-迟和直线x - Y巫的距离均为迈1 =1，
18、故半圆与AB，BC相切.向M 内随机投一个点，则该点落在N内的概率为故选B.【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.9. (5分)用数学归纳法证明v n (n N , n> 1)”时，由 n=k(k> 1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是(k -1k,小k,，然后判A. 2 B. 2 - 1 C. 2 D. 2 +1【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1,末项为断n=k+1时增加的项数即可.【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1.末项为I:4 1 I 1 I由n=k，末项为 到n=k+1，末项为也=戈T+龙，二应增加的项数为 2k.故选C.【点评
19、】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题, 注意表达式的形式特点，找出规律是关键.10. ( 5分)已知函数f (x) =COS (2x+2I)，将y=f (X)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的度，所得的图象关于原点对称，则3兀A.，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|咁个单位长 ©的一个值是()5引C.-【分析】根据函数y=Asin (x©) 诱导公式，求得©的值.D.的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性,)的图象，再把所得的图象向右平移|咁个单位长度，可得y=cos (4x- 4|咁+一I)的图象.【解答】解：已知函数f (x)
20、=cos (2x+4J)，将y=f (x)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得 y=cos ( 4x+!根据所得的图象关于原点对称，可得-3H4| 咁+£j=kn+_i, k Z,令k=- 1,可得©的一个值是卫丄故选：D.【点评】本题主要考查函数y=Asin （®x©）的图象变换规律，正弦函数的图象 的对称性，属于基础题.11. （5分）“A 4”是 方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】方程x2+ax+a=0有两个负实数根, 结论.，解出即可
21、判断出A=a2-4a>0a>0【解答】解：方程x2+ax+a=0有两个负实数根，则 “A4”是 方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的充分不必要条件.故选：A.,解得a> 4,【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. （5分）抛物线y2=2px （p>0）的焦点为F,准线为L, A、B是抛物线上的|MN|7TAFB=2rl.设线段AB的中点M在L上的投影为N，则辿231A. IB. 1C. 2D.空两个动点，且满足/ 的最大值是（）【分析】设|AF|=a, |BF|=b,连接
22、AF、BF.由抛物线定义得2|MN|=a+b,由 余弦定理可得| AB| 2= （ a+b） 2 - 3ab,进而根据基本不等式，求得| AB |的取值范 围，从而得到本题答案.【解答】解：设|AF|=a, |BF|=b,连接AF、BF,由抛物线定义，得|AF|=|AQ| , |BF|=|BP| , 在梯形 ABPQ 中，2| MN | =| AQ|+| BP| =a+b.由余弦定理得,| AB 12=a2+b2 - 2abcos60=a2+b2 - ab, 配方得，|AB|2= (a+b) 2-3ab,)2,a+b|又 ab< (_ ( a+b) 2 - 3ab>( a+b) 2
23、-U (a+b) 2=U (a+b) 21得到 | AB| >2 (a+b). I MN |1,I MN |即的最大值为1.故选：B.PkVQO【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求 AB中点M到 准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、 梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）已知两个单位向量，满足|+2|=亡，贝U，的夹角为【分析】禾U用向量的模的计算公式，求出向量的夹角即可.【解答】解：因为|一+2=_,所以 I 2+2号| 2=，+4 &(迟)2,
24、又，是两个单位向量，1 1 ?又且 b二 | 呂 | | b |且，所以co_2兀丨，的夹角为m.故答案为I.【点评】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的应用，考查计算能力.耳614. (5分)若jf创dx=a，则(x+创)6展开式中的常数项为160 .【分析】先根据定积分求出a的值，再根据二项式定理即可求出展开式中的常数 项.【解答】解：f dx=2lnx|J=2 (Ine-ln1) =2=a，2(x+2) 6展开式中的常数项为C6323=160,故答案为：160【点评】本题考查了定积分和二项式定理的应用，属于基础题.sin(-;-a ) -cos Q 半15. (5分)已知cos(2Q
25、+-) ，则【分析】根据三角恒等变换化简兰石7)8°一z兀cos(2Cl -F再利用二倍角公式求出-.丄兀 sin【解答】解：兀二 sin-的值.d)-cosd6311，得出 sin ( a)的值,JT cos a cos&sin cos aSinor COS aK sin （ od卫J） = - 3;=1 - 2sin2 （ a+一一!）=-sin （ a+_l） =3,117一百r故选：9.【点评】本题考查了三角恒等变换与二倍角公式的应用问题，是基础题.16. (5分)已知函数f (x) = (x2+ax+b) ex，当bv 1时，函数f (x)在(-巴 b+2l1-2)
26、, (1, +x)上均为增函数，则豆的取值范围是 (-3,-司1 .【分析】根据求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出a，b的取值范围，绘制出a，b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围.【解答】解：由 f'(x) =x2+ (a+2) x+a+bex函数 f (x)在(-x，- 2)，(1，+x)增函数，2 x + (a+2) x+a+b > 0 恒成立，42 (a+2)+a+b>0 >1十(a+2)+n+b>Qa-b=Co-L2a+b+30 ?画出满足条件的平面区域，如图所示:-34-5由 ，解得B (1,1),r2a+b+3=0由 ，解得 C (-
27、 1,- 1),b+2而 Kab= - 3, Kac b+2结合图象 立的几何意义表示过A (2,- 2)与平面区域内的点的直线的斜率,故空切的取值范围是(-3,-3,故答案为：(-3,-创.【点评】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题.三、解答题：共70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 第 仃21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根 据要求作答.(一)必考题：共60分.17. (12分)已知等差数列an满足34=6, a3=10.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设等比数列bn各项均为正数，其前n项和Tn,若b3=a3,
28、 T?=3，求Tn.(2)由(1)可得an=2n- 2,把已知可转化为丄bj q =2bl+q+q2)，解方程可得b1,【分析】(1)利用等差数列的通项公式可把已知条件用 31, d表示，解方程可得 a1, d从而可求anq,代入等比数列的求和公式.【解答】解：(1)设等差数列an的公差为d,首项为a, (a1+3d=6T ai=6, a6=10,.呂卢5D ( 3分)鬥解得(5分)二数列&的通项公式 an=ai+ (n- d) d=2n- 2. (6 分)(2)设各项均为正数的等比数列bn的公比为q (q>0)ai=2n 2,as=4,t a3=b3, b3=4bj q2=4
29、I即®（l+q罔（8分）解得舍（ 10 分）l-q1-2=21（12 分）【点评】本小题主要考查等差、等比数列的通项公式以及等比数列的前 n项和公式，属于对基本定义、基本公式的简单运用的考查，试题难度不大.18. (12分)如图，在四棱锥中P ABCD，底面ABCD为边长为-日的正方形，PA丄 BD .(1) 求证：PB=PD;(2) 若E, F分别为PC, AB的中点，EF丄平面PCD,求直线PB与平面PCD 所成角的大小.【分析】（1）连接AC, BD交于点0,连结P0,则AC丄BD，结合PA丄BD得 出BD丄平面PAC，故而BD丄P0,又0为BD的中点，得出 0P为BD的中垂
30、线，得出结论；（2）设PD的中点为Q,连接AQ，EQ,证明四边形AQEF是平行四边形，于 是AQ丄平面PCD，通过证明CD丄平面PAD得出CD丄PA,结合PA丄BD得出 PA丄平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线 PB与平面PCD所 成角的正弦值等于|cosv一1111> |，从而得出线面角的大小.【解答】解：（1）连接AC, BD交于点0,连结P0.底面ABCD是正方形， AC 丄 BD, 0B=0D .又 PA丄 BD , PA?平面 PAC, AC?平面 PAC, PAG AC=A , BD 丄平面 PAC,v P0?平面 PAC, BD 丄 P0.又 0B=0D,
31、PB=PD.（2）设PD的中点为Q,连接AQ, EQ,AFI1贝 U EQ/ CD, EQ=UcD , 又 AF/ CD, EQ/ AF, EQ=AF , 四边形AQEF为平行四边形，二EF/ AQ ,v EF丄平面PCD,： AQ丄平面PCD, AQ丄PD,v Q是PD的中点， AP=AD二一.v AQ 丄平面 PCD,： AQ 丄 CD,又 AD 丄 CD, AQ A AD=A , CD 丄平面 PAD,： CD 丄 PA.又 BD 丄 PA, BD A CD=D , PA丄平面 ABCD .以A为坐标原点，以AB , AD , AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 B （_,0,
32、 0）, P（0, 0, AQ丄平面PCD,：T为平面PCD的一个法向量.cos<瓦，固 =|丽|両| =-2设直线PB与平面PCD所成角为9, 则 sin 9 =osv 帕，岡 > | =Z .7T直线PB与平面PCD所成角为【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用, 属于中档题.19. （12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与 生育政策的历史性调整，使得要不要再生一个”生'二孩能休多久产假”等成为千 千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成 的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200户
33、有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷 调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1） 若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家 庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案， 然后由单位根据单位情况自主选择. 求两种安排方案休假周数和不低于 32周的概率； 如果用E表示两种方案休假周数和求随机变量 E的分布及期望.【分析】（1 ）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为 16周时某家庭有生育意愿的概率.（2）设
34、两种安排方案休假周数和不低于 32周”为事件A，由已知从5种不同 安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和 不低于32周的概率.由题知随机变量E的可能取值为29，30, 31，32, 33, 34，35.分别求出相 应的概率，由此能求出E的分布列和E （ $ .【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率P 二 4 = 1为1 200贡；，P a丄当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为_艾2_ （2分）（2）设 两种安排方案休假周数和不低于 32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取 2种方案选 法共有!（种），其和不低
35、于 32 周的选法有（14、18）、（15、17）、（15、18）、（16、17）、（16、18）、（17、18），共 6 种，由古典概型概率计算公式得P TH（6 分）由题知随机变量 $的可能取值为29, 30，31, 32，33, 34, 35.P（& =29）=-0.1 P（&-30）=0. 1, P（&2戸（2=匹）辜丸起，P（ 2=33）諾产6 2, P（ 2=34）专严6 1, P（ &110 10 10 10因而E的分布列为E293031P0.10.10.2323334350.20.20.10.1所以 E ( 0 =29X 0.1+30 X 0.1
36、+31 X 0.2+32 X 0.2+33X 0.2+34X 0.1+35X 0.1=32,(12 分)【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.20. (12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦 点为F1 (- 2, 0)，点B (2, 一)在椭圆C上，直线y=kx (k工0)与椭圆C交 于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N(I)求椭圆C的方程；(U)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化，总有/ MPN为 直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在
37、，请说明理由.2 2【分析】(I)由题意可设椭圆标准方程为 工1 +EJ=1 (a>b>0),结合已知及隐 含条件列关于a, b, c的方程组，求解方程组得到a2, b2的值，则椭圆方程可求；(U)设F (xo, yo), E (- xo,- yo),写出AE、AF所在直线方程，求出 M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN为直径的圆 经过定点(土 2, 0),即可判断存在点P.x2| y厨=1 (a> b>0),2【解答】解：(I)由题意可设椭圆方程为-4贝 U c=2, a2 - b2=c2, 一=1,解得：a2=8, b2=4.可得椭圆c的
38、方程为回+亠=1；2x0(U)如图，设 F (xo, yo), E (- xo, yo),贝U 8 I +=1, A (- 2id,0),AF所在直线方程y= 三至（x+2），2V2y0取 x=0，得 y='2V2y0二 N （0，： '),AE所在直线方程为y=2L(x+门),2V2y0取 x=0，得 y='则以MN为直径的圆的圆心坐标为（),半径r=圆的方程为x2+ （y -i6y02叫= x02)22V2o.，即 x2+( y+162 =取 y=0，得 x= ± 2.可得以MN为直径的圆经过定点（土 2，0）.可得在x轴上存在点P （± 2，0
39、），使得无论非零实数k怎样变化，总有/ MPN为直角.【点评】本题考查椭圆的方程和简单性质， 考查直线与圆位置关系的应用，考查 整体运算思想方法，是中档题.21.1. (12分)已知函数 f (x) =ax (Inx - 1) (a0).(1)求函数y=f (x)的单调递增区间；(2)当 a>0 时，设函数 g (x) =£x3-f (x)，函数 h (x) =g' (x), 若h (x) >0恒成立，求实数a的取值范围； 证明：In (1X 2X 3X -x n) 2ev 12+22+32+n2 (n N* ).【分析】(1)求出函数f (x)的导数，对a讨论，
40、分a>0, av0,由导数大于0, 解得增区间；(2)当a>0时，求出g (x)的导数，由题意可得药£1的最大值，求出右边函数的导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求a的范围；2 由可得上V圉，x N，可得2elnnvn2,由累加法和对数的运算性质即可 得证.【解答】解：(1)函数 f (x) =ax (Inx- 1)的导数为 f'(x) =a (Inx - 1) +a=alnx， 当 a> 0 时，x > 1 时，f'( x) > 0，f (x)递增；0v xv 1 时，f' (x) v 0，f (x) 递减；当 av 0
41、 时，Ov x v 1 时，f' (x) > 0，f (x)递增；x> 1 时，f'( x) v 0，f (x) 递减.即有a>0，f (x)的递增区间为(1，+x)；av0时，f (x)的递增区间为(0, 1)；(2)当 a>0 时，设函数 g (x) =§!x3-f (x) =®x3- ax (Inx - 1), 丄函数 h (x) =g' (x) =x2 alnx, x>0,1 如i2h (x)> 0恒成立，即为如丄的最大值，In”|由y=的导数为. ，当x >一时，函数y递减； 当0vxv凶时，函数y
42、递增，即有x=/l取得最大值坠,解得 0v a< e；证明：由可得X |v亦1, x N ,即有 2elnnv n2,可得 2e （In 1+ln2+ln3+lnn）v 12+22+32+n2,则 ln （1?2?3n 2ev 12+22+32+n2 （n N*）.【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数， 考查不等式的证明，注意运用已知不等 式，考查运算和推理能力，属于中档题.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程（本
43、题满分10分）22. （10分）已知直线I的参数方程：L尸口 °（t为参数），曲线C的参数（a为参数），且直线交曲线C于A， B两点.（I）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求 B=l时，|AB|的长度；（U）已知点P： （1, 0），求当直线倾斜角B变化时，|PA|?|PB|的范围.【分析】（I）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，可+y T2求出直线AB的方程，代入，可得3x2- 4x=0，即可求出| AB|的长度；X2 2 （U）直线参数方程代入 ，A，B对应的参数为ti, t2，则|PA|?PB| =-tit2,即可求出| PA| ? PB|的范围.（玄
44、二屈営a【解答】解：（I）曲线C的参数方程：一 （a为参数），曲线C的普-v+y =1通方程为.当B=l时，直线AB的方程为，y=x - 1, x=0 或 x=JJ(U)直线参数方程代入 ，得(cos2 (+2sin2 0) t2+2tcos 仁0.10 +2si n2 _l+si J b2 口 宀 + 2 设 A , B 对应的参数为 ti, t2, | PA| ? PB| = tit2=cg二二1 勺,1.【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键.选修4-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) =log2 (|x 1|+| x+2| a).(I)当a=7时，求函数f (x)的定义域；(U)若关于x的不等式f (x)> 3的解集是R,求实数a的取值范围.【分析】(I)当a=7时，利用对数函数的真数大于 0,列出不等式，禾U用绝对 值不等式转化为：代数不等式即可求函数 f (x)的定义域；(U)利用绝对值的几何意义，转化求解即可.【解答】解：(I)由题设知：|x 1|+| x+2| >7,令x 仁0