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1、.习题7-5 1. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n=(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0, 即3x-7y+5z-4=0. 2. 求过点M0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n=(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0, 即2x+9y-6z-121=0. 3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n1=(1,
2、-1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为 ,所求平面的方程为 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0, 即x-3y-2z=0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x=0; 解 x=0是yOz平面. (2)3y-1=0; 解 3y-1=0是垂直于y轴的平面, 它通过y轴上的点. (3)2x-3y-6=0; 解 2x-3y-6=0是平行于z轴的平面, 它在x轴、y轴上的截距分别是3和-2. (4); 解 是通过z轴的平面, 它在xOy面上的投影的斜率为.
3、(5)y+z=1; 解 y+z=1是平行于x轴的平面, 它在y轴、z轴上的截距均为1. (6)x-2z=0; 解 x-2z=0是通过y轴的平面. (7)6x+5-z=0. 解 6x+5-z=0是通过原点的平面. 5. 求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n=(2, -2, 1). 此平面与yOz面的夹角的余弦为 ; 此平面与zOx面的夹角的余弦为 ; 此平面与xOy面的夹角的余弦为 . 6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为 , 所求平面的方程为
4、(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0, 即x+y-3z-4=0. 7. 求三平面x+3y+z=1, 2x-y-z=0, -x+2y+2z=3的交点. 解 解线性方程组 得x=1, y=-1, z=3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3). 8. 分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx面且经过点(2, -5, 3); 解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0×(x-2)-5(y+5)+0×(z-3)=0, 即y=-5. (2)通过z轴和点(-3, 1, -2); 解 所求平面可设为Ax+By=0. 因为点(-3, 1, -2
5、)在此平面上, 所以 -3A+B=0, 将B=3A代入所设方程得 Ax+3Ay=0, 所以所求的平面的方程为 x+3y=0, (3)平行于x轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7). 解 所求平面的法线向量可设为n=(0, b, c). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即 b+9c=0, b=-9c , 于是 n=(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1). 所求平面的方程为 9(y-0)-(z+2)=0, 即9y-z-2=0. 9. 求点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为 . ；.