《近世代数模拟试题12.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数模拟试题12.doc（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、近世代数试卷、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X”；每小 题1分，共10分）1、 设A与B都是非空集合，那么A_. BxxA且xB；。（）2、 设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f。（）4、 如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）6群G的子群H是不变子群的充要条件为-gG,-h H;gHg5H。（）7、如果环R的阶2，那么R的单位元1=0。（）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（）9、 F（x）
2、中满足条件p（）=0的多项式叫做元：在域F上的极小多项式。（）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z p同构的子域，这里Z是整 数环，p是由素数p生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1分，共10 分）1、 设A,A2,，An和D都是非空集合，而f是A A2 An到D的一个映射， 那么（）集合人，人2,，An,D中两两都不相同； A,A2,，代的次序不能调换； A A2 An中不同的元对应的象必不相同； 一个元 印，&2,，K的象可以不唯一。2、 指出下列那些运算是二
3、兀运算（）在整数集Z 上, =；在有理数集Q上,；ab在正实数集R*上，aaln b :在集合n己Z n K0上, a b = |a -b。3、 设是整数集Z上的二元运算，其中amax a, b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设G/为群，其中G是实数集，而乘法:a a b k，这里k为G中固定的常数。那么群 G/中的单位元e和元x的逆元分别是（）0和- x ；1和0；k和x _2k；一 k 和一（x 2k）。5、设a,b, c和x都是群G中的元素且x2a二bxc', acx二xac，那么x =（） bc Ja 1 ；
4、c'a'；a'be'；b'ca。6设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH?。如果6,那么G的阶 G|=（）6；24；10；12。7、设f :G!G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）f的同态核是G的不变子群；G2的不变子群的逆象是 G的不变子群;G的子群的象是G2的子群；G的不变子群的象是G2的不变子群。8、 设f :Ri > R2是环同态满射，f （a）二b，那么下列错误的结论为（）若a是零元，则b是零元；若a是单位元，则b是单位元；若a不是零因子，则b不是零因子；若R2是不交换的，则R|不交换。9、下列正确的命题是（）欧
5、氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、 若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（） E:I = E:I I :F ； F :E = I :F E:l ； I :F = E:F F :I ； E:F 二 E:l I :F。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空 无分。每空1分，共10分）1、设集合A -二1,0,* ； 8 =叼加，则有B A二2、如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则f'fa13、设集合A有一个分类，其中A与A是A的两个类，如果 A式Aj，那么Aj4、设群G中元素a的阶为m
6、 ,如果a" =e,那么m与n存在整除关系为5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6给出一个5-循环置换二=(31425)，那么二-1二。7、若I是有单位元的环 R的由a生成的主理想，那么 I中的元素可以表达为。8、 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R |是一个域当且仅 当1是。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果。10、 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分)1、 如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么
7、在a1 'a' 'an 里，元的次序可以掉换。2、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么S = 0。4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d二d5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a°,a1,，可使得 a0 印亠"：'亠 an n =0。五、计算题(共15分，每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换3 2 3 4、12 3订 2 3 4严 一
8、 J 2 44)广1<233'12 3<2 144、3；组成的群G ,试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及二，二，二3°,二和G的 所有子群。2、设Z61! 2, 3,4,5"是模6的剩余类环，且f(x),g(x) Z6'x丨。如果 f (x) = 3 X3 - 5 X 川21、g(x) = 4 X 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立 设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么S = 0。S=l 或 S=R 4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会
9、有最大公因子，若d和d'都是a和b的 门5 X 31,计算 f (x) g(x)、f (x) - g(x)和 f(x)g(x)以及它们的次数。六、证明题(每小题10分，共40分)1、设a和b是一个群G的两个元且ab = ba，又设a的阶a = m , b的阶b = n , 并且(m, n) =1，证明：ab的阶ab = mn。2、 设 R 为实数集，Va, R,a 式 0,令 f(a,b): Rt R,xT ax + b,Wx R，将 R 的 所有这样的变换构成一个集合 G = f(a,b)忖a,b R,aH。，试证明：对于变换普通 的乘法，G作成一个群。3、 设J和丨2为环R的两个理
10、想，试证X丨2和Ii I'a ba，hb 都是R 的理想。4、 设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：R中的非零元不是可逆元就 是零因子。近世代数试卷参考解答、判断题12345678910XXVVXV VVXX、单项选择题1 234 567 89 10三、填空题1、* 1,-1)(1,0)(1,1證-1 )(2,0 )(2,1 卩。2、a。3、叭 4、mn。5、变换群。6、13524。 7、ayi,xi,y R。8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且 q只有平凡因子。10、E的每一个元都是 F上的一个代数元。四、改错题1、 如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律,那么在a1 a' an 里，元的次序可以掉换。结合律与交换律最大公因子，那么必有d=d'。 一定有最大公因子； d和d'只能差一个单位因子5、叫做域F的一个代数元，如果存在 F的都不等于零的元a。®,©使得a0 q 亠二：亠ann =0。