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1、第十三届全国结构风工程学术会议论文集几种气动导数识别方法的比较姜保宋周志勇(同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海200092)摘 要 在由scanlan建立起来的基于非变形结构和践性气动力模型的桥杲近似风撅理论中，气动导數扮演着一 个较为重要的角色.本文对几科弋动导就的时城识别方法从理论上和实例上进行了分析比较.对绪果进行进一步的 分析并讨论推出算法的优势、不足.关键词 弋动号數、様态參敷识別.桥樂结构h SI S现代斜拉桥朝着超大跨度、极度柔性方向发展，桥梁跨径的加长使得结构对风的敏感程度大为 增强，避免结构发生发散性的颤振运动也因此成为大跨径桥梁设计过程中必须关注的问题。在桥梁 结构颤
2、振和抖振分析中，气动导数扮演着非常龛要的角色。目前，对于桥梁气动导数识别的方法可以分为时域方法和频域方法，时域方法主要有最小二乘 法"问叭随机子空间法(CSSI)和特征系统实现方法(ERA)本文主要对几种时域的识别方法从 理论上和实例上作一些分析比较。对结果进行进一步的分析讨论并进一步指出算法的优势和不足。根据Scanlan的颤振分析理论，两自由度桥梁节段模型在均匀流场中的运动可以用如下的微分方 程描述：刑彷+垢亦+& 方(1)I(&+2a(oaa+o)ia)(2)其中°，M分别为升力和力矩，可以写为如下形式： 訥(2B)昭依许砂&+ 玲 町=护伽2
3、曲仗)升3的普時式中，P为空气密度，U为风速，B为模型的宽度；折算频率KdBlUx H；和4(i=U3,4)AK的量 纲为一的系数，称为气动导数，它与桥梁断面的具体形状、结构自身的物理参数以及流体自身特性 有关，可通过风洞试验获得。令：竺迴H；(切码二便迴圧仗)仏=理竺“；(的垃=色竺心上)mmmm则方程，变为:h += H& + H2dc + H/x +G)d + 2a(oa&+aa = 4人牛 *2&+ Ah (4)与方程,(4)对应的状态方程为：715第十三届全国结构风工程学术会议论文集(5)r = AY其中'"【° £1 c
4、玄叫7-H, 1-H,几种时域识别方法就是通过求出不同风速下的特征矩阵A来实现气动导数的识别的。«為纳f潼疔SI求解特征矩阵A的特征值和特征向量，对于欠阻尼系统，特征值和特征向量成共钝对出现，特 征值记为召,心,入»人人*，对应的特征向量记为州，岁岁2；屛，入和丼分别称为系统 的复频率和复振型。体系的自由振动响应可以表示为：x(/)=£ 4才 + C：甲汕(6)M式中：时C：为与初始条件相关的常数。如果我们能够得到矩阵A的特征值与特征向量，那么矩阵A便可以求得，从而可以得到结构的气 动导数。最小二乘法就是基于这一思想，事先假定初值，通过迭代的方法最终求得矩阵A的特
5、征值 与特征向量，从而实现气动导数的识别。但是最小二乘法对初值假定的要求较高，初值不合理可能 造成迭代的不收敛，因此，一般先用ITD或者MITD的方法算得的结果作为初值。H费饉墓H雲弟灌年R职疔軸对前面得到的状态方程(5),我们可以进一步转化为离散的线性时不变系统，可用状态方程表示 为：x(i + l) = r(i) + M*)(7)用)=C“)"12.(8)其中A>别称为系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵，AeR21, Be , Ce , xwR",応R,心，n为系统的状态向量维数，s为测振点数，m为激振点数，“为输入的激振信号。一般假定激 励信号为白噪声信号，并且与系统
6、的响应无关。(9) (10)(12)分别定文状态向量和输出向量的协方差矩阵如下：A /=/?(0 = £X*+0X*)r 并定义GExMykT 可以得到Af = CAG根据(9X，构造Hankel_R矩阵如下' Wi) W(“l)】观+ 0-1) Hi(0=【腿 + 1) W + 2)l 【飓+0) R(f+a_l) /?(/+a)(i+a+p-2).i 犷g AG .冶Glimd<2ji式中a,0分别称为能观、能控指数。(13)716第十三届全国结构风工程学术会议论文集对M(O)作奇异值分解./(切=QSrf，Qis，卩十，均为n阶列正交矩阵：对角阵 刃2i=diag
7、© at <7.)。可以得到A = S-1,2rH*(l)KS-V2(14)G = S,/2rJ(15)2 = E5S"2(16)由上式确定的fAGi为系统的一个最小实现，系统的特征信息包含在这些矩阵中. 在获得状态矩阵与输出矩阵之后，系统的模态参数就可以通过求解状态矩阵的特征值问题得到。根据振动理论，方程(13)中的系统离散状态矩阵A的特征值分解可以表示为： = 'FAT-1(17)其中A是由系统极点构成的对角矩阵，曾是系统的复特征向鬼矩阵，由离散状态矩阵与连续状 态矩阵之间的关系八e3(18)可知*罠=¥，4=奴；1)/&(19)系统模态
8、频率及模态阻尼比可以通过下面的关系得到：入=-a)+jaJ匚 F(20)模态振型可表示为4> = CT(21)设识别出的系统的2n个系统特征对分别为入,才,#| (21,2/i)C表示复数的共辘运算可以证明f MWr(22)其中1 J OA OK由此得出包含颤振气动导数修正匡的非经典系统的物理矩阵©, kb从而识别出气动导数。 在获得状态矩阵与输出矩阵之后，系统的模态参数就可以通过状态矩阵得到。随机子空间方法也是通过构造相关函数矩阵，对矩阵作奇异值分解，从而求得系统得一个最小 实现，其核心思想是将“将来”的空间向量投影到“过去”的空间向量，并且保留过去的信息，进 而预测未来。随
9、机子空间方法中的Toeplitz矩阵的形式如下：A, Ai A,TA叶 A(A,(23): : :Aim A 纶2该矩阵可由“将来”的空间向量矩阵向“过去”的空间向量矩阵得到.即:(24)XyM久小*九 yi儿1 其中UyMyj，y - 1x 儿 y畑儿畑7进一步将Toeplitz矩阵分解可以得到：7；=c CA CAAG Ai2G g(25)c CA称为可观矩阵，aG Ai2Gg称为可控矩阵。两种方法都利用相关矩阵来生成目标矩阵，假定激励信号为白噪声信号并且和系统响应不相关 的基础上求得系统的最小实现，因而识别精度是一致的。从基本的物理概念出发，随机子空间法有更为明确的物理概念，因而也更易于
10、接受。从构造Hankel矩阵的速度方面来说，随机子空间方法可以将矩阵分解为两个原始系统响应矩阵 的乘积，而特征系统实现法无法完成这一分解，从而耗时相对较大。两种方法的本质区别只是Hankel矩阵的构造方式不同，所以我们还可以通过其他的方式来构造 Hankel矩阵来求得系统的一个最小实现，其识别精度应该没有差别。II捋蹩墓第罢璋潼昌纳兰蟹潼附比!I最小二乘法对初值的设定较为敏感，设定不当可能造成迭代的不收敛，因而一般需要先用ITD 方法求得的结果作为迭代初始值；而特征系统实现方法要求的只是系统得一个最小实现，并不需要 迭代过程，因而不需要假定初值就可完成。另外，对于噪声信号，特征系统实现法由于采
11、用相关矩阵，对白噪声信号起到了很好的抑制作 用，另外对矩阵作奇异值分解，相当于作了一次滤波，被滤掉的相当于零奇异值的、与系统无关的 随机噪声，所以状态方程不需要扩阶，为噪声提供了出口'最小二乘法虽然也有较强的抗噪能力， 但是当结构自身的响应过弱，结构的信噪比较小时，最小二乘法可能失效，虽然有作者提出对较弱 的信号提出加权来改善识别的精度，但是对弱信号的放大无形中也放大了噪声信号的量级，对识别 结果的改菩效果并不能达到预期的效果。法和最小二乘法的气动导数结本文以江西洪都桥的阶段模型测振数据为基础,比较了ERAZ 果，从前面的理论分析可以看出随机子空间方法(CSSI)和ERA方法的识别精度
12、是一致的，因而未加 以比较。从比较的结果可以看出，两种方法在不同的风速下的识别结果都吻合的较好。该模型为一流线形断面，模型长度为1.7m,宽度0.586m,厚度0.057m,模型支撑采用弹簧悬吊 支撑方式，模型系统等效质量5.567焙/炳，等效转动惯量为0.1311畑討加，系统竖弯基频为2.92HZ, 模态阻尼比0.43%拥转基频6.70HZ模态阳尼比0.34%.模舉的断面示意图如下，图1模型斷面示意图（单位:mm）It风速时程采样频率为200HZ,采样点数为2046,实际计算过程中能观、能控指数取为20,相关 运算次数160次，即只使用了大约200个点的采样数据，识别结果就与最小二乘法接近了
13、。如下图所 示.MB,:/： u-r：八：1 / V *:4;1 1 . AAA、w <* *1右一匕叮零叟二晋 i !b5弋T打-扩PT<4叶图2 ERA/DC方法和最小二兼法识别结果的比较从识别的结果可以看出，两种方法的识别结果比较吻合，但是H：的识别结果在高风速下的 误差较大，这主要是由于模型在高风速下以扭转振动为主，刚度矩阵出现较强的耦合造成的，由于 桥梁一般主要发生扭转为主的颤振，所以这两项识别结果对结构的分析影响不大.本文对两种不同时域气动导数识别方法进行了理论上和试验上的比较，从比较的结果可以看出 最小二乘法和ERA/DC方法的识别结果较为一致，验证了ERA/DC方法
14、的有效性，同时，从理论的角 度上分析了最小二乘法的缺点，指出在高风速和大素流度的情况下ERA/DC方法具有更高的识别精 度。并且通过试验结果可以看出，ERA/DC方法在采样点数为200的情况下就可以达到较高的识别精 度,计算速度也很快，同时，ERA/DC法不需要迭代求解，因而也不需要假定初值，因而比最小二 乘法更为优越。但是，随着桥梁结构朝着超大跨度、极度柔性方向发展结构的非线性效应也会更加明显，从 桥梁的颤振基本理论模型可以看出，该理论实际上是假定系统为线性时不变系统而得出的，对于极 大跨径桥梁，结构在较高风速下的非线性效也将变得更为明显，线性时不变系统的基本假定将不再 成立.因此.有必要对
15、结构在高风速下的非线性效应作更深入的分析参考文献1 Gu M, Zhang R X and Xiang H F. Identification of flutter derivatives of bridge decks 卩 Journal of Wind Eugiiaeaujg null Indwrtruil AaiMiynamkv 9 2000 (84) t 1311622 Gu M, Zhang R X and Xiang H F. Parametric study on flutter derivatives of bridge decks J . Eng. Structures, 2
16、001 (23): 1607-16133 秦仙蓉等.荼流风场中桥梁气动导数识别的随机方法土木工程学报2005, 38(4):7774 丁泉顺，陈艾荣，项海帆.大跨度桥梁结构气动耦合直接颤振分析.中国公路学报2001,14(3):34445 丁泉顺.大跨度桥梁耦合颤抖振响应的精细化分析1博士学位论文.上海:同济大学,20016 王丽炜夏江宁荣汉文.桥梁颤振气动导数识别的ERA算法及其仿真实现.振动工程学报2004,17(8):7047127 丁泉顺陈艾荣，项海帆.桥梁断面气动导数识别的修正最小二乘法同济大学学报如01»29(1)2»298 祝志文颠明.基于自由振动响应识别颤振导数的特征系统实现法.振动与冲击;200625(5)如3附录第一作者：姜保宋男，硕士研究生,1984年2月出生720几种气动导数识别方法的比较戸方薮据作者：姜保宋，周志勇作者单位：同济大学土木工程防灾国家重点实验室上海200092本文链接：