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1、上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习复数的概念与运算知识点归纳：1. 复数的有关概念和性质：(1) i 称为虚数单位, 规定 i 21, 形如 a+bi 的数称为复数 , 其中 a，bR；(2) 可以从复数的实部、虚部出发定义实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模等概念；(3) 复数的相等：z1a1b1i , z2a2b2i (a1 ,b1 , a2 ,b2R) ，那么 z1z2a1b1且a2b2 ；(4) 共轭复数的运算性质： z1z2z1z2 z1z2z1 z2z1z1 znn(n Z ) .z2(z)z2 zz zRzz若非零复数 z 为纯虚数zz22 z z zz
2、 .(5) 复数 z 的模： |z|=a 2b2， z z = z2； zz ； z22z1z1复数模的运算性质：z zz ； z z2z z ；( z 0)112z2z22(6) 复数与实数不同处任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小在实数集内不是任何实数都可以开偶次方复数对四则运算和开方均通行无阻2. 有关计算，几个特殊结论：（ 1） i 4n 1i ；i 4 n 21 ； i 4 n 3i ；i 4n1（ nZ ）1 ii ； 1ii ； (1i ) 22i； (1 i) 2- 2i1 i1i（2）如果13 i , 则13 i2；2；1 ；31 ；2
3、2221203 复数复习注意点：（ 1）证明复数是实数：zabiR b0( a， bR) ； z20 ； zz.（2）证明复数是纯虚数： zab i 是纯虚数 a0 且 b0( a， bR ) ； zz0 且 z 0； z2 0 .（ 3）数的概念扩展到复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 1 页 共 8 页上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习题型讲解：例 1下列命题中：（ 1）两个虚数不能比较大小；（ 2）若 zabi(a, bC ) ，则当且仅当 a0, b 0
4、时， z 为虚数；（ 3）若 xyi 1i ，则 xy 1；（ 4） zaa za2z2（ 5） z（ 6） amn (am ) n ( m，n Q)（ 7）若 ( z1z2 ) 2(z2z3 ) 20 ，则 z1z2z3 ；（ 8）若实数 a 与 ai (aR) 对应，则实数集与纯虚数集一一对应。（ 9）设 z1, z2C ， z1z2 ， Az z z z ， Bz z z z，则B A。12211122其中正确的命题的是解：（ 2） a 可以为0（3）没有说明x， y 是实数（ 4） z 可能是虚数（5）左式为实数，右式可能为虚数（ 6）反例 i63i 42 ；（ 7）反例： i 210
5、 ；（8） 0没有对应的纯虚数（ 9）是正确的：由于 BA z1 z1z2 z2z1 z2 z2 z1(z1z2 )( z1z2 )| z1 z2 |2 0 ，显然 B 为实数， B A 为实数，于是A 是实数，可以比较大小，该结论正确。综上 : (1)(9) 例 2、实数 m 分别取什么数时，复数z=(1+i) m2+(5 2i)m+615i 是实数；虚数；纯虚数；对应的点在第三象限；对应的点在直线x+y+4=0 上；共轭复数的虚部为12。2解： z=(1+i) m +(5 2i)m+6 15i22=( m +5m+6)+( m 2m 15)i. mR, z 的实部为 m2+5m+6,虚部为
6、 m2 2m15.要使 z 为实数，必有m22m 15 0,m R,m=5 或 m= 3.要使 z 为虚数，必有m2 2m 15 0, m 5 且 m 3.要使 z 为纯虚数，必有m25m60,即 m或m2, m= 2.23m2m150,m且m5,3要使 z 对应的点在第三象限，m25m 6 03m2, 3<m< 2.必有2m 15 03m5,m2要使 z 对应的点在直线x+y+4=0 上，必有点 (m2+5m+6,m2 2m15)满足方程 x+y+4=0 ， (m2+5m+6)+( m2 2m 15)+4=0.解得 m= 5 或 m=1.2要使 z 的共轭复数的虚部为12，则 (
7、m2 2m 15)=12, m= 1 或 m=3. 复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 2 页 共 8 页上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习例 3、（ 1）复数 z1m21 (m2m)i 与 z22(13m)i(mR) 是共轭复数，求实数m 的值z2azb求实数 a、 b 的值 .(2) 已知 z=1+i ，如果2z=1 i,z1（3） z(12i )5 (34i )，求复数 | z |(2 i) 5（ 4）已知 a22abb2a2b2278i ，求实数 a,b a babi32i解：（ 1）实部相等，虚部互为相反数，可求出m=1 ；z2azb (1i )2a(1
8、i ) b(ab)(a2)i(2) 方法一 : 由 z=1+i, 有z 1(1 i )2=i=(a+2) (a+b)i.z2(1 i) 1由题设条件知(a+2) (a+b)i=1 i.根据复数相等的定义，得a21,解得a1,( a b)b 2.1.方法二：若进行除法计算较麻烦，可将已知等式变形为z2+az+b=(1 i)( z2 z+1), 这样就避免了除法运算，相对来说要简单些 . (z2 z+1)(1 i)= (1+i) 2 (1+i)+1 (1 i)=i(1 i)=1+i ，又 z2 +az+b=(1+i) 2+a(1+i)+ b=(a+b)+(a+2)i,ab1,a1,由题设及复数相等
9、的定义，得21.ab2.（ 3） | z | ( 5) 5 55 (5)5（ 4）注意观察到， 左边分母对应复数的模的平方恰好为分子，于是 a22abb2a2 b2a b abi ，ababi右边等于 5a2a36i ，求得：3或bb2例 4（ 1）求1630i 的平方根；（2）已知 z28 6i, 求 z316 z100的值z100100解：（ 1）(3 5i) ； （ 2）解同一；或者z316zz(z216)zzz(8 6i1008100z2 (86i) 100 (86i)(86i )1000 16)z(6i)zzzz例 5、计算下列各式的值（ 1） i2i 23i 350i 502012
10、（2）23i2123i1 i复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 3 页 共 8 页上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习（ 3） (2 2i ) 4 (1 3i ) 5（ 4）13i ,nN* ，求 (12 )(124 )(148 )(12 2n 122 n ) 的值22解：（ 1） (22i)1249i 4950i 502424i49i502625i ；（ 2）i(2)1006ii10061 i 。2i（ 3）24 (1i )4(2i )213i )13i ；2(2( 2)5( 13 i )52( 13 i )222222131（ 4）116211124113 22
11、 n 12 222 22 )2 ) 4n 22n 1() (n例 6、（ 1）求最小正整数n，使3是纯虚数，并求出这个纯虚数。33 i22(1i ) 2n(1i ) 2nn，求最小正整数 n。（ 2）已知i1i21333i13，若为纯虚数， 则 n3(2k 1) ，k 为整数。解：（ 1）223i (i )3i3223 i2 2取 k=1 最小正整数为 3。或者， n=1， 2， 3 代入验证，反正求最小。（ 2）原式化为 (1i) 2n (1i )(1i) 2n (1i)(2i )n (1i) (2i ) n (1 i )2n ，222两边同除 2n 1 并整理可得： i n 1i(1)n
12、(1 i)2 。分析知最小 n=3。例 7、（ 1）设 z 是虚数， Wz1是实数， u1z ，求证： u 为纯虚数 .z1z（ 2）设 z1,z2 为两个非零复数，且z1+z2 =|z1z2|，求证： ( z1)2为负数 .z2（ 1）证明： Wz1 R， z1z1z1， zz (11) 0zzzzzz ( z z)(11)0， z 是纯虚数， zz0 ， | z| 1， z1| z |2z复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 4 页 共 8 页上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习(1z )1z11z1 uzu . uu0 . z 是虚数， z1， u0 ，1z1z
13、11z1z u 为纯虚数（或者设zabi (a,bR) ，再证明） .（ 2）证法一： | z1z2 | z1z2 |( z1z2 )( z1z2 )( z1z2 )( z1z2 ) ，于是 z2 z1z1 z20 ，由 z1 , z2不等于0，于是z1z1) ，所以z1是纯虚数，(z1)2为负数 .。z2(z2z2z2证法二： z1+z2 =|z1 z2|两边同除 z2，可得： | z11| z11| ，设 z1a bi ( a, bR) ，z2z2z2可得出 z1bi （代入计算，或利用几何意义） 。由于 z1 , z2 不等于0，于是 b 不为 0，接下同上。z2注本题（1）中利用z1R
14、z R 或 | z | 1 这 个 结 论 去 做 也 可 以 ， 显 然zz R,zzzzz 。这类结论非常重要，如z10RzR或 | z | 10 。z10z（ 3）已知复数 z 满足 | z4 | z4i |, 且 z14z 为实数，求 z 。z1解： z14z 为实数，即z14zz113是实数，故 z 是实数，或者 | z1|13 。最终解z1z1z1得实数 z10, z233i, z322i（ 4） 已知 z13 ， z25 ， z1z27，求 uz1 的值。z2解：由题意可得u1z1z27，又uz13z25z2，故知复数 u 对应的点是以原点为圆心、半5径长为3 的圆和以 A （-
15、1， 0）为圆心、半径长为7 的圆的交点，设uxyi ，则 u 1( x 1) yi55x 2y2(3 )2x3510u33 3 i ( x1)2y27)2y3 3(1010105注上述解法是本类题的常用解法，本题还可考虑利用复数模的几何意义求解，于是有：解法 2：如下图，OZ1z3， OZ2z25 ，OZzz7 ，故只需求出Z1 OZ2，设112Z1OZ2，OZ2 Z，在OZ 2 Z 中，由余弦定理得cos3252721120，235260z13 cos(60 ) i sin(60 )33 3 i z251010复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 5 页 共 8 页上海交通大学附属
16、中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习例 8、设 z是虚数，z1 是实数， 12.z（ 1）求 | z | 及 Re z 的取值范围；（ 2）设 u1z ，求证： u 为纯虚数；1z（ 3）求u 2 的最小值 .解：（ 1）设 zabi( a , bR , 且 b0 ) ，z1a bi1( aa) ( bb)i ，za2b2a2b2a biR ， bb0 ，a2b2 b0 ， a2b21z1 .则2 a ，12， Re z (1,1) .（ 2） a2b21 ，且 b0 ，2 u1 z(1a )bi(1a )bi (1a )bi bi ， u 是纯虚数 . 1 z (1 a ) bi(1 a
17、)2b21 a（ 3）u 22a(bi)22a1a2(1a)12343 1，1a1aa当且仅当 a0时， (u2 ) min1. 巩固练习班级 _姓名 _1.计算：1i =； 1 ii 2i 3i 2005=.1i2.复数5的共轭复数是.2i13.已知 x 是实数， y 是纯虚数且满足 （2x1)(3 y)iyi ，则 x； y.4.复数 z3ai 满足条件 | z 2 |2 ，则实数 a 的取值范围是.(34i )2(31 i )105.若 z22，则 | z | =.(23i) 46.若 a , bC ，则下列结论中正确的是.a 2b 22ab ；| a |b | 2 | a | | b
18、| ；a2| a | ；若 ab ，则 a 2b 2 .7.设 z1,z2, z3C ，下列命题中假命题的是. |z1 | | z1 | ； 若 z12z22 ，则 z1 z1z2 z2 ； | z1 z2 | z1 | | z2 | ； 若 ( zz)2( zz) 20 ， 则 z1z2z.z32| z3 |212233复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 6 页 共 8 页上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习8、已知 z、w 为复数， (13 i) z 为纯虚数， wz，且 | w |5 2 ，则 w =_.2i9、满足 (1i ) n(1i) n 的最小正整数n
19、 的值为.10、已知两个复数 z1i, z221 28i, ，数列 a的通项公式为 ann z11 ，且前 n 项的和为 Snz2 ，1n则项数 n 的值为.二、选择题11、Z Z0是 Z 为纯虚数的（）A. 充分而非必要条件B.必要而非充要条件C. 充要条件D.既非充分又非必要条件12、复数 zlg( x22)( 2x2x 1)i( xR) 在复平面内对应的点位于()(A) 第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限。13、已知 A m 0m6,mZ ,集合 B z | zxyi , x, yA,则集合 B中 ()(A) 有复数 30个(B)有实数5 个(C)有纯虚数5 个(D) 虚
20、数不足 30个。14、集合 A zz1ii 2i n ,nN* ，B= z1 z2 , 其中 z1 , z2A （ z1 可以等于 z2）从集合 B 中任意取一元素，则该元素的模为2 的概率是（）（A） 1；（B） 1；（C） 1；（D）2。3487三、解答题15、 (1) 求满足条件的z ： z z3iz 1 3i；（ 2）求复数 z ，使 z4R ，且z 22 .z16、 已知复数 z1(m21)2mi(mR) , z2asin(4sin2)i ,(0,) ， 若 z1z 2 , 求实数 a 的取值范围。17、设 z1=1- cos +isin ，z2=a2+ai(a R)，若 z1z2
21、0，z1z2 + z1z2=0，问在（ 0，2）内是否存在 使(z1- z2)2为实数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋创造未来第 7 页 共 8 页上海交通大学附属中学浦东实验高中20XX 届第一轮复习一、1、 i ； 1i ； 2 、12i ； 3、 x3 , y 4i ； 4 、 (3, 3)； 5 、1； 6、(7i) ；2； 7 、；8、9、 4；10、 7。二、 11、B； 12 、C； 13 、C； 14 、 D。三、 15、（ 1） z1 或 z13i.（ 2）解：z4R ，z4( z4)z4，（ z 0）zzzz化简得： ( z24)0，即 zz或 z24当 zz且 z22，得 z0, z4 ；z)( z，24 且 z22，得 z 13i .综上所述： z4 ， z13i.当 z16、解：z1z 2 ，a si nm 21，4 sin22 ma sin4 sin 24 sin2 ，a4 sin24si