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1、北京市西城区2020-2021学年上学期高一年级期末考试数学试卷学校:姓名：班级：考号：1.已知sinQvO,tan(9>0,那么&是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限2.函数.A-r)=sin2r的最小正周期为()A.B. nC. 2tt23.如果向量a- (1,2) , b二(3, 4),那么 2a-b=A. (-1, 0)B. (-1, -2)C. (1, 0)D. (1, -2)4.计算sin(兀a) + sin (兀+a)=()A0B1C 2sina一、单选题5. 如图，在矩形 ABCD 中，AO + OB + AD=()D.第四象限D-2siiiaA. ABB入
2、芒C. ADD. BD6. 已知向量满足a=2,b=,一迈,则向的夹角为()AB C D 4 4347. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=()A. -1B. 0C.丄D. 12( 、8. 要得到函数y = sin 2x + f 的图象，只需将函数y = sin2x的图象()A向右平移f个单位C.向左平移冬个单位B.向右平移仝个单位3D.向左平移£个单位o9. 函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示，P, Q分别为图象的最高点和最低点,O为坐标原点，若0P丄0Q,则A=()rt p310. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =
3、 1，BC = 2,若AM是BC边上的70B. HpO3D.-二0髙，点P在AABC内部或边界上运动，则丽丽的取值范用()16.二、填空题11sing的值是12. 已知向Ma=(l, 2), b=(x. -2),若 ab,则实数*13. 角0的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为(-1, 2),则tan0=14. 函数y = sinx + cosx的最大值是15. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论： 函数f(x)是偶函数： 函数f(x)在区间(一2, 0)上是增函数； 函数f(x)的最小正周期是2兀； 函数f(x)的图象关于直线对称.其中正确结论的序号是(写岀所有正确结论的序
4、号)设全集 U=R,集合 A=xlx<0) , B=xlx>l,则 AU(UB)=17.函数/(x) = 丁2” _8的定义域为18- 吨塔2扫个数中最大的是.三. 双空题19. 已知点A(0, 4), B(2, 0).如果AB = 2BC，那么点C的坐标为；设点P(3, t),且ZAPB是钝角，贝ijt的取值范围是2J>1,120. 已知函数/«= iogX>o<x<l,则 /(/()=:若张)=1， 2则X=21. 某购物网站在2021年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品， 最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：A + I&#
5、165;200 ¥200¥150柄怎枷：內、O9L用户应支付：200元+200元十150无=550元=减兔价格厳低商品价格150元 实际支忖：400元 实际折扣：400+550二旳73折 立省150元如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为折.+ hlRRlrf +¥500 I I ¥700在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为折(保留一位小数).四、解答题22.3已知ae(-,),且cosa = -j(1) 求tanez的值:求半L的值.sin 2a +123
6、. 已知函数 /(x) = sin(2x + -)6请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象:(II) 求在区间令却上的最大值和最小值:(III) 写出f(x)的单调递增区间；3尺 x! 2:-124. 如图，已知AB丄BC, AB=73 BC=>/3a> aeh 3,圆A是以A为圆心、 半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的 动点，AE BF (且 与 同向)，设ZBAE=e(eeO, tt).当狂且0=三时，求AE AC的值：6(II)用a, 0表示出CE.cp9并给出一组a, 0的值，使得防乙戸最小.25. 已知函数f(x) =
7、-L + ax是偶函数.0求a的值；(II)判断函数f(x)在区间(0,亦)上的单调性，并用函数单调性的左义证明你的结论.26. 设a为实数，函数/(兀)=疋_卜一q + 1, xER.(I) 当a=0时，求f(x)在区间0, 2上的最大值和最小值:(II) 求函数f(x)的最小值.27. 若函数 f(x)满足:对于 s, te0, +8),都有 f(s)>0, f(t)N),且 f(s)+f(t)<f(s+t), 则称函数f(x)为“T函数”.(D试判断函数fi(x)=x2与f2(x)=lg(x+l)是否是“T函数”,并说明理由;(II )15 f (x)7j"T 函数
8、”,且存在 Xo曰0, +oc),使 f(f(Xo)=Xo.求证:f (xo) =xo：(III)试写出一个“T函数” f(x),满足f(l)=l,且使集合yly=f(x), 0*1)中元素的个数最少.(只需写出结论)参考答案1. C【分析】根据sin6><0.tan/9>0.可判断&所在象限.【详解】sinQvO.3在三四彖限.tanQ>0. &在一三象限，故&在第三象限答案为C【点睹】本题考查了三角函数在每个象限的正负，属于基础题型.2. B【分析】函数/(x) = sin2x的最小正周期丁 =号=学兀.故选B3. A【详解】2a-b =2(
9、1,2) (3,4) = (-1,0).故选A.4. A【解析】由诱导公式，sinC7r-a) + sinC 7T+a) = sin a-sin a = 0故选A.5. B【解析】由题意，AO + OB + AD = AB + AD = AC故选B.6. D【详解】由向量的夹角公式可得cos仏巧二同同二好百_一,/» = _故选D7. B【解析】函数f（x） = cosx,其对称中心的横坐标：x = + kx, k eZ. 2当R=0时，可得x = m = 92则 /( ) = cos = 0»2 2故选B8. D【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;【
10、详解】sin 2x + j = sin 2 3丿-要得到函数）' =sin 2x + yj的图象，只需将函数y = sin2x的图象向左平移?个单位.6故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题.9. B2 2连接P0过只Q作轴的垂线，可得："十心（笋，。宀片（笋（少由题意，OPQ 是直角三角形，.Qp2=op2+OQ2, g|J2A2+2=|2,解得：A =.2故选B10. D【分析】根据图形几何特征分析向虽:数屋积的最大值和最小值可能取得的条件，结合函数关系求值 域.【详解】如图：在直角三角形ABC中，人为直角，AB = , BC = 2,所以AC
11、= >/亍,建立直角坐标系如图所示：3(1.0),C(0“)，宜线3C的方程为："命=1, 所以直线AM的方程：y = -x,所以M 芈，3I4 4点P在44BC内部或边界上运动，AM与丽夹角大于等于90° 由图可得：石7与丽夹角大于等于90°, 点P在线段BC上时，AM BP = 0且为最大值,点P在线段AC上时，丽丽有最小值，设点P(0O0<y<V3 ,综上所述:AMBP的取值范围是故选:D【点睛】此题考査求向量数量积的取值范围，关键在于根据题意找准点所在位置，结合几何特征以及函数求解，体现数形结合的思想.【解析】7t6>71 =-sm
12、 =67龙.sin = sin 7F +6即答案为弓12 一 1【解析】 由 a =（1,2）,万=（上一2）,且 ©I氏得 1x( 2)2x = 0,解得x = l即答案为：-1.13. -2【解析】角&的始边与X轴正半轴重合,终边上一点坐标为（-1,2）,x二-1, y二2,则tanO =丄=2,x即答案为：-2.14. y/2【解析】分析：利用两角和正弦公式简化为y=伍加+从而得到函数的最大值.函数y = sinx + cosx的最大值是 迈故答案为血点睛：本题考查了两角和正弦公式，考査了正弦函数的图象与性质，属于基础题.15. ®【解析】对于 = sinxt
13、anx,其泄义域为xx + k7t. k eZ,2关于原点对称，且 fC-x) = sin(-x) tanQ-x) = sinxtanx,函数/3是偶函数，故正确：当 x = 兰时，/(- ) = sinC- ) tanC- ) = ,33332当x=时，-£)= 5/,2(_£)/初(一兰)=迈，6 6 6 6 6而/(-)>/(-),故错误：3636/(2/r + x) = sin(x + 27r) a”(x + 2/r) = sinxtanx,:.函数/(x)的最小正周期是 2兀，故正确；/ /(7r-x') = sin( 7r-x) tan(兀一 x)
14、 = -sinxtanx, /(7t + x) = sin(. tt + x) tan(. + a) = -sinxtanx,:.f(7T-x) = f(7r+x),即函数/(x)的图象关于直线X"对称，故正确.正确结论的序号是.即答案为©.16. xlx<l【解析】B = xI x> 1,.：3 = xIxS 1,则 A<j(Q,B) = jvIx<1),即答案为Xx<.17. 3,+oo)【解析】由2v-8>0,得2V>8 ,即x>3.函数f(x) = y/2x-8的泄义域为3,乜).即答案为3,+8). 118. log
15、l-【解析】/. siii2 e (0,1) , log 2V/og?l =：0,伽； = g3>/og,2 = l,352 3-可得其中最大值为log. |.即答案为log 1 |.19. (3,-2)(1,3)【解析】根据题意，设C的坐标为(x，y)，又由点4(0,4) , 5(2,0),贝 1丽=(2,-4) ,BC = (a-2, y),若AB = 2BC则有(2,-4) = 2(兀一2,刃,则有2 = 2(2) ,-4 = 2”解可得x = 3, y = _2,则 C 的坐标为(3,-2),又由 P(39 Z),则 PA = (-3,4-0，丙= (), 若ZA阳是钝角，则卫几
16、丙=( 3)x( l) + (4 f)x(/) <0,且(一3)x(-7)h(-1)x(4C ,解可得 1<r<3,即7的取值范11为(1，3);即答案为(1).(3,-2)(2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标il算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，英中解题的 关键是掌握向量坐标计算的公式.120. 4 一22J>1,由题/W= loglx,0<x<l,>【解析】f / ii则/ f - =f logi - =/(2) = 22 =4 丿丿若/(x) = l,若X>1,可得2x = l,解得x = 0(舍去):若0<
17、5;<l,可得，°g丄尤“，解得x = l,2 2综上可得x=-2即答案为(1).4(2). 1221. 7.56.7【解析】由 500+700+400 = 1600,故 1600 - 400 = 1200,由 1200ml600 = 0.75,故打7.5 折，显 然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3件商品均为d元，则加一3au0.67,故商品实 际折扣力度最大约为6.7折，即答案为(1). 7.5(2). 6.7422(I) tan a =(II) -73【解析】试题分析：(【)利用同角三角函数的基本关系，求得的值.cos(H)由题意利用二倍角公式求得一的值.sin2a +
18、 l试题解析：(I)因为X 彳“)，cosa = -|,所以tantz =所以 sina = J1-cos'q sin a _ 4cos a 33cos a = 一一,54(II)由(I) sincr =-,2425J4(3、 所以sin2a = 2sincrcosa = 2x x 一一5 5丿cos2a = 2cos2a-1 = 2x -1 =I 5 丿25所以cos2asin2a + l2524+ 12523. 见解析：(II)见解析(HI) - + k- + k(keZ). 36【解析】试题分析：（I）利用列表、描点、连线法画出/（X）在一个周期上的图象:（II）利用正弦函数的性
19、质求出/（x）在W，彳上的最大、最小值:（III）根拯函数的图象写出/（X）的单调递增区间.试题解析：（I）f（x）在召,# 上的图象如图所示.JF1111111r1 - - - -ir11 11111H1111111B11 一 _:11希 7;liy/ | | | |/1 Xi111 111务口氓洌一、2咒一："农八一一；()11 r1 11110 _； 12；3；- P：；:r»iiiiii 1i1 /11 |/1111/11i(I1117 - - - Tnv *1 * * 尸I1 1/ 1|I1 X 1 X till1I11ii11111111111111111it1
20、i1i(II) f (x) = sin 2x + .因为,所以<2x + y,122366当 2x+ = ,即 x =时，6 2 6sin2x +彳最大值等于1,即/(x)的最大值等于1；.r 7T In7t-12x + =,即 x 时，662sin 2x +彳)最小值等于-£,即/(X)的最小值等于-1上的最大值为】,最小值为斗（III）函数/（x）的单调递增区间为彳+也，彳+炽 伙eZ）.24. (I) 2屈(II)3 JJ.【分析】试题分析：（【）建立平而直角坐标系，根据向量的数量积公式计算即可，（II）设C（屈7, d）, EC2cosO.2sin0） , Fa + c
21、osO, sinO）.利用坐标讣算得到关于 &的三角函数，利用三角函数的性质求出最值.试题解析：（I）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平则 A（0,0）,C（3, 一石）,£（馆,1）, 疋走=（馆,1）（3,_间=2辰(II) q(0,0),C(>/Ja,-d),E(2cos&,2sin&),F( Va+cos&,sin&),CECF = (2cos 0 一 y/3a. 2sin & + d )( cos 0, sin 0 + a)=5叫吩戶 / 2（允、a + >/3sin+ 2-3si
22、n2 &-二< 6丿1 6丿因为0wO,；r,所以sinj |e以a为变量的二次函数的对称轴->/5sin| 0- e6丿因为gl,3,所以当d = l时，冼乔的最小值为3 + 2屆一彳又sin(d护冷1,所以乙的最小值为3-JJ,此时<9 = 0.所以，当0 = 1, 0 = 0时，cEc尸的最小值为3->/3 25. (I) a=0.(II)见解析.【详解】试题分析：(I)根据函数的奇偶性求出a的值即可：(II)根据函数的单调性的立义证明即可.试题解析：(I)函数/(兀)的定义域为(y>,0)(0,乜). 由 f (X)= f(X)彳畧一cix = +
23、 UX .XX所以ax = 0.因为“x = 0对于圧义域中任意的x都成立，所以a = 0.(II)函数/(X)= 4在区间(0,+8)上是减函数 I(x1+x2)(x2-x1)证明：在(0,U)上任取州，x2,且%! < X2 ,则 f(X)f(X2)= i7X X2由 0 v X v 七，的 xi+x2>0 9 兀2 一 州 > 0 , a/x,2 > 0 ,于是/U)-/(x>)>0,即/()>/(2). 所以函数/ (x)=厶在区间(0, +8)上是减函数.X326. (I)见解析；(II)当“v0时，/(x)的最小值为- + «；当
24、a>0时，f(x)的最小值为43 -a4【详解】试题分析：（I）根据。=0时，X在0,2上，去绝对值，根据二次函数的单调性即可求解 在区间0,2上的最大值和最小值;（II ）利用零点分段去绝对值，根据对称轴分情况讨论即可求函数/（X）的最小值试题解析：（I）当« = 0, xg0,2时，函数f（x） = x2-x+,因为才（兀）的图象抛物线开口向上，对称轴为乳=丄，21 、3所以，当兀=丄时，/（兀）值最小，最小值为二：2 4当x = 2时，/（x）值最大，最大值为3.（1 23（II）时，函数/（x） = x2 +x-a + = x + -a + i 2丿4若«&l
25、t;-|,则_/（龙）在（Y）,d上单调递减，在（Y）,d上的最小值为/=/+1：若“ > 一£，则函数于（V）在（YQ，d上的最小值为/ （ 一; j =扌一 “；若«>p 则/（兀）在他代）上单调递增，f（x）>f（a）=a2 + .所以，当心冷时,/+1- CI + I 4丿no,当w时,>0,3/（兀）的最小值为a-1 1 3 3当寸（字时，心）的最小值为严与L中小者.所以，当一产<0时，心）3 13的最小值为丁 + “ ：当<3时，/（x）的最小值为.综上，当“<0时，门兀）的最小值为扌+ “：当a>0时，门兀）的最
26、小值为-a【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关 键.O,xeO,l）,27. 见解析;（II）见解析；（III）/（劝=< ,“、（注：答案不唯一）【解析】试题分析：（I）直接利用立义判断函数ZU）=x2与/2（x）= /g（x + l）是否是“T函数”即可；（II）设X,勺 eO, + s） , x2>xP x2 =州 +ax,ax>0.= /（X 4-AX）-/（Xj） > /（Xj 4-AX-Xj） =0,所以，对于Xp x2 e0, + oo） , xl<x2, 一定有/（x）< /（x2）.即可证
27、明；（III）根据/（1）= 1，且使集合（yly = /（x） ,0<x<l中元素的个数最少，以及新泄义即可确泄.试题解析：（I）对于函数/1（x） = x2,当$,虫0,乜）时，都有/（5）>0, 土（/）二0, 又fl（s） + f（t）-fl（s + t） = s2+t2-（s+t）2=-2st<0,所以於）+ 川）"（£+°.所以Z （-V）= 是“T函数".对于函数£（x） = lg（x+l）,当s = t = 2时，£（s）+£（/）ig9，/；（5+r） = lg5,因为Ig9>
28、lg5,所以/；（5）+/；（/）>/；（5+/）.所以E（x） = lg（x+1）不是"T函数”.（II）设xx2 g0,-ko）, x2>x , x2 =x +Ax,Ax>0.则门召）-几舛）=/也+山）-/（舛）/也+山-舛）=/（山）0所以，对于舛吃w0,_F8）, x, < X2 , 一定有/（舛）5/（尤2）.因为f(x)是 “T 函数”，X0e0,-Ko),所以/(x0)>0. 若则/(/(x0)>/(x0)>x0,不符合题意. 若/(勺)。0，则/(/(x0)</(x0)<x0,不符合题意.(in) /w= 0,%x.xe0,1), h+s)(注：答案不唯一)