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1、专题总结：求数列通项公式（一）王展硕说明：数列通项专题总结（一）希望同学们能认真阅读，掌握对于不同类型的已知条件相应地求通项公式的方法；数列通项专题总结（二）供同学们平时做题时检索查阅使用。一、累加法（逐差求和法）：an = a1 +（a2a1）+（anan1）。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例1 已知an+1an 2n+1 ，a11 ，求数列 an 的通项公式。解： 通项公式为例2 已知an+1 = an +2×3n+1，a1 = 3，求数列 an 的通项公式。解：已知得an+1 an = 2×3n+18 / 8文档可自由编辑打印 例3 已知a
2、n+1 = 3an +2×3n+1，a1 = 3，求数列 an 的通项公式。解：已知两边除以 ， 得 ，则，则 二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例4 已知an n（an+1 an ），nN*，a1 = 1，求数列 an 的通项公式。解：已知得 当n=1时a1 = 1，满足an = n， an = n.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.例5 已知an+1 =2（n+1）5n×an ，a1 = 3，求数列 an 的通项公式。解： 已知得an 0，an+1 /a
3、n 2（n+1）5n 通项公式为关键是把递推关系转化为 例6 已知，求的通项公式。解：因为 所以 得 则 故 an an /an1 ×an1 /an2 ××a3 /a2 ×a2n×（n1）××4×3 ×a2n！/2×a2 n=2由可得a2 a11 ， 代入得通项公式：关键是把递推关系式转化为。三、构造新数列: 将递推公式 （ 为常数，和1， ）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.例7 已知an =2an1 +1，n2，a1 = 1，求数列 an 的通项公式。解: 设, 求得,是首项为,公
4、比为2的等比数列,即, 四、公式法：，等差通项an=a1+（n1）d ， 等比通项an=a1qn1例8 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式。解： ， ，又， .反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.例9 已知数列 an 满足an+1 =2an +3×2n ，a1 = 2，求数列 an 的通项公式。解： 两边除以，得 ， 则 ，数列是以为首项，以为公差的等差数列，得 ， 数列的通项公式为。五、倒数变换：将递推数列 取倒数变成 例10 已知数列中, ,求数列的通项公式.解: 已知取倒数: , ,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.反思:倒数变
5、换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.六、待定系数法例11 已知an+1 =2an+3×5n ，a1 = 6，求数列 an 的通项公式。解：设an+1 +x×5n+1 =2（an+x×5n）将an+1 =2an+3×5n代入 得 2an+3×5n +x×5n+1 =2an+2x×5n 得3+5x=2x x=1代入得 an+1 5n+1 =2（an5n）由a15=650 及 得 ，则 数列an5n是首项为a15=1、公比为2的等比数列， an2n1 5n关键是把an+1 =2an+3&
6、#215;5n转化为an+15n+12（an5n），数列 an5n 是等比数列。例12 已知数列 an 满足an+1 3an+5×2n +4，a1 = 1，求数列 an 的通项公式。解：设an+1 +x×2n+1 +y3（an+x×2n+y）将an+1 3an+5×2n +4 代入 得 3an+5×2n +4 +x×2n+1 +y3（an+x×2n +y）整理得（5+2x）2n + 4 + y 3x×2n + 3y令，则，代入式得 由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。关键是化递推关系式
7、 an+1 3an+5×2n +4 为 an+1 +5×2n+1 +23（an+5×2n+2）可知数列 an+5×2n+2是等比数列。例13 已知数列 an 满足an+1 2an+3n2+4n+5，a1 = 1，求数列 an 的通项公式。解：设an+1 +x（n+1）2+y（n+1）+z 2（an+xn2+yn+z） 将an+1 2an+3n2+4n+5代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得an+1+3（n+1）2+10（n+1）+182（an+3n2+10n+18） 由及式，得则 ，数列以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。关键是
8、转化an+1 2an+3n2+4n+5 为 an+1+3（n+1）2+10（n+1）+182（an+3n2+10n+18） 数列an+3n2+10n+18是等比数列。跟踪训练1.已知,求数列通项公式.解：由已知,= .跟踪训练2.已知数列满足,.则的通项公式是.解：时, ,作差得: ,跟踪训练3.已知数列中, ,求数列的通项公式.5. 跟踪训练4.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.1. 证明：由已知可得：，当时，时，满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列.跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式. 6. 跟踪训练6.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数
9、，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.2. 解:由已知可求,猜测.(用数学归纳法证明).,.七、对数变换法例14 已知数列 an 满足an+1 2×3n ×an 5，a1 = 7，求数列 an 的通项公式。解：显然an0，an+1 0，取常用对数： lg an+1 5lgan+nlg3+lg2 设 lg an+1 +x（n+1）+y 5（lgan+xn+y） 将代入：5lgan+nlg3+lg2 + x（n+1）+y 5（lgan+xn+y），消去，得，则 ，故代入得 由 及 得 ，则，数列是以为首项，以5为公比的等比数列， ，nN*。关键是 取对数 化 为
10、可知数列是等比数列，再求出数列的通项公式。八、迭代法例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解1： 通项公式解2：取对数得 ，即 ，九、归纳法：由前几项归纳猜出通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫数学归纳法例16 已知数列中，求数列的通项公式.解：，猜测，再用数学归纳法证明.（略）例17 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由 及 ，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当n=k+1时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。关键是先求出数列的前几项，进而猜出数列的通项公式，最后再
11、用数学归纳法加以证明。十、换元法例18 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得 即因为，故则，即， 化为 ，是首项为，公比为的等比数列，因此 ， 则 ， 即 ，nN*。关键是将换元为，递推关系式转化形式，数列bn3为等比数列。十一、特征根法：二阶递推式anpan1 qan2 ，n3方程 X2pXq 的两根X1、X2分别是等比数列anX1an1 、anX2an1的公比 X2pXq0 得X1X2p ，X1×X2q 递推式化为anX2an1 X1（an1X2an2） 或anX1an1 X2（an1X1an2） 数列 anX1an1、 anX2an1都是等比数列数列an的通项公
12、式anAX1n BX2n例19 已知数列an中，a15，a22，an2an13an2，n3，求通项公式an。解1：由已知得 anan13（an1an2），n3， anan1是等比数列，公比q1=3 anan1（a2a1）3n2 7×3n2 由已知得an3an1（an13an2），n3， anan1是等比数列，公比q2=1 an3an1（a23a1）（1）n213（1）n2 解得通项： an 7×3n1 13（1）n1 /4 ，nN*解2：由已知得方程X2=2X+3 ，得特征根 X1= 3，X2=1 ， 设通项an A×3n B（1）n ， 代入a15 ，a22 ，得A=7/4 ，B= 13/4 通项：an 7×3n 13（1）n / 12 ，nN*例20 已知数列an中，a11，a22，an+22/3an+11/3an ，求通项公式an。 答案：an 9/4×（1/3）n 7/4 ，nN*