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1、历年高考数学真题精选(按考点分类)专题十二 极值与最值(学生版)1.一.选择题(共13小题) (2017-新课标II)若x = -2是函数/(x) = (x2+ox-l)e的极值点，则/(劝的极小值为(D1A-12.(2013安徽)若函数f(x) = xy+ax2+bx + c有极值点且贝I关于X的方程3(f(x)2+2af(x) + b = 0的不同实根个数是()A. 3B4C. 5D63(2013-辽宁)设函数/(X)满足 x2ff(x) + 2Af(x) = -, f X(2)A. 有极大值，无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值4.(2016
2、四川)已知a为函数f(x) = x3 -I2x的极小值点,贝lj“ = ()A-4B. -2C. 4D. 25.(2015-新课标I)设函数加"("一1)一or + “，其中a<l,若存在唯一的整数兀。使得/(xo)<o,则Q的取值范围是(3A.討3 3B旨)3°刘)6. (2013浙江)已知壬为自然对数的底数，设函数/(x) = (-l)(x-l/伙= 1,2),贝lj()A. 当k = l时，/(x)在x = l处取得极小值B. 当& = 1时，/(x)在x = l处取得极大值C. 当£ = 2时，“V)在x = l处取得极小值D
3、. 当=2时，/在x = l处取得极大值7. (2013-福建)设函数/(X)的泄义域为x()(aoO)是/(x)的极大值点，以下结论一宦第页(共13页)正确的是()A. Vxe 7? I /(x)/(x0)B一兀是 /(-x)的极小值点C. -是-/(x)的极小值点D. -竝是-/(-劝的极小值点8. (2013-湖北)已知函数f(x) = x(lfix-ax)有两个极值点，则实数"的取值范用是()A. (-QO.0)B. (0,丄)C. (0,1)D. (O.+x)29. (2013安徽)已知函数f(x) = x3 + ax2+hx + c有两个极值点舛，心，若/(a-) = ,
4、<x2,则关于A-的方程3(/(x)2 + 2af(x) + b = 0的不同实根个数为()A. 3B. 4C. 5D. 610. (2013*湖北)已知a为常数，函数f (x) = xbix - ax)有两个极值点舛，x2(x <a,)()A. /(Aj)>0./(x,)>-|B. /(x1)<0,/(x,)<C. /()>0,/(2)<-1D. /()<0,/2)>-111. (2011 福建)若“>0, b>0,且函数 f(x) = 4x3-ux2-2bx + 2在x = l 处有极值，则"的最大值等于()
5、A. 2B. 3C. 6D. 912. (2008-广东)设ueR,若函数$=疋+心，xeRf有大于零的极值点，贝lj()A ci < 1B 6/ > 1C a<D ci > ee13. (2011-湖南)设直线x = /与函数f(x) = x2, g(x) = /”x的图象分别交于点M, N,则当I MN I达到最小时/的值为()A. 1B. -C.遁D.遲2 2 2二.填空题(共3小题)14. (2018-江苏)若函数/a)= 2x3-</A-2+l(</e/?)在(0,2)内有且只有一个零点,则/'(x)在-1, 1上的最大值与最小值的和为_1
6、5. (2018*新课标I )已知函数/(A)= 2sin.v + sin2x,则/(x)的最小值是.16. (2013-新课标I )若函数f(x) = (-x2)(x2+ax + b)的图象关于直线x = -2对称,则/(x)的最大值为第2页(共13页)第3页（共久3页）专题十二 极值与最值（教师版）一.选择题（共13小题）I. （2017-新课标II）若x = 2是函数fdrX+Q-T 的极值点,则/的极小值为A-1 【答案】A【解析】函数/(x) = (x2 +心1)严，可得f (x) = (2x + “)严+ (F + ov _ 1)严，x = -2是函数/(x) = (x2 +心-1
7、)严 的极值点，可得：厂(_2) = (-4 + “)*'+(4_2_1)*'=0.即7 + “ + (3_2)= 0解得a = _l可得 fx = (2x - De1 + (x2 - x - De1-1 = (x2 + x - 2) ,函数的极值点为：x = -2, x = l,当x<-2或x>l时，fx) > 0函数是增函数，A-e(-2J)时，函数是减函数，x = l时，函数取得极小值：f(1)=(12-1-1)-*=-1.故选A.2. (2013-安徽)若函数f(x) = +axzbx + c有极值点舛，心，且/(x,) = x,则关于x的方程3(/(
8、x)2 + 2af(x) + b = 0的不同实根个数是()A. 3B4C5D6【答案】A【解析】fx) = 3x2 + lax + b , X,兀是方程3x2 +2tix + b = 0的两根，由 3(f(X)2 + 2cif (x) + /? = 0 得兀或x = x2,即 3(/(x)2 + 2iif(x) + b = 0 的根为/(x) = x)或 f(x2) = x2 的解.如图所示由图象可知f(x) = x,有2个解，/(A) = x2有1个解，因此3(f(x)2+2iif(x) + h = 0的不同实根个数为3.3(2013-辽宁)设函数/(X)满足x2f(x) + 2xf(x)
9、9 f (2)=,则x>0时，f(x)() x8A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【答案】D【解析】函数 f(X)满足 x2fx + 2xf(x) = , :. x2/(X)1 =XX令 F(x) = x2f(x),则 Ff(x) = , F (2) =4>/ (2)=:匚. x2由 x2ff(x) + 2f(x) = f 得厂(x)=e 2Hx).XX令 0(x) =- 2F(x),则 0(0 = / 2F(x) = "U x:.(p(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+oc)上单调递增,.祕朗的最小值为卩(2
10、) =e2-2F (2) =0.二倾x)R.又x>0, -.WO.”)在(0,乜)单调递增.二.心)既无极大值也无极小值.4. (2016-四川)已知"为函数f(x) = x3-2x的极小值点，则“=()A. -4B. -2C. 4D. 2【答案】D【解析】r(x) = 3x2-12； ,-.a<-2 时，f(x)>0, 2<xv2 时，f(x)<0tX>2 时，f(x) > 0 :.-.x = 2是.f(x)的极小值点；又“为_/(x)的极小值点： a 故选D.5. (2015-新课标I)设函数f(x) = ex(2X-)-aX + a，其
11、中“<1,若存在唯一的整数兀使 得/(xo)<0,则d的取值范围是(3°刘)【答案】D 【解析】设g(x) =讥2兀-1) , y axa > 由题意知存在唯一的整数X。使得g (无)在直线y = ax -"的下方, gf(x) = ex (2x _ 1) + 2ex = ex (2x +1),当 xv-丄时,Q(x)vO,当 x> 时,gf(x) > 0 ,2 2.当2 -丄时，g(x)取最小值-2幺气，2当x = 0时，g(0) = 1,当x = l 时，g(1) =e>0, 直线y = axa恒过定点(1,0)且斜率为a ,故-a
12、> £(0) = _1 且 g(_l) = _3厂_ a _ a ,解彳丁6/ < 16. (2013浙江)已知£为自然对数的底数，设函数/(x) = (-l)(x-l/伙=1、2),贝9(A. 当k = l时，/(x)在x = l处取得极小值B. 当£ = 1时，/(x)在x = l处取得极大值C. 当R = 2时，f(x)在x = l处取得极小值D. 当k=2时，/(x)在x = l处取得极大值【答案】c【解析】当时，函数/(x) = (-l)(x-l).求导函数可得fx)=疋(X_ 1) + 0 _ 1)=(加一 1)， 广(1) =a_lH0,
13、厂(2) =2/- IhO,则/(兀)在在x = l处与在x = 2处均取不到极值, 第6页(共13页)令f(x) = /m2m + l=0得/,u=2u1>函数/ (x)=班加- or)有两个极值点，等价于/,(x) = /tr-2<u + l有两个零点，等价于函数y = hix与y = 2“x-l的图象有两个交点, 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图) 当t/ = -时，直线y = 2<tv-l与尸加的图象相切,2 '由图可知，当0 < " <丄时，y = Inx 1J y = 2iix一 1的图象有两个交点. 2则实数a的取值范国是(0丄
14、).2简解：函数 /(%) = x(lnx 一心)，则 ff(x) = Inx 一 ar + x( 一“) = Inx 一 2ax +1 >x令r(x) = /m-2<a + l= 0得bu =2ax l,可得2“ =上竺有两个不同的解，x设g(_r)= l± 则g(x)= 邺,当21时，g(x)递减，0<%<1时，£(力递增, xf可得g(1)取得极大值1,作出y = g(x)的图象，可得0<加<1,即0<t/<L故选3.9. (2013安徽)已知函数f(x) = x3+ax2+bx + c有两个极值点x心，若/(舛)=召&
15、lt;/贝IJ关于x的方程3(/(x)2 + 2xif(x) + b = 0的不同实根个数为()A. 3B4C5D6【解析】.函数f(x) = +ax2+bx + c有两个极值点西,氐，/. ,fx) = 3X1 + 2ax + h = 0有两个不相等的实数根，=时->0.解得“仏土丿乔-还士奶63一a 一 y/a2 一 3b3+ Qu，- 3b3【答案】D第9页(共13页)而方程3(/(x)2 + 2af(x) + b = 0的 | = > 0，此方程有两解且f(x)=看或心不妨取 0 < X < x2, f(xx) > 0 . 把y = f(x)向下平移召个单
16、位即可得到y = fx)-xx的图彖，于(舛)=兀,可知方程f(x) = xx有两解. 把y = /(x)向下平移勺个单位即可得到y = f(x)-x2的图象，丫 f(x) = xx, . J3 ) -召< 0 ,可知方程f(X)= x,只有一解.综上可知：方程/(x) = A-或八切=召只有3个实数解.即关于戈的方程10. (2013湖北)已知“为常数,函数/(a) = x(/u -m)有两个极值点石，兀(片<x2)(解析】 f(x) = Inx +1 一 lax, (x > 0)令广(") = 0 I由题意可得Inx = 2ax 1有两个解x2 O函数(x) =
17、 bix +1 2ax有且只有 两个零点o g©)在(O.+oo)上的唯一的极值不等于0. gx) = 1-2</ =上空XX 当“口)时，丈(x)>0, f(x)单调递增，因此f>(x) = fx)至多有一个零点，不符合题意, 应舍去. 当时，令疋(力=0,解得x =，2xi.xe(0，+), gx)>0,函数 g(x)单调递增；A e(-,+oc)时，g，(x)<0,函数 g(x)单调 递减./.% =丄是函数gCO的极大值点,则g(丄)>o,即伽丄+11=一加(加)>0,2a2u2a：.ln(2ci) <0 t /.0<&l
18、t; L 即 0<“ v丄2故丄时，g(x) = 0 有两个根；V, x,且 x < <> 又 g(1)= 1 2</ > 0 ,2'2a<1<±<%7,从而可知函数f(x)在区间(0,西)上递减，在区间(兀禺)上递增，在区 hi间(x2 , -K0)上递减.f(i)< f(1)=-t/<0, f(x2)> f (1)故选 D.11. (2011 福建)若«>0, b>0,且函数f(x) = 4x3-iix2-2bx + 2在x = l处有极值,则“的最大值等于()A. 2B. 3C
19、. 6D. 9【答案】D【解析】.厂(力=12疋一2俶2，又因为在x = l处有极值，二“+b = 6,V6/>0, /7>0, /.)2=9,当且仅当a=h = 3时取等号，所以"的最大值等于92故选D.12. (2008-广东)设aeR,若函数y = ev+-,有大于零的极值点，贝lj()A ci < 1B 6/ > 1C D【解析】.y = +ov ,二=+“由题意知= 0有大于0的实根，令y,=e儿=-0,则两曲线交点在第一象限,结合图象易得一心1=>“<一1,故选：A第11页（共13贞13（2011-湖南）设直线x = f与函数f（x）
20、= x2, f!（x） = lnx的图象分别交于点M，N ,则当IMNI达到最小时/的值为（）D.A. 1B.-2【答案】D9 V2【解析】设函数y = /（x）-（x） = x2-/m >求导数得y = 2x-丄=XX当Ovxv遲时，y<0,函数在（0,迟）上为单调减函数，2 2 当x送时，#>0,函数在（丰,+8）上为单调增函数 所以当天=葺 时，所设函数的最小值为1 + 1/712所求f的值为迟2 2 2 2二填空题（共3小题）14. （2018>江苏）若函数f（x） = 2xax2 + （aeR）在（0,乜）内有且只有一个零点，则加 在-1,1上的最大值与最小值
21、的和为 _【答案】-3【解析】函数f（x） = 2-cur + （a w /?）在（0. +oc）内有且只有一个零点, /. fx) = 2x(3x-a) , xe(O, +x),当“WO时，.厂(x) = 2.gr “)>0,函数_/(x)在(0,+oo)上单调递增，/(0) = 1,/(JV)在(0+oo)上没有零点，舍去：当 4 > 0 时，f(x) = 2x(3x 一 ") > 0 的解为 x>->3fix)在(0,9)上递减，在(丄，+0C)递增，33又/(X)只有一个零点，./($ = £ + 1=0,解得“ =3,/(x) = 2
22、x3-3x2+1, Hx) = 6x(x-1), xe-l, 1, fx)>0 的解集为(-1,0),TOO在(-1,0)±递增,在(0,1)上递减,/(-i)=, /(o)= i, f(1)=o,-/UU =/(-!)=-4, /(X)哑=/() = 1,./Cv)在一1, 1上的最大值与最小值的和为: 于哑+/(力汕=一4+1 = 一315. (2018*新课标I )已知函数/(x) = 2sinx+sin2x,则/(x)的最小值是 【答案】-迺2【解析】由题意可得T ="是/(A-) = 2sinx + sin2A-的一个周期，故只需考虑/(x) = 2sinx
23、 + sin2x在0, 2兀)上的值域，先来求该函数在0, 2兀)上的极值点，求导数可得fx) = 2cosx + 2cos2x =2cosx + 2(2cos2x-1) = 2(2cosx一l)(cosx + 1), 令ffM = 0可解得cosx =丄或cosx = -l 可得此时X = 9龙或乞；233.y = 2sinx + sin2x的最小值只能在点x = -,兀或兰和边界点x = 0中取到， 33计算可得/(彳)=罕，/U) = o. /(竺)=-£ 门0)=0, 函数的最小值为-空32-216. (2013-新课标【)若函数f(x) = (l-x2)(x2+ax + b
24、)的图象关于直线x = -2对称，则"0 的最大值为.【答案】16【解析】函数/(x) = (l-x2)(x2 + g + b)的图象关于直线x = -2对称, ./(一1) = /(_3) = 0 且/ (1) =/(-5) = 0,即一 T (-3)2 +。(一 3) + 切=0 且1 一 (一5尸(-5)2 + 小(一5)+b = 0,解之得 </ = 8 因此，/(a) = (1 - x2 )(x2 + 8x +15) = -x4 - 8x3 -14x2 + 8x +15 , b = 5求导数，得/V) = -4.v3-24A-2-28x + 8t第12贞(共13贞)令
25、 /r(A)= 0 > 得 X = 2 -5 > x2 = 2 t xy = 一2 + >/5 »当 AG (-00.-2-75)时，fx) > 0 :当 xw(-2-亦，一2)时，f(x) < 0 :当 x w (-2,-2+ >/5)时，f (x) >0: 当 x w (-2 + $，+oo)时，ff(x) < 0f (x)在区间(co.2 >/5) % (-2,-2 + ys)上是增函数，在区间(-2 -2)、(2 + >/5 »+0O)上是减函数.又/(2-亦) = /( 一 2 +厉)= 16, /. /(x)的最大值为16.故答案为:16.第13贞（共13页）