《第三节--曲面及其方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三节--曲面及其方程.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载第三节曲面及其方程一曲面方程的概念若一个三元方程F ( x, y, z) 0(1)和曲面 S 之间满足 :(1) S 上的任意点的坐标 ( x, y, z) 都满足 (1) 式 ;(2) 如果一点 P 的坐标 ( x, y, z) 满足 (1) 式 , 则 P 在 S 上 ,则称(1) 式为 S的方程,称 S为(1) 式的图形.例 1 (球面的标准方程)球心在点 M 0x0 , y0 , z0 且半径为 R 的球面的方程为22z z02x x0y y0R2 .若球心在原点,则球面方程为x2y 2z2R2 .例 2设有点 A 1, 2, 3 和 B 2,1, 4 , 求线段 AB
2、 的垂直平分面的方程 .解设点 Mx, y, z 为所求平面上的任一点,则 AMBM ,即22222z 42x 1y 2z 3x 2y 1,于是得 2x6 y2z70 , 此即所求 .精品资料欢迎下载例 3 (球面的一般式 )方程x2y2z2Dx Ey Fz G 0表示一个球面 , 球心为 PD ,E ,F,半径为222r1D2E 2F 24G .2当 D 2E 2F 24G0 时,该球面为实球 .当 D 2E 2F 24G0 时,该球面为点球 ,即原方程表示一点PD ,E ,F .222当 D 2E 2F 24G0时 ,该球面为虚球 ,即原方程无实轨迹 .例如 ,在 x2y2z22x 4 y
3、 0 中 ,D2,E4,F0,G 0 .于是球心为 P 1,2, 0 , 半径为 r5 .二 旋转曲面平面上的一条曲线C 绕该平面上的一条直线l 旋转一周所形成的曲面S 叫做旋转曲面 .在 yz平面上的曲线 C : fy, z0绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为fx2y2 , z0 .C 绕 y 轴旋转所成的旋转面的方程为fy,x2z20 .在 zx 平面上的曲线 C : fz, x0绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为fz,x2y 20 .C 绕 x 轴旋转所成的旋转面的方程为fy2z2 , x0 .精品资料欢迎下载在 xy 平面上的曲线C : fx, y0 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的方
4、程为fx,y2z20 .C 绕 y 轴旋转所成的旋转面的方程为fx2z2 , y 0 .例4直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得的旋转面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点 ,两直线的夹角0叫做圆锥面的 半2顶角 .试建立顶点在原点O 、旋转轴为z 轴且半顶角为的圆锥面的方程.解在yz平面上 ,直线 L 的方程为 zycot.于是所求圆锥面的方程为zx2y2cot,令 cota ,则 z2a2x2y2为所求 .例 5将 xz 平面上的双曲线x2z21绕 x 轴旋转所生成的旋转面为a2c2y2z22x21,x2y2z21 , 绕 z 轴旋转所生成的旋转面为即a2c2a2c2x2y2
5、22x2y22z1,即z1 .a2c2a2c2将 xy 平面上的椭圆 x2y21 绕y轴旋转所生成的旋转面为a2b2x2z22y21,x2z2y21 .即a2b2a2b2例( 补)说明下列旋转面是怎样形成的:zx2y2.解旋转面 zx2y2 的旋转轴是 z轴 .用平面 x0 去截曲面 z x2y 2,精品资料欢迎下载得 yz 面上的抛物线 zy2 , 它即旋转面 zx2y2 的母线 .注 若用平面 y0 去截曲面 z x2y2 ,可得 xz 面上的抛物线 z x2 ,它也是旋转面 z x2y2 的母线 .三柱面曲线平行于固定直线并沿固定曲线C 叫做柱面的 准线 , 动直线C 移动的直线 L 形
6、成的轨迹叫做 柱面 .L 叫做柱面的 母线 .固定方程 F x,y0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面 ,其准线为 xy 面上的曲线Fx, y0.方程 G x,z0 在空间直角坐标系中表示母线平行于y 轴的柱面 ,其准线为 xz 面上的曲线Gx, z0 .方程 H y,z0 在空间直角坐标系中表示母线平行于x 轴的柱面 ,其准线为 yz 面上的曲线Hy, z0 .特别注意 :不能说 方程 Fx, y 0在空间直角坐标系中表示xy 面上的一条曲线 , 而要说 它表示一个曲面. 对 Gx, z 0 和 Hy, z0 也是一样的 .例 6方程 x2y2 R2 表示母线平行于于 z 轴的圆
7、柱面 , 其准线是 xy 面上的圆 x2y2R2 .精品资料欢迎下载方程 y22z 表示母线平行于于x 轴的柱面 ,其准线为 yz面上的抛物线y22z .该柱面称为 抛物柱面 .方程 xz0 表示母线平行于于y 轴的柱面 ,其准线为 xz 面上的直线x z 0 . 该柱面为一个平面 .四 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 .(1)椭圆锥面 x2y2z2a2b2(2)椭球面 x2y 2z21( a 、 b 、 c0 ). 其中 a 、 b 和 c 称为椭球a2b2c2面的半轴 .精品资料欢迎下载若 ab , 则 x 2y 2z21成为a 2b2c 2x2y2z21 .a2a2c2这是
8、由 xz 面上的椭圆x2z21 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面, 称为 旋转椭球a2c2面 .当 abc 时,此椭球面成为球面x2y2z2a2 .例 ( 补 ) 求椭球面 x 2y 2z21与各坐标轴的交点 .a 2b2c2解该曲面与 x 轴的交点x, 0, 0满足 x202021 ,于是 ,xa .a2b2c2故曲面与 x 轴的交点为a, 0, 0.同理 , 曲面与 y 轴的交点为 0,b, 0 , 与 z 轴的交点为0, 0,c.(3)单叶双曲面 x2y2z21( a 、 b 、 c0 ).a2b2c2精品资料欢迎下载若 ab , 则 x2y2z21 成为a2b2c2x2y2z21 .a2a2c2它是由 yz面上的双曲线y2z21绕 z 轴旋转而得的旋转面, 称为 旋转单叶双a2c2曲面 .(4)双叶双曲面S :x2y2z21(a 、b、c 0 ).a2b2c2(5) 椭圆抛物面 x2y2za2b2原点称为该 椭圆抛物面的顶点.(6) 双曲抛物面x2y2z(马鞍面)2b2a原点称为 双曲抛物面的鞍点.精品资料欢迎下载作业P.318 1 9, 10 (1),(2),(3), 11