数学同步优化指导(湘教选修45)练习：阶段质量评估3Word含解析.docx

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1、阶段质量评估（三）数学归纳法与不等式证明平均值不等式三个重要不等式（时间：60分钟满分：80分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）C. 3 31. 若logxy= 2，贝U x+ y的最小值是（）B.冲3D 721解析：由 logxy= 2,得 y= "2.x1 x x 1 x+ y=x+严 2+ 2+产32答案：A11 11 *2. 用数学归纳法证明不等式1 +戸+亍+孑2 "（n2, n N ）时，第一步应验证不等式()1 1A . 1 + 尹2 2C. 1 + 步<2 1* 1 1 解析：/ n

2、2, n N，第一步应验证当 n = 2时，1 +寺<2 .答案：A2 2 2 2 2 23. 已知 a, b, c R + ,贝U a (a be) + b (b ac)+ c (c ab)()A 大于零B 大于或等于零C.小于零D 小于或等于零解析：设abc>0,所以a3b3c3.由排序不等式，得a3x a+ b3x b+ c3x ca3b+ b3c+ c3a.又知abacbc, a2b2c2,333222- a b+ b c+ c aa bc+ b ca+ c ab.4 ,4、222-a + b + c > a bc+ b ca+ c ab.即 a (a 一 bc) +

3、 b (b ac) + c (c 一 ab)0.答案：B4.若 5x1 + 6x2 7x3+ 4x4= 1，则 3x2 + 2x；+ 5x3+ x4的最小值是(782T515782253解析：/ 25+ 18+ 49+ 16 (3x1+ 2x2 + 5x2 + x2) >C. 3D.3xi + 3J2 x 2x2+x 5刈+ 4 x x41 3x2 + 2力 + 5送+ x4> 5.7822= (5xi + 6x2一 7x3 + 4x4)2= 1 ,答案：B5.学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件，50件，20件，现选择商店中单价为5元，3元，2元的商品作为奖品，则至少要花（

4、）A. 300 元B. 360 元C. 320 元D. 340 元解析：由排序原理可知，反序和最小，最小值为50 X 2+ 40 X 3 + 20 X 5 = 320（元）.答案：C6.已知x,y, z R +,且1+ 2 + 3= 1,贝V xyz的最小值是()x y z1A. 2727C. 1621162解析：/ x,y, z R +,327'1丄2丄3一+ 一+ 一x y z xyz> 162,123当且仅当1=厂；时，等号成立.1= 2 = 3, xyzx= 3,y = 6,z= 9. 当 x= 3, y= 6, z= 9 时，(xyz)min = 162.答案：C二、填

5、空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分请把正确答案填在题中的横线上)7.若 x+ y + z+1= 4.则 x2 + y2 + z2 +12 的最小值为 .解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2 + y2+ z2 + t2)(l2+ 12+ 12+ 12)> (x + y + z+ t)2.当且仅当x= y= z= t = 1时，取最小值 4.答案：414a*&已知 a (0,+s )，不等式 x +2,x+3，x+ _n >n+1(nN),贝Ua 的xxx值为.解析:/ x+ -> 2,x

6、x+x2=2+2+f3 x+ A= X+ X+ X+ 二+七(n + 1) x n n nnx xn n=n+ 1.x anxn= (n + 1)n*- a= n (n N ).答案:n*n (n N )9.设x1, X2,xn为不同的正整数，贝y m = 1 + 2+翠的最小值是解析:a22, -ann.又1>1 1 1产尹>,设a1, a2,，an是xj, X2,，Xn的一个排列，且满足 a1<a2< <an，故a1> 1,.X1 X2 X3Xn, a2 a3an1111-孑+歹+孑+ 产 a1 + 尹孑+ n > 1 X 1 + 2 x 尹 3

7、x壬+ n x冷=1 + ?1 1+ 3+ + n1 11答案：1 +1+1+ 12 3n三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10. (本小题满分10分)设a, b, c R +,求证：(1 1 1 ' 9(a + b+ c) q+ b+ b+ c+ a+ c厂 2.证明：/ a, b, c R + ,- 2(a+ b + c)= (a+ b)+ (b+ c)+ (c+ a) > 3 J： a+ b b+ c c+ a > 0,1丄+丄+丄> 3 a+ b b+ c a + c> 0.a + b b+ c a +

8、 c-(a + b + c)1 1 b + c a+92.当且仅当a = b= c时，等号成立.11. (本小题满分12分)设x>0,求证：1 + x+x2 + + x2n > (2n+ 1)xn.证明：(1)当 x> 1 时，K x< x2w w xn,由排序不等式，得 1 X 1 + x x + x2 x 2 + + xn xnA 1 xn+ X xnT + + xnT x+ x" 1, 即 1 + x2 + x4 + + x2n> (n+ 1)xn.又 x,x2,x3,，xn,1为序列1,x,x2,，x 1 1 1 1 D 尹尹+乙盯>2k1

9、 1 1解析：当n = k+ 1时，不等式变为 p+孑+ k+ 1 2 +答案：A3.已知 a1+ a；+ £ = 1, x2+ x2+ X? = 1，则 玄凶+ a?x2+ anXn的最大值为 ( )A . 1B. nC. nD. 2解析：由柯西不等式，得 (a+ a2 + a2)(x2 + x； + (ax + £2X2+ £俯)2.的一个排列，由排序不等式，得1 xx2 + + xn 1 xn+ xn 1 > 1 xn + x xn 1 + + Xn1 x+xn 1.即 x + x3+ + x2n1 + xn> (n+ 1)xn.将和相加，得1

10、+ x+x2 + + x2n > (2n+ 1)xn.(2)当 0<x<1 时，1>x>x2> - >xn.仍然成立，于是也成立.综合(1)(2)可知，原不等式成立.12. (本小题满分13分)已知正数x, y, z满足5x+ 4y+ 3z= 10.25x216y29z2(1)求证：；+丁冷 + 二5.4y+ 3z 3z+ 5x 5x+ 4y求9x2 + 9y2 + z2的最小值.(1) 证明：根据柯西不等式，得-25x216y29z22(4y+ 3z) + (3z+ 5x) + (5x + 4y) /y+ 3z+ 3z+ 5x+ 5x+ 4y_(5x

11、+ 4y+ 3z) ./ 5x+ 4y+ 3z= 10 ,.直+速+zL迟5.4y+ 3z 3z+ 5x 5x + 4y 20(2) 解：根据平均值不等式，得9x2 + 9y2 + z2 > 2 寸 9x2 9y2+ z2 = 2 3x2 + y2+ z2.当且仅当x2= y2+ z2时，等号成立.根据柯西不等式，得(x2 + y2 + z2)(52 + 42 + 32) > (5x + 4y+ 3z)2= 100,即(x2+ y2+ z2)> 2.当且仅当5=4=3时，等号成立.综上所述，9x1 即 11 > (a1X1 + a2X2+ + anXn). a1X1 +

12、 a2X2 + + anXnW 1.故所求的最大值为1.答案：A+ 9y2+ z2> 2 32= 18. 当且仅当x= 1, y= 5, z= 3时，等号成立, 9x2 + 9y2 + z2 的最小值为 18.B卷（时间：60分钟满分：80分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）321.若n>0，贝U n+孑的最小值为（）A . 2B . 4C. 6D. 1632 n n 32解析：n + 32 =32，应用平均值不等式即可求出答案.答案：C2.用数学归纳法证明1 1 _ 1(n + 1 J>2 n+ 2假设当

13、n= k时，不等式成立，则当n= k+1时，应推证的目标是（）11111A 尹尹+刁>2敲11111B 尹尹+ k>2卫1 1 1 1 11 12>_ k+ 221k+ 1 + 2C.子+孑+十>2苗4.一长方体的长、宽、高分别为a, b, c且a+ b+ c= 9，当长方体的体积最大时，长方体的表面积为（）A. 27B. 54C. 52D.563解析：/ 9= a + b+ O 3 abc,. abc< 27.当且仅当a = b= c= 3时取得最大值 27,此时其表面积为 6X 32= 54.答案：B5.用数学归纳法证明“对任意x>0 和正整数 n, 都

14、有 xn + xn 2+ xn 4+ -T12 +x x1x> n + 1 ”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值no应为（）A . no= 1B. no= 2C. no= 1,2D以上答案均不正确1i解析：当n = 1时，左边=x+丄，右边=1+ 1,而x+2,即卩n= 1时不等式成立.xx答案：A6.设a, b, c为正数，且a + 2b + 3c= 13,求.3a + . 2b + . c的最大值为()13 V313需A.3B .2解析：(a+ 2b + 3 c) (回+12+D . 6.13g 2 > a 3+ .2b 1+，3c 2 = ( ,3a+ 2b +c)2,-

15、 ( .3a + ,2b+ .c)2w 3. ,3a+ ,2b + ,c<3当且仅当逼=逅=妊时取举耳.31 丄等号.又 a + 2b + 3c= 13, a= 9, b = 2, c=,-.3a+i 2b+ c有最大值 13' 33答案：A、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中的横线上 ）7函数y= F+的+圭用<疾】的最小值是解析：由柯西不等式，得(1 + .2)2= 3 + 2 2.当且仅当1 1sin 2 a= 1,即a= 4时等号成立.答案：3 + 2218已知关于x的不等式2x7在区间(a,+ )上恒成立，则实数 a的最小值2a,-

16、2x +1(x a2x a x a2+ 2a= 3+ 2a.1当且仅当x- a =，即x= a + 1时取等号.(X-a)2x+的最小值为 3+ 2a.(X-aJ由题意可得3+ 2a> 7得a> 2故实数a的最小值为2.答案：29.三角形的三边,a, b, c对应的高为ha, hb, he,且r为三角形内切圆的半径.若+ hb+ he的值为9r，则此三角形为 三角形.解析：记三角形的面积为 S,则 2S= aha= bhb= che.-2S= r(a+ b+ e),ha + hb+ he=1+e尸r(a + b+ e)由柯西不等式，得(a + b + e) £+ b+1

17、= ( )2 +(丽)2 +(讥) 1解析：2x+2= (x- a) + (x- a)+2+ (X- a)(X-a )】&)+0b)+圧#二ha+ hb+ hc> 9r，当且仅当a = b= c时取等号.故ha+ hb+ hc= 9r时，三角形为等边三角形.答案：等边三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤10. (本小题满分10分)已知正数x, y, z满足x+ y+ z= 1.2 2 2 。(1)求证亠+亠+亠> 1 求证：y+ 2z z+ 2x x + 2y 3'求4x+ 4y+ 4z2的最小值.(1)证明： x>0,

18、 y>0, z>0,.由柯西不等式，得2 2 2:x yz 2(y+ 2z) + (z+ 2x) + (x+ 2y)市 + 話 + x >(x+ y+ z) 又 x+ y+ z= 1,2 2 2 2亠+亠+亠 x+ y+z -= 1y+ 2z z+ 2x x + 2y y+ 2z + z+ 2x + x+ 2y 3解：由平均值不等式，得 4x+ 4y + 4z 34x+ y+ z2, x+ y + z= 1,. x+ y+ z2= 1 z+ z2= z-2 2 +鲁.故 4x+ 4y+ 4z2 > 31 1当且仅当x= y = 4，z=1时等号成立.4x+ 4y + 4

19、z2 的最小值为 3 , 2.11. (本小题满分12分)已知函数f(x) = m |x 2|, m R，且关于x的不等式f(x+ 2)>0 的解集为1,1.(1) 求m的值.卄口 111(2) 若 a, b, c R +,且a + 2b + 忌=m，求证：a + 2b + 3c> 9.(1)解：/ f(x+ 2) = m-|x|,. f (x+ 2) > 0 等价于 |x|w m. 由凶w m有解，得m>0,且其解集为x| mwx< m. 又 f(x+ 2)> 0 的解集为1,1，故 m= 1.1 1 1证明：由(1)知；+2b+云=1,又a, b, c

20、R +,由柯西不等式，得a+ 2b+ 3c= (a + 2b+ 3c) J + 茶 3c卜阴法 + 厲琲 + 何諂=9.12. (本小题满分13分)已知数列bn是等差数列，bi= 1,6 + b2+-+ bg = 145(n N*).(1)求数列bn的通项公式.设数列an的通项an= loga 1+补(其中a>0且a丰1)，记Sn是数列 an的前n项和，试比较gabn +1 的大小，并证明你的结论.3解：(1)设数列bn的公差为d,由题意，得 10X 1+1°- = %3k+ 13k + 1 厂 3k + 1 x d= 145.d= 3, bn= 3n 2.亠3n 2由bn=

21、3n 2,得Sn= lOga(1 + 1) + lOga 1 + 4 + + loga 1 +=lOga (1 + 1又 3lOg abn + 1 = log a%n+ 1 ,1要比较abn+1 的大小，可先比较3(1 + 1) I + 4卜(1 + 3n 2.)与3n+ 1的大小.取 n = 1,有(1 + 1)>%x 1 + 1,猜想取当n > 1, n N*时，有(1+1)+4.卜+下面用数学归纳法说明： 当n= 1时，已验证不等式成立. 假设当n = k(k N*)时，不等式成立,即(1 + 1) 1 + 4 1 + 3k 2则当n= k+ 1时,(1+1) 1+4 Y3k

22、 2 丿T + 3(k+ 1 2_1+(3k+ 2).(3k + 2)：_ (引3k+ 4)3 p3k+ 1,k+ 132=(3k+ 2 j (3k+ f (3k+ 1 23k+ 1 29k+ 4= 2>0,3k+1'.3k+13 3- 3k+ 1 (3k+ 2)> .3k+ 4= .3k+ 1 + 1. (1 + 1)+ 4)" (当 Ova*1 时，Bv/ogabn+1. + 3k 2.)1 + 3(k+ 1)-2>73(k+ 1 ” 1.这说明，当n= k+ 1时，不等式也成立.由，知对一切 n N*，不等式(1+ 1) 1 +11+ 32 >3 3n + 1都成立. 再由对数的性质，可得1当 a>1 时，Sn>§logabn +1；I 3