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1、河南科技大学第三届高等数学竞赛（卷二）评分标准三、解答题（本大题共8个题，满分为100分）21 （本题满分10分）求极限解：令 ，原式可以转化为 4分即原式 3分 3分22 （本题满分15分）设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.【详解】()当,即时, 2分.4分()由题设知 . 2分 2分.2分令, 得. 2分即当时, 在处可导. 1分23.(本题满分10分)求通过点的直线中，使得为最小的直线方程。解：设过点的直线为 2分 1分 2分 = 1分 2分 故所求直线方程为 2分24 (本题满分10分) 求曲面夹在
2、二曲面之间的部分的面积。解：该曲面在平面上的投影区域为（如右图所示）3分所以所求面积为2分=2分=3分25 （本题满分15分）计算 ，其中是沿着椭圆的正向从到的一段弧。解：设 ， 4分则 3分设， 2分 3分 2分 1分26 （本题满分10分）设为可微函数，且，试求解：由于，2分故1分 4分 3分27 (本题满分10分)设在上连续，在内可导，证明存在使 【证明】由题设知，在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在， 使 3分又，在上满足柯西中值定理的条件，故存在，使 4分即1分因此存在使 2分28 （本题满分20分）已知曲线的方程为（）讨论的凹凸性；（）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。解：（I）2分 2分 2分（II）切线方程为， 1分设， 1分则 2分得 2分点为（2，3），切线方程为 1分（III）设L的方程则1分，1分由于（2，3）在L上，由 1分 1分 1分1分 1分