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1、王老汉的烦恼 概率与频率的应用“铃”伴随着清脆铃声的响起，我踏上了讲台。“同学们，今天请大家来帮助王老汉来解决一下难题，好吗？”同学们都显出了极浓的兴趣。我于是在黑板上展示了问题：王老汉养了一池塘鱼，现在要与销售商签订合同，但王老汉的烦恼来了，他不知道鱼塘中大约有多少条鱼，也不知道鱼塘中鱼的总重量为多少，怎么办呢？学生被问题吸引住了，开始积极动脑筋，各抒己见。有的说：“可以先算出一定体积的鱼的数量。”有的说：“可以利用浮头现象。”有的说：“可以再建一个池塘”等等。这些方法经过学生认真琢磨，发现并不可行，这个问题在学生脑海中形成悬念。然后我告诉他们，这也是一类概率的问题。学生显得很兴奋，建议用“
2、列表法”或“树状图法”来解决。之后发现无从下手，问题再次陷入“瓶颈”状态，这时有学生提出了模拟试验，大家七嘴八舌地发表自己的看法。有的说：“用转盘。”有的说：“用骰子。”有的说：“用纸牌。”有的说：“摸球”等等，十分活跃。我趁机肯定了大家的想法，接下来用多媒体展示：在一个不透明的口袋里装有只有顔色不同的黑白两种顔色的球，共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下顔色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601摸到白球的频率m/n0.580.640.580.5
3、90.6050.601(1)、请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_.(2)、假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_,摸到黑球的概率是_.(3)、试估算口袋中黑、白两种顔色的球各有多少个？同学们略加思考，就把这个问题解决掉了。因为我们上节课已经分析过，通过试验来估计不确定事件发生概率的大小，通常是在试验次数越多，事件发生的频率值逐渐稳定时，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率。同时我向同学们提问：“为什么題中提到每摸一个球放回后，要把球搅匀？”同学们立马回答：“使试验具有随机性。”我立即肯定了同学们的说法。接下来，我提醒：“如果球的总数很大时，一个一个摸球能做到吗？”马上有学生说：
4、“太麻烦，太累人了。”我趁机问：“那该怎么办？”有的学生说：“我一次可以多摸几个。”“请举例说明一下。”“我可以设黑球有x个，假设一次摸10个球，其中2个白球，则2/10=10/(10+x)，从而求出x 。”大家纷纷表示赞同。于是我又问：“那么如果我又摸一次，其中有4个白球，则有4/10=10/(10+x)，从而x可求出，那么你认为结果应该按哪个计算呢？”这时学生都陷入深思中，一会后，很多学生举手，其中一个学生说：“可以求2/10与4/10的平均数，等于10/(10+x)。”“很好，如果做100次或500次试验呢？”“求100次或500次的平均数。”学生都明白了，这样学生就得出要想使试验结果更
5、加精确，可以求多次试验的平均数，于是得出方法二：多次试验的平均数=10/(10+x)。然后针对这两种方法，让学生分组讨论它们的优缺点，最后汇总，得到第一种方法，要使结果更加精确，那么试验次数必须足够多，但实践中不可能无限地做试验，因此现实意义不大。第二种方法：当总数较少时，精确度较差，但对于总数力大时，这个方法还是可行的，看到同学们理解得这么好，我又提出了：“若盒子中没有白球，该怎样估计黑球数呢？”由于这个问题存在难度，所以分组讨论再拿出解决方案，经过探讨，有的小组说：“可以拿出几个黑球涂上白色。”也有的说：“可以向盒子中放入同质地同大小的白球，听到这些学生都纷纷赞同。见学生已经掌握了用部分来
6、估计总体的思想，我便引导学生来解决“王老汉的难题”由于前面准备工作充分，达到水到渠成之效，几乎全班同学都举手跃跃欲试，有的说：“我往池塘放入一定数量池塘中原来没有的鱼。”有的说：“我想先捞出100条，做上记号，放回一段时间后，再捞出200条，发现10条有记号的鱼，然后通过10/200=100/x，就可以求出鱼的数目。并称出这200条鱼的重量，求出平均每一条鱼的重量，就可以估计池塘中鱼的重量。”看看同学们回答得多完整，特别是“一段时间”后充分表明了学生体会到了做试验的随机性。我接着问：“那么，大家想一下用这种方法还能解决现实生活中的哪些问题呢？”有的说：“能知道我县有多少辆上海通用轿车。”有的说：“能知道树林中有多少只鸟。”有的说：“能知道一次摸奖活动中的中奖概率。”等等。接下来我设计了以下思考题：问题一：你能设计一个方案估算出树林中某种动物的多少吗？问题二：往一个装有很多黑棋的袋子中放入20个红棋，每次倒出10个，记下所倒红棋数目，再把它们放回去，共倒了200次，倒出红棋300个，袋子中原有黑棋多少个？本节课即将结束时，我总结说：“让我代表王老汉感谢同学生们帮他解决了难题。同时，我们在这节课的学习实践中既学了知识，解决了问题，又体验到了团结合作的乐趣，希望大家能学有所用。下课！”