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1、学习必备欢迎下载空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1已知直四棱柱ABCD A1B 1 C1 D 1 中， AA1 2 ，底面 ABCD 是直角梯形，A 为直角， AB CD ， AB 4， AD 2 ，DC 1 ，求异面直线BC 1 与 DC 所成角的余弦值解析：如图1 ，以 D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1 所在直线为x 、y、z 轴建立空间直角坐标系，则C1（， 1，2 ）、 B
2、（2，4，）， BC1( 2， 3，2) ， CD(0， 10)， 设 BC1与 CD 所成的角为，则 cosBC1CD3 17BC1CD17（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2如图 2 ，在三棱柱ABC A1B 1C1 中， AB 侧面 BB 1 C1C， E 为棱 CC 1 上异于C、 C1 的一点， EA EB 1已知 AB2 ，BB 12，BC 1， BCC 1求二3面角 A EB 1 A1 的平面角的正切值解析：如图2 ，以 B 为原点，分别以BB 1 、 BA 所在直线为y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面AB 1 的直线为x 轴建立空间直角坐标系由于 BC 1，BB 12
3、，AB 2 ， BCC 1，3学习必备欢迎下载在三棱柱111 中，有（，）、 （， 2 ）、 1（， 2 ，）、3，1， 、ABCCc0A BBAB22C133E3， ，且1a3，设，202a 0222由 EA EB 1，得 EA EB10 ，即3 ， ，23 ，2a22a 03a( a 2) a22a30 ， a1a30 ，44221331即a或a（舍去）故E022，22由已知有EAEB1 ， B1 A1EB1 ，故二面角A EB 1 A1 的平面角的大小为向量B1 A1与 EA 的夹角因 B1A1BA (0，0， 2) ， EA3， 1，222故 cosEA B1A12，即tan2EA B
4、1 A132（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3如图 3 ，在四棱锥V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD 底面 ABCD （ 1）证明 AB 平面 VAD ；（ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值解析：（1 ）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图3 所示的空间直角坐标系设 AD 2，则 A（ 1，）、D （ 1 ，）、 B （ 1 ， 2 ，）、 V（，3）， AB （， 2 ，）， VA （ 1 ，3 ）由ABVA(0，2，0) (10，3)0 ，得AB VA又 AB AD ，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线VA
5、、 AD 都垂直，学习必备欢迎下载 AB 平面 VAD ；（ 2）设 E 为 DV 的中点，则E1， 3022EA3，3，3，3 ，DV(10，3)02EB22223，3，EB DV22(103)02 EB DV 又 EA DV ，因此 AEB 是所求二面角的平面角EA EB21 cos EA，EBEA EB721故所求二面角的余弦值为7（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4已知正四棱锥V ABCD 中，E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为2 a，高为 h （ 1）求 DEB 的余弦值；（ 2）若 BE VC ，求 DEB 的余弦值解析：（ 1 ）如图 4 ，以 V 在平面A
6、C 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 O x BC ， O y AB ，则由AB 2 a ， OV h ，有 B（ a ， a ，）、 C（- a， a ，）、 D （ - a， - a，）、 Va ah（0 ， 0 ， h ）、 E， ，2 223ah，DEa3h， ， BE，aa222222，BE DE6a 2h2，cos BE DEBEDE10a2h2即 cos DEB6a2h2；10a2h2（2 ）因为 E 是 VC 的中点，又BE VC ，学习必备欢迎下载3a，ah，所以 BE VC 0，即2， ( a， a， h) 022 3 a2 a2h20 ， h2a 222，6
7、a2h21 ，即cos DEB1这时 cos BE DE10a2h233引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系例 5已知两个正四棱锥P ABCD 与 Q ABCD 的高都为2 ，AB 4（ 1 ）证明： PQ平面 ABCD ；（ 2 ）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；（
8、 3 ）求点 P 到面 QAD 的距离简解：（ 1 ）略；（2 ）由题设知， ABCD 是正方形，且AC BD 由（ 1）， PQ平面 ABCD ，故可分别以直线 CA， DB， QP 为 x ， y， z 轴建立空间直角坐标系（如图1 ），易得AQ ( 2 2，0， 2)，PB(0，2 2，2) ， cos AQ，PBAQ PB1AQ PB3所求异面直线所成的角是arccos 1 3（3 ）由（ 2 ）知，点 D (0， 2 2，0)，AD( 2 2， 2 2，0)，PQ(0，0， 4) 设 n = （ x， y， z）是平面 QAD 的一个n AQ，2xz 0，法向量，则02) 点 P 到
9、平面 QAD 的距离得x y取 x 1 ，得 n = (1， 1，n AD，0，0PQ n2 2dn学习必备欢迎下载点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出第（3）问也可用“等体积法”求距离学习必备欢迎下载二、 向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算a, b 是两个非零向量，它们的夹角为，则数 | a | | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作a b ，即 a b| a | | b | cos . 其几何意义是a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：若 a (x1 , y1 , z1 ), b (
10、x2 , y2 , z2 ) ，则 a b x1 x2y1 y2z1 z2 ； | a |x12y12z12 ,| b |x2 2y22z22； a b x1 x2y1 y2z1 z2 cosa,bx1 x2y1 y2z1 z2222222x1y1 z1x2y2z2（二）例题讲解题型：求角度相关1. 异面直线 m, n 所成的角分别在直线 m, n 上取定向量 a,b, 则异面直线m, n 所成的角等于向量 a, b 所成的角或其nA补角（如图 1 所示），C a则 cos| a b | .nmD 图1 bB| a | | b |2.直线 L 与平面所成的角在 L 上取定 AB ，求平面的法向
11、量（如图2 所示），再求 cos| ABn |，n|AB| n |ALB n则为所求的角 .2图3 二面角方法一：构造二面角向，如图3 所示），则l的两个半平面、 的法向量 n1 、n2 （都取向上的方n1n2l图3 甲学习必备欢迎下载若二面角l是“钝角型” 的如图3 甲所示，那么其大小等于两法向量n1 、n2n1n2n1的夹角的补角，即.n2cos| n1 | n2 |l是“锐角型” 的如图 3n1 、n2 的l 若二面角乙所示，那么其大小等于两法向量图夹角，即 cosn1n2. .n2| n1 | n2 |B方法二：在二面角的棱l 上确定两个点 A、B ，过 A、B 分别在平面、 内求lA
12、出与 l 垂直的向量 n1 、n2（如图 4 所示），则二面角l的大小等于向量n1 、n2n1图 4n1n2.的夹角，即 cos| n1 | n2 |题型：求距离相关1. 异面直线 m、n 的距离分别在直线 m、n 上取定向量 a,b, 求与向量 a、b都垂直的向量n，分别在aAnCm、n 上各取一个定点A、B ，则异面直线m、n 的距离 d 等于 AB 在 n 上的nm| ABn |D图1b B射影长，即 d.| n |证明：设 CD 为公垂线段，取CAa, DBbCDCAABBDCD n(CAABBD ) n| CD n | | AB n |d | CD | AB n | n |设直线 m
13、, n 所成的角为，显然 cos| a b | .| a | | b |pnA2.平面外一点p 到平面的距离学习必备欢迎下载求平面的法向量n ，在面内任取一定点A ，点p 到平面的距离d 等于AP在 n 上的射影长，即d| AP n |.| n |图5学习必备欢迎下载三、 法向量例题解析题型：求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角设平面的法向量为n = （ x, y, 1) ，则直线 AB 和平面所成的角的正弦值为sin = cos(- )2= |cos< AB ,nABn>| =nAB2 、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为n1 , n2 ，则 < n1 , n
14、2 >或-< n1, n2 > 是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定 < n1, n2 > 是所求，还是 -< n1, n2 > 是所求角。题型：求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线 a 、 b 的公共法向量为 n (x, y, z) ，在 a、 b 上任取一点A、B，则异面直线 a、 b 的距离： d =AB · cos BAA = | AB n | n |略证：如图，EF 为 a、 b 的公垂线段，a 为过 F 与 a 平行的直线，在 a、 b 上任取一点A 、 B ，过 A 作 AA / EF ，交 a
15、于 A ，学习必备欢迎下载则 AA? / n ，所以 BAA =< BA, n >（或其补角）异面直线 a 、 b 的距离 d =AB · cos BAA = | AB n |*| n |其中， n 的坐标可利用a 、 b 上的任一向量a, b （或图中的AE, BF ），及 n 的定义得nana0nbnb0解方程组可得 n 。2、求点到面的距离求 A 点到平面的距离，设平面的法向量法为n ( x, y,1) ，在内任取一点 B ，则 A 点到平面的距离：d = | AB n |，| n |n 的坐标由 n 与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,
16、 若方程组无解，则法向量与 XOY 平面平行，此时可改设 n (1, y,0)，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为n ( x, y,1) ，在直线 a 上任取一点 A ，在平面内任取一点 B ，则直线 a 到平面的距离：| AB n |d =| n |4、求两平行平面的距离设两个平行设平面、的公共法向量法为 n(x, y,1) ，在平面、内各任取一点A 、B ，则平面到平面的距离：| ABn |d =| n |三、证明线面、面面的平行、垂直关系学习必备欢迎下载设平面外的直线a 和平面、，两个面、的法向量为n1 , n2，则a/an1aa/n1/n1/ n2n1n2