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1、微专题含参不等式恒成立问题类型一：一次函数型例1:若不等式2x 1 m(x f (x)0在x R上恒成立1)对满足 2 m 2都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x21)(2x 1)0,，令 f (m) m(x21)(2x 1)，贝U 2 m 22时，f(m) 0恒成立，所以只需f( 2) 0即2(2X1) (2X 1) 0，f (2)02(x21)(2x1)0所以x的范围是x(宁'吁变式.对于满足|p| 2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值 范围。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1&
2、gt;0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p -2,2上恒成立，故有:f(2)2)00 即2 x2 x4x 30解得:x 3或 x 1亠 x<-1 或 x>3.x 1 或X1类型二：二次函数型利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数f (x) ax2 bx c 0(a 0, x R)有:例2:若不等式(m 1)x2(m 1)x 2 0的解集是R，求m的范围解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数 含有参数m,所以要讨论m-1是否是0。(1) 当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；(2) m
3、 1 0 时，只需 m f (x)0在x R上恒成立 0 2，所以，m 1,9)。(m 1)28(m 1)0变式：若x R,不等式X2 2x 3 m 0恒成立，求m的取值范围.解析：设f xx2 3x 3 m，其函数像是开口向上的抛物线，为了使2f X 0 X R恒成立，只需要对应方程0，即 24 3 m 0，解得m2即m ,2利用函数的最值(或值域)(1) f (x) m对任意X都成立f(x)minm ；(2) f(x) m对任意x都成立 m f(x)max。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的”由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3.设f(x)=x2-2ax+2,当x -
4、1,+ )时，f(x) a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x) a不等式中，若把a移到等号的左边，贝U原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设 F(x)= f(x) -a=x2-2ax+2-a. )=(-2a) 2-4(2-a)=4(a-1)(a+2)<0 时，即-2<a<1 时，对一切 x -1,+ )，F(x) 0恒成立；)当=4 (a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：0(a 1)( a 2) 0f( 1) 0 即 a 3 0得-3 a -2;丄1, a竄2综上所述：a的取值范围为-3, 1。变式(补充)：求使不等式a sinx cos x, x 0,恒成
5、立的实数a的范围。解析：由于函 a sinx cosx 2 sin(x ),x,3 ，显然函444 4数有最大值2 ， a 2。利用换元法例4.已知当x R时，不等式a+cos2x<&4sinx恒成立，求实数a的取值范围。分析：题目中出现了 sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x，故若采用换元法把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x<54sinx可化为a+1-2sin2x<5-4sinx,令 sinx=t,则 t -1,1,不等式 a+cos2x<54sinx 恒成立2
6、t2-4t+4-a>0,t -1,1恒成立。xx变式：f(x) lg -分析：如果x (- J,如果x (.1)时，f (x)恒有意义，求a的范围。3.1)时，f(x)恒有意义，则可转化为1 2x a4x 0恒成立,即参数分离后a1 2x(2 x 2 2x)，x (.1)恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解:如果x (.1)时,f(x)恒有意义 1 2x a4x 0，对x(,1)恒成2 2x) x (.1)恒成立。12x，g(t) (t t2)又x (.1)则t (2,) a g对t113成立，又Qg(t)在t 2,)上为减函数，g(t)maxg(-)4，数形结合法例5.当x
7、(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。解：设T1：f(x)=(x 1)2,T2： g(x) logax,则T1的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x (1,2), f(x)<g(x)恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方,显然a>1,并且必须也只需g(2)f(2)故 loga2>1,a>1, 1<a 2.1变式：对x0,- , 4x logaX恒成立，a的取值范围21解：当x 0,2时，函数y
8、 4X单调递减，其值域为1,2，因为对于任意x 0,2，总有4X loga x恒成立，则y logaX的图像在y 4X的上方，所以0 a 1,，y logaX单调递减，则只需要满足2 loga-,，即a ，则a取值2 22范围为,1 O2【课后反馈训练】1. 若关于x的一元二次方程x2 (m 1)x m 0有两个不相等的实数根，求 m的取值范围.答案： ，3 2 23 2迈2. m为什么实数，关于x的一元二次方程mx2 (1 m)x m 0没有实数根？1答案：m - ,m 1333. 当k为何值时，一元二次不等式2kx2 kx - 0对一切实数x都成立?8答案：3 k 04. m 1,1 ,不
9、等式x2 mx 3m 0恒成立，求x的取值范围.答案：m 215. 若关于x的不等式亠2 2x mx的解集为x|0 x 2,求m的值.答案：m 16. 不等式ax2 2ax 4 0对一切x的值恒成立，求a的取值范围答案：0,47. 不等式ax2 x 2a 0的解集为，求a的取值范围1答案：0,128. 已知函数 f(x) x2 2ax 2.(a R)，当 x 1, 时，f(x)实数a取值范围答案：3, 19. 已知 a 1,1,不等式 x2 + (a 4)x + 4 2a>0 恒成立，则 x(C )A . ( , 2) (3 + %)B.(汽 1) (2 +C . ( , 1) (3 + %)D. (1,3)a恒成立，求的取值范围为%)10已知函数f(x) = x2+ ax 1在区间0,3上最小值一2,则实数a的值为2