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1、学习必备欢迎下载生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔专题研究：数列的求和·例题解析【例 1】求下列数列的前n 项和 Sn：(1)11 ， 21 ， 31 ， ( n1n ) ，；248212121212(2)32，34，56，2 n 12 n，；3333333(3)1，1，11， 111，121241242n1解 (1)S n111(n1= 1232n )248= (1 211113 n) (482n )211n(n +1)2(12n )=211 n(n 1)21= 122n(2
2、)S n=121212332333432 n132 n11+1222= ( +33 + 32n-1) + (2 +34 +32n )331121= 3(132 n )32 (132 n )11113232518(132 n )(3) 先对通项求和an = 1111212 42n 12 n 1 Sn= (2 2 2) (111+ +12+n-1 )42学习必备欢迎下载111= 2n (12 + 4 + + 2 n-1 )1= 2n 2 2 n 1【例 2】求和：(1)1+1+1+ 1·2·3·n(n1)123 4(2)1111·5·7·
3、9(2n1)(2n3)135(3)11112·55·88·(3n1)( 3n2)11解 (1)111n(n + 1)nn1 Sn(11)(11)(11)(11 )122334nn111n1nn1(2)1111)(2n1)(2n + 3)4(12n2n3 Sn =11111111537592n341112n12n12n31 1111=32n1 2n43n( 4n5)3(2n1)( 2n3)(3)1111)(3n1)(3n + 2)3(13n3n21111111) 11 Sn = () () (11(13n)3255883n2=111)(3n322n6n4学习必备欢迎
4、下载【例 3】求下面数列的前n 项和：1111 1， a 4， a2 7， an 1 (3n 2) ，分析 将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以1 为公比的等a比数列，另一个数组成以3n2 为通项的等差数列，分别求和后再合并解 设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn则 an =1 (3n2)n 1a111 Sn= (1aa2an1 ) 1 4 7 (3n 2)1(3n2) · n3n2n当 a = 1时， Sn = n2211(13n2)nan1(3n1) n当 a 1时， Sn =an112anan 12a说明等比数列的求和问题，分q=1 与 q 1 两种情况讨论【例 4】
5、设 ak =12 22 k 2(k N*) ，则数列3，5 ，7 ，a1a2a3的前 n 项之和是6nB3nC6(n 1)D 6( n1)A1n1nn2n解 设数列3 ， 5， 7，的通项为 bn a1a2a32n1则 bn =an又 a n= 12 22 n2=1n(n 1)(2n 1)6 bn=611)n(n + 1)= 6(nn + 1数列 b n 的前 n 项和 Sn=b1 b2 bn学习必备欢迎下载1111111= 6(1) (2n)23n3n 11)= 6(1n 1= 6n 选 (A) n + 1【例 5】求在区间 a， b(b a， a， b N) 上分母是 3 的不可约分数之和
6、解法一 区间 a， b上分母为 3的所有分数是3a ， 3a1 ， 3a2 ，333 ， 3a4 ， 3a5 ， ， ， 3b2 ， 3b1， 3b 它是以a 13a 2b 133333a 为首项，以 1 为公差的等差数列331项数为 3b 3a 1，其和 S =(3b 3a 1)(a b)其中，可约分数是a，a 1， a 2， b1其和 S =(b a 1)(a b)故不可约分数之和为1S S =(a b)(3b 3a 1) (b a1)2=b2 a2解法二 S = 3a +1 + 3a + 2 + 3a + 4 + 3a + 5 + + 3b2 + 3b1333333 S=(a 1 )(a
7、 2 ) (a 4 ) (a 5 ) (b 2 )(b 1 )333333而又有1(b 2)(b 4)(b 5) 2)S=(b)333(a331)(a3两式相加： 2S=(a b) (a b) (a b)其个数为以3 为分母的分数个数减去可约分数个数即 3(b a) 1 (b a1)=2(b a) 2S=2(b a)(a b) S=b2a2【例 6】求下列数列的前n 项和 Sn：(1)a， 2a2， 3a3， nan， (a 0、 1)；学习必备欢迎下载(2)1， 4，9， n2，；(3)1， 3x， 5x2， (2n 1)x n-1， (x 1)(4)1 ， 2， 3，nn ，2482解 (
8、1)Sn=a 2a23a3 nan a 0 aSn=a22a3 3a4 (n 1)annan+1Sn aSn=aa2 a3 an nan+1 a 1 ()a(1an )n 11a Sn1anaSna(1an )nan 1(1a)21a(2)Sn=1 4 9 n2 (a 1)3 a3=3a2 3a 1 23 13=3× 12 3× 1 1 33 23=3×22 3× 2143 33=3×32 3× 31n3 (n 1)3=3(n 1)23(n 1) 1(n 1)3n3=3n 23n 1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n 1)313
9、=3(1 2 22 n2)3(1 2 n) n= 3(12 22 32 n2 ) 3n(n1) n2 12 22 32 n2学习必备欢迎下载=1(n 1) 3 1 3n(n1) n32=1n 3 3n 2 3n 3n(n1) n32=1n(2n 2 3n 1)6=1n(n 1)(2n 1)6(3) Sn=1 3x 5x2 7x3 (2n1)x n-1 xSn=x 3x2 5x3 (2n3)x n-1 (2n 1)x n两式相减，得(1 x)Sn=1 2x(1 x x2 xn-2) (2n 1)xn= 1 (2n1)x n 2x(x n11)x1(2n1)x n+1(2n1) x n(1x)=1
10、x Sn(2n1)x n+1(2n 1) x n(1x)=(1x)2(4) Sn123n=22232n21123n2 Sn22232 42 n 1两式相减，得11111n2 Sn2 22232n2 n 1112(12n )n112 n1211n2n2 n 1 Sn= 21n2n12n说明求形如 a n·bn 的数列的前n 项和， 若其中 a n 成等差数列， b n 成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化学习必备欢迎下载归思想【例 7】 设等差数列 a n 的前 n项和为 Snan1 2，且 Sn = ()2n N* ，若 b=( 1)n
11、3;S ，求数列 b 的前 n项和 Tnnnn分析 求 b 的前 n 项和，应从通项 bn入手，关键在于求 a 的前 n 项和 S ，nnn而由已知只需求 a 的通项 a 即可nn解法一 a n 是等差数列， Sn= ( an 1) 22a11 2解得 a1 = 1当 n = 1时， a1 = ()2当 n = 2时， a1 a2a212解得 a2 = 3或 a2 = 1= ()2当 n = 3时， a1 a2 a3 = ( a321) 2 ，由 a2= 3，解得 a3= 5或 a3 = 3，由 a2=1，解得 a3=1an1 2 0， a= 1， a3= 3， a3 = 1( 舍 )又 Sn
12、 = ()22即 a=1， a =3， a =5， d=2123an=1 2(n 1)=2n 1Sn=1 3 5 (2n1)=n 2bn=( 1)n· Sn=( 1)n·n2Tn= 1222 3242 (1) n· n2当 n 为偶数时，即 n=2k， kN*T=( 12 22) (32 42) (2k 1)2 (2k) 2n=3 7 (4k 1)=3 + (4k 1)· k2=(2k 1)k=n( n 1)2当 n 为奇数时，即n=2k 1， k N*学习必备欢迎下载Tn= 1222 3242 (2k 1)2=12 2232 42 (2k 1)2(2k
13、) 2 (2k) 2=(2k 1)k (2k) 2=k(2k 1)= n(n 1) 2 Tn = ( 1) n · n( n 1)n N *2也可利用等差数列的前(a1+ a n )· nn项和公式 Sn =2，求 an 解法二 取 n = 1，则 a1= ( a11) 2 a1= 12n(a1+ an )(1a n ) · nan12又 Sn =2可得：()22an 1 an=2n 1以下同解法一说明本题以 “等差数列” 这一已知条件为线索，运用方程思想， 求数列 a n的通项 a，在求数列 b 的前 n 项和中， 通过化简、 变形把一般数列的求和问题转nn化为等差数列的求和问题由于( 1)n 的作用，在变形中对n 须分两种情况讨论