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1、柯西不等式教学设计教学目标：1、知识目标：(1) 认识二维柯西不等式的两种形式：O 1代数形式；G2向量形式。(2) 学会二维柯西不等式的两种证明方法：O 1代数方法；G2向量方法。( 3) 了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。2、能力目标：( 1 ) 学会运用柯西不等式解决一些简单问题。( 2 ) 学会运用柯西不等式证明不等式。( 3) 培养学生知识迁移、自主探究能力。3、情感、态度、价值观目标：通过对柯西不等式的学习， 使学生感受数学的美妙， 提高数学素养， 激发学习兴趣。教学重点与难点：1、教学重点：(1) 二维柯西不等式的两种形式及其证明：O 1代数形式；C2向量形式
2、。( 2 ) 探究一般的柯西不等式形式。2、教学难点：( 1) 柯西不等式的证明思路。(2) 运用柯西不等式解决问题。教学方法：探究法、讲述法。四、教学过程及内容：1、单刀直入，通过基本不等式a2b2_2ab引出平方和与乘积的关系，直接引入主题(a2 b2)(c2 d2)(a,b, c, d为实数):【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式a2b2 _2ab，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式一一柯西不等式， 它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子(a2 b2) (c2 d2)(a,b,为实数)【生】：全神贯注地看黑板。【师】：在黑板展
3、示：(a b )(c d )=a c b d a d b c由于 a2c2 b2d2 a2 d2 b2c2 = (ac bd )2 _(ad _bc)2222222因此(a b )(c d (ac bd) - (ad - bc)所以(a2 b2)(c2 d2)丄(ac bd)2当且仅当ad -bc = O时，等号成立。【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。2、讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：二维形式的柯西不等式: 若 a,b,c,d 都是实数，则(a2 b2)(c2 d2) _ (ac bd)2当且仅当ad _ be = 0时，等号成立。推论一： Ja2 +b2
4、Jc2 +d2 闫ac + bd 推论二： Ja2 +b2d2 工 ac +|bd3、练习巩固新知识：例一：已知 a,b为实数，证明：(a4 b4)(a2 b2 (a3 b3)2【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，(a4 b4)(a2 - b2)-(a2)2 (b2)2(a2 b2) _(a2 a b2 b)2-(a3 b3)2例二：求函数y =3.,Q54、,6 - x的最大值。【生】：动笔演算。【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。【讲解】：函数的定义域为5,6，观察式子形式，可以用推论二。即y = 3、4、x (324j(x _5) (6 _ x) =
5、5。当且仅当4，好尸，即送时，函数有最大值5。4、讲解柯西不等式的向量形式:在平面直角坐标系中，:=(a,b),= (c,d),V -：/ 0,二，则01： ii - icost = ac bd又 h'a2 b2 ,| - H c2 d2,而|i=r iFiicosr 卜 r ip i即 i ac bd i< , a2 b2 , c2 d2当且仅当:共线时，等号成立，即 ad =bc柯西不等式的向量形式:设是两个向量，则444当且仅当1是零向量，或存在实数 k，使得-时，等号成立。又称之为Cauchy-Schwarz 不等式。5、通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得
6、到三维形式的柯西不等式:三维形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2 21a2a3)(dbd)-(aQ a?b2asbs)当且仅当bi =0(i =1,2,3)，或存在 k L 使得a：二kbi(i =1,2,3)时，等号成立。6、三维柯西不等式巩固练习:例三：设X1,X2,X3为正数，求证:(Xi X2 X3)(丄丄)_9XiX2X3【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式, X27、探究一般形式的柯西不等式：【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢?【生】：踊跃回答：(a1 - a；+an2)(b2 b；+b：) _ (aQ a2b2+ an
7、bn)2【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。）下面我们先来看一个例题：例四：设Xi, X；，Xn R ,求证：222 2-3昼 > 兀X2川人*2 X3xXi【讲解】：在不等式左端乘以因式x xxn，由柯西不等式，得22221X23 昼区 X3 I" Xn Xi）X2 X3XnXi=XiXlXn 2,2 2 2 2于是互卷川也 Xi Xl XnX2X3XnXi&小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。五、
8、板书设计：柯西不等式二维形式的柯西不等式：若 a,b,c,d 都是实数，则(a2 b2)(c2 d2) _ (ac bd)2当且仅当ad-bc=O时，等号成立。推论一：Ja2 +b2 Jc2 +d2 日ac + bd推论二：Ja2 +b2 Jc2 +d2 > ac|+ bd柯西不等式的向量形式:设 是两个向量，则当且仅当1是零向量，或存在实数 k，使得：二k1时，等号成立。三维形式的柯西不等式：(a1 af afxb； b| b3) - (aQ a?b2 agbg)2当且仅当b =0(i -1,2,3)，或存在k L使得akbi(1,2,3,)时，等号成立。一般形式的柯西不等式：(a1a；+ anb(b；b；+崭)亠(aQa2b2+anbn)2当且仅当b =0(i =1,2,，n)，或存在 心|_使得Q=kb(i=1,2,，n)时,等号成立。Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！