《柯西不等式一导学案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《柯西不等式一导学案.doc（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、变式 20.若 a, b, c, dR，则a2b2c2d2 (ac)2(bd)2；0 2 2 2 2 2 2 变式 30.若x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2 .几何意义 :3. 二维柯西不等式的应用 ：例1 已知a,b为实数 , 证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2§3.1.1 柯西不等式 (1) 姓名 学习目标 ： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义 ;2. 会证明二维柯西不等式及向量形式? 知识情景 ：1. 定理 1 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab. 当且仅当 a b时, 等号成立.当 a
2、 0,b 0 时，由 a2 b2 2ab 基本不等式 ：2. 如果 a,b,c,d R, 那么 a2 b2 2ab ， c2 d 2 2cd(a2 b2)(c2 d2 )另一方面，有 (ac bd)2 a2c2 b2d2 2abcd 问题：(a2 b2 )( c2 d2)(ac bd)2 ? ? 新知建构 ：1. 柯西不等式 ：若 a,b,c,d R，则(a2 b2)(c2 d2)(ac bd)2 .当且仅当 时, 等号成立 .此即 二维形式的柯西不等式 .证法 10.(综合法) (a2 b2)(c2 d2 ) a2c2 a2d2 b2c2 b2d22 2 2 ( )2 ( )2(ac bd)
3、2* 1 1例2 设a,b R* ,a b 1, 求证 4 ab当且仅当时, 等号成立 .证法 20.(构造法)2 22 22 2 22 22分析： (ac bd)2(a2b2)(c2d2 )2(ac bd)24(a2b2 )(c2d2)02 2 2 2 2而 2(ac bd)2 4(a2 b2 )(c2 d2)的结构特征那么，证：设 f (x) (a2 b2)x2 2(ac bd)x c2 d2，22 f (x) (ax c)2 (bx d)20 恒成立 . . 得证 .证法 3 . (向量法) 设向量 m (a,b)， n (c,d)， 则|m| ， |n| . m n ，且mn |m|
4、|n| cos m,n ，有|mn|m| |n|. .得证 .例3 求函数 y 5 x 1 10 2x的最大值2. 二维柯西不等式的变式 ： 变式 1 .若 a, b, c, d R，则 a2 b2 c2 d2 |ac bd| 或 a2 b2 c2 d 2 ac bd；例 4 若 2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值 ,并求最小值点例 4 若2x 3y 1,求 4x2 9 y2的最小值 ,并求最小值点选修 4-5练习§3.1.1 柯西不等式 (1) 姓名1. 若a,b R,且 a2 b2 10,则a b的取值范围是 ( )例3 求函数 y 5 x 1 10 2x的最大值1 0
5、, 1 0 D. 5 , 5 2. 已知 x y 1,那么 2x2 3y2的最小值是 ( )A.-2 5 , 2 5 B.2 1 0 , 2 1 0 C.A.B.C.36D.36253.4,函数 y 2 1 x 2x 1的最大值为 7、已知 3x 2y 1，求 x2 y2的最小值 .8、若 x,y R ，x y 2，求证： 1 1 2. xy9、已知 x,y,a,b R ，且 a b 1，则 x y 的最小值 .xy10、若 a>b> c，求证：1 1 4a b b c a c设实数 x, y满足 3x2 2y2 6,则 P 2x y的最大值是 1 2 1 25. 若a b 1,则
6、(a 1)2 (b 1 ) 2的最小值是 ab6、求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？；13.13、解方程x 1 2 x 1 21xx111、 已知点 0 x0,y0 及直线 l : x y C 0 2 2 0用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1。参考答案 :例1例2例32 2 2 2 2解 :由柯西不等式 (4x 9y )(1 1 ) (2x 3y) 1,2 2 1例 4 4x 9y 2.当且仅当 2x 12 3y由 22xx 33yy 1得 xy 412 2 y 614x2 9 y 2的最小值为 1 ,最小值点为2
7、当且仅当 y0 y1 : x0 x1练习1,即2x 3y时取等号111(14,16)5252 如何变形？ 构造柯西不等式的形式 y 3x 1 10 2x y a bx c d e fx,(a,b,c,d,e, f R )111162、B分析：变式：推广：p1p2 l (3)式取等号 即点到直线的距离公式即12. 证明：由柯西不等式，得当且仅当p1 p2x0y0 C22a 1 b2 b 1 a2 a2 1 a2 b2 1 b2 133 4 11 板演7(凑配法) x2 y2 1 (x2 y2 )(32 22) 1 (3x 2y)2 11313138分析：如何变形后利用柯西不等式？(注意对比构造)
8、要点：1x 1y 12(x y)(1x 1y) 12( x)2 ( y)2(1 )2 ( 1 )2 xyab9要点： x y ( )(x y) .xy 其它证法1 1 1 110、要点： (a c)(a1b b1c) (a b) (b c)( a1b b1c) (1 1)2 411、设点 1 x1,y1 是直线 l 上的任意一点， 则 x1x1 C 0 (1)点 P0,P1 两点间的距离2)p0p1 的最小值就是点 p0到直线 l 的距离，2 2 x0 x1 2 y0 y1 2x0 x1y0 y1x0y0 Cx1 y1 C由( 1)( 2)得：2 2p1p2x0y0C 即p1p2x02y0 2C(3)22b1 a21b2时，上式取等号，ab 1 a21 b2 ,13.解：x212x 1 2x由柯西不等式知a2b21 a2 1 b2 , 于21xx2x 1 2x x 1x 1 x22是 a 2 b2 1 。1x2 x 1 2x2 x12x(x 11)2 (x 1)2 22 1 2 1 x2 x12 (x 1)2 (x 11)221x(x 1)2x 1 0 (无实根) 或x2x 1 5 ，经检验，原方程的根为2x(x 1)1当上 式取 等号 时有 x(x 1) 1x 1 0 ，即15x2x(x 1)成立，即