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1、用二分法求方程的近似解1用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是 ()A 越大，零点的精确度越高B越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关2设 f(x) 3x3x 8，用二分法求方程3x 3x 8 0 在 x (1,2)内近似解的过程中得f(1)<0 ， f(1.5)>0 ， f(1.25)<0 ，则方程的根落在区间()A (1,1.25)B (1.25,1.5)C(1.5,2)D 不能确定3已知 f(x) ax2 bx， ab 0，且 f(x 1 ) f(x 2) 2 009，则 f(x 1 x2 ) _.4若函数 f(x) 的图象是连续不间断的，
2、根据下面的表格，可以断定f(x) 的零点所在的区间为 _ (只填序号 ) (， 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6， )x123456f(x)136.12315.542 3.93010.678 50.667305.678课堂巩固1下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2用二分法求函数 f(x)x3 5 的零点可以取的初始区间是()A 2,1 B 1,0C 0,1D 1,23(2009 天津滨海五校高三联考，理 2)下图是函数 f(x) 的图象， 它与 x 轴有 4 个不同的公共点给出下列四个区间之中， 存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是 ()A
3、 2.1， 1B 4.1,5C1.9,2.3D 5,6.14下列是关于函数 y f(x) ， x a， b的几个命题：若 x0a， b且满足 f(x 0) 0，则 (x0,0)是 f(x) 的一个零点；若 x0 是 f(x) 在a，b上的零点，则可用二分法求x0 的近似值；函数 f(x) 的零点是方程f(x) 0的根，但 f(x) 0的根不一定是函数f(x) 的零点；用二分法求方程的根时，得到的都是近似值那么以上叙述中，正确的个数为()A0 B1 C3 D 4是函数 f(x) 2x log15 (2009 福建厦门一中高三期末，文11)已知 x0x 的零点，若0<x1<x 0，则
4、f(x 1)的值满足 (3)A f(x 1)>0Bf(x 1)<0Cf(x 1) 0D f(x 1)>0 与 f(x 1)<0 均有可能6若方程 (1)x x 的解为 x0，则 x0所在的区间为2()A (0.1,0.2)B (0.3,0.4)C(0.5,0.7)D (0.9,1)7奇函数 f(x) 的定义域为R ，在 (0， )上， f(x) 为增函数若3 是 f(x) 的一个零点，则 f(x) 另外的零点是 _ 8证明方程63x 2x 在区间 1,2 内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)1若一元二次方程ax2 2x 1 0 有一个正根和一个负根，则有
5、()A a<0 B a>0C a< 1D a>12方程 0.9x x 0 的实数根的个数是()A0 B1 C2 D 33已知函数 f(x) (x a)(x b) 2(a<b)，并且 ， ( <是)函数 y f(x) 的两个零点，则实数 a， b，的大小关系是 ()A a< < <bB <a<b< C <a< <bD a< <b<4函数 y lnx 2x 6 的零点一定位于如下哪个区间上()7A (0,1)B (1， 4)755C(，)D (， 4)4225.利用计算器，列出自变量和函数值
6、的对应关系如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556yx20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程 2x x2 的一个根位于下列哪个区间内()A (0.6,1.0)B (1.4,1.8)C(1.8,2.2)D (2.6,3.0)6已知偶函数y f(x) 有四个零点，则方程f(x) 0 的所有实数根之和为_ 7若奇函数 f(x) x3 bx2 cx 的三个零点 x1、x2、x3 满足 x1x2 x2x3 x1x3 2，则 b c _.8若关于 x
7、的方程3x2 5x a 0 的一个根在 ( 2,0)内，另一个根在(1,3)内，求 a 的取值范围9在一个风雨交加的夜晚，从水库闸房 A 到防洪指挥部 B 的电话线路发生了故障 这是一条长 10 km 的线路， 如果沿着线路一小段一小段的查找， 困难很多， 因为每查一个点就要爬一次线杆， 而 10 km 长的线路约有 200 根线杆！ 想一想， 维修线路的工人师傅怎样工作最为合理？10试找出一个长度为 1 的区间，在这个区间上函数x 1 至少有一个零点y 3x 211已知函数f(x) ax x 2(a>1)x 1(1)求证： f(x) 在 ( 1， )上为增函数；(2)若 a 3，求方程
8、 f(x) 0 的正根 (精确度为0.1)答案与解析31.2用二分法求方程的近似解课前预习1 B依 “ 二分法 ” 的具体步骤可知， 越大，零点的精确度越低2 B根据根的存在性原理进行判断3 0由题意 x1、 x2 是方程 ax2bx 2 009 0 的两个根，所以 x1x2 b，从而 f(x 1 x2)abb2b f( a) a( a) b( a) 0.4课堂巩固1 B因 B 不是变号零点，故应选B.2 A由于 f( 2) 3<0， f(1) 6>0，故可以取区间 2,1作为计算的初始区间，用二分法逐次计算3 B用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，其值则不能使用二分法4
9、A 中 x0 a，b且 f(x 0) 0，x0 是 f(x) 的一个零点，而不是(x0,0)， 错误； 函数 f(x) 不一定连续， 错误；方程 f(x) 0的根一定是函数f(x) 的零点， 错误；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值， 也错误x15 B在同一坐标系中作出函数y1 2， y2 log 3x 的图象，易知0<x 0<1， f(x 1)<0.1 x111 0.5116 C令 f(x) (2) x， f(1) 2 1 2<0， f(0.5) (2) 0.524>0， f(0.7) ( 12)0.7 0.7<0， f(x) 的零点在区间 (0
10、.5,0.7) 内7 0,3 f(x) 是定义在R 上的奇函数， f(0) 0， f(3) f( 3) 0.又 f(x) 在 x (0， )上是增函数， x3 是 x (0， )上的唯一零点x8.解： 证明：设函数f(x) 2 3x 6，所以 f(1) f(2)<0·.又因为 f(x) 在 R 上连续且是增函数，所以函数 f(x) 在区间 1,2 内有唯一的零点所以方程 6 3x 2x 在区间 1,2 内有唯一一个实数解设此解为 x0，则 x0 1,2 取 x1 1.5， f(1.5) 1.33>0 ，f(1) f(1·.5)<0.所以 x0(1,1.5)
11、 取 x2 1.25， f(1.25) 0.128>0， f(1) f(1·.25)<0 ，所以 x0(1,1.25) 取 x3 1.125， f(1.125) 0.44<0， f(1.125) f(1·.25)<0 ，所以 x0(1.125,1.25) 取 x4 1.187 5， f(1.187 5) 0.16<0 ，f(1.187 5) f(1·.25)<0 ，所以 x0(1.187 5,1.25) 因为 |1.25 1.187 5| 0.062 5<0.1 ，所以可取 x0 1.187 5，即方程6 3x2x 的实数
12、解的近似值可取为1.187 5.点评：用二分法求函数零点的近似值x0，要精确度为 ，即零点的近似值x0 与零点的真值 的误差不超过 ，零点近似值x0 的选取有以下方法：(1)若区间 (a， b)使 |ab|< ，则因零点值 (a， b)，所以 a(或 b)与真值 满足 |a |< 或 |b |< .所以只需取零点近似值x0 a(或 b)n bn1n， bnan bn|< .(2)在区间 an bn|<2 ，取零点近似值x02，则 |x0 |<使 |a2|a课后检测11 A由题意得两根x1x2<0，即 a<0，即 a<0.2 B设 f(x)
13、0.9x x，则它在 x( ， )上是减函数 f(0) 0.90 0 1>0，f(1) 0.9 1 0.1<0 ， 它在 (0,1)上存在零点，同时，也是唯一的零点3 A函数g(x) (x a)(x b)的两个零点是a、 b.由于y f(x) 的图象可看作是由y g(x) 的图象向上平移2 个单位而得到的，所以a< < <b.4 D令 f(x) lnx 2x6，则f(2.5) ln2.5 2× 2.5 6ln2.5 1 ln2.5e <ln1 0.又 f(4) ln4 2× 46 ln4 2>0 ，f(x) 在(0 ， )上为增函数
14、，所以方程lnx 2x 6 0 的根必定在区间(2.5,4) 内5C设 f(x) 2x x2，根据列表有f(0.2) 1.1490.04>0 ，f(0.6)>0 ，f(1.0)>0 ，f(1.4)>0 ，f(1.8)>0 ， f(2.2)<0 ， f(2.6)<0 ， f(3.0)<0 ， f(3.4)<0. 因此方程的一个根在区间(1.8，2.2)内6 0不妨设它的两个正零点分别为x1， x2.由 f( x) f(x) 可知它的两个负零点分别是x1， x2，于是 x1 x2 x1 x2 0.7 2 f(x) 是奇函数， b 0. f(x)
15、 x3 cx.令 f(x) 0，得 x10， x2 c， x3 c(c<0) 由 x1x2 x2x3 x3x1 2 得 c 2， b c 2.8 解： 设 f(x) 3x2 5x a，则 f(x) 为开口向上的抛物线(如图所示 ) f(x) 0 的两根分别在区间 ( 2,0)， (1,3)内，f( 2)>0 ，f(0)<0 ，f(1)<0 ，f(3)>0 ，3×( 2)2 5× ( 2) a>0，a<0，即35 a<0，3× 95× 3 a>0.解得 12<a<0.故所求 a 的取值范围是
16、 a| 12<a<0 9 解： 可以利用二分法的原理进行查找首先从AB 的中点 C 处开始，用随身带的话机通过向两端喊话进行测试，若AC 段正常，则断定故障在BC 段再到 BC 段中点 D，这次若发现 BD 段正常，则断定故障在CD 段再到 CD 的中点 E 去查， .这样每查一次， 就可以把待查的线路的长度缩减一半，故经过7 次查找， 即可将故障范围缩小到50 100米之间，即一两根电线杆附近x1221310 解：函数 f(x) 的定义域为 ( ，3)(3， )取区间 2，23x 2113)1>0， f() <0 ， f(132721313在区间 2，2内函数 f(x
17、) 至少有一个零点 2， 2就是符合条件的一个区间1，x2 ( 1， )，且 x1<x2，则 x2 x12x1111解：(1)证明：任取 x>0，ax>1，且 ax >0. ax2 ax1 ax1(ax2 x1 1)>0. 又 x1 1>0， x2 1>0 ，x2 2x1 23(x2 x1)x2 1 1 1)(x21)>0.x1(x1x2 2x1 2于是 f(x 2) f(x 1) ax2 ax1>0. 故函数 f(x) 在 ( 1， )上为增函数x21x1 1(2)由 (1) 知，当 a 3时， f(x) 3x x 2也在 ( 1， )上
18、为增函数，故在(0， )上x 1也单调递增因此 f(x) 0 的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根5由于 f(0) 1<0， f(1) 2>0，取 (0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.25 0.084(0.25,0.5)0.3750.322(0.25,0.375)0.31250.124由于 |0.312 5 0.25| 0.062 5<0.1 ，原方程的近似解可取为0.312 5.点评： 求函数零点的近似值时，由于所选的初始区间不同，最后得到的结果可以不同，只要它们符合所给定的精确度，就是正确的 用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，先后两端近零点