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1、优秀学习资料欢迎下载三角形“四心”向量形式的充要条件应用例题讲解(一 )将平面向量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OPOA( ABAC ) ，ABAC0,则 P 点的轨迹一定通过ABC 的（）（ A）外心（ B ）内心（ C）重心（ D）垂心解 析 ： 因 为AB 是 向 量 AB 的 单 位 向 量 设 AB 与 AC 方 向 上 的 单 位 向 量 分 别 为 e1和 e2 ， 又ABOP OA AP ，则原式可化为 AP (e1 e2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC 中， AP 平分 BAC
2、，则知选 B.(二) 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2H 是 ABC 所在平面内任一点，HA HBHBHCHCHA点 H 是 ABC 的垂心 .由HA HBHB HCHB (HCHA)0HBAC0HBAC,同理 HCAB ， HABC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）例 3.(湖南 )P 是 ABC 所在平面上一点，若PA PBPB PCPCPA ，则 P 是 ABC 的（ D）A 外心B 内心C重心D 垂心解析 :由 PAPBPBPC得 PA PBPBPC0 .即 PB (PAPC)0,即PB CA0则 PBCA,同理 PABC, PCAB所以 P
3、为 ABC 的垂心 . 故选 D.(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面内一点，GAGBGC =0点 G 是 ABC 的重心 .证明作图如右，图中GBGCGE连结 BE 和 CE，则 CE=GB ，BE=GCBGCE 为平行四边形D 是BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 .将 GBGCGE 代入 GAGBGC =0，得 GAEG = 0GAGE2GD ，故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）例 5P 是 ABC 所在平面内任一点.G 是 ABC 的重心PG1 (PAPBPC) .3优秀学习资料欢迎下载证明PGPAAGPBBGPCC
4、G3PG( AGBGCG)(PAPBPC) G 是 ABC 的重心 GAGBGC =0AGBGCG =0，即 3PGPAPBPC由此可得PG1(PA PBPC .3)（反之亦然（证略） ）例6若O 为ABC 内一点， OAOB OC 0，则O是ABC 的（）A内心B 外心C垂心D 重心解析：由 OAOBOC 0得 OBOCOA ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则O BO CO DOE1OD，OA2 OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是，由平行四边形性质知重心，选 D。2(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC 内一点， OAOBOC ，则O 是ABC 的（）
5、A 内心B 外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知O 到 ABC 的三顶点距离相等。故O 是 ABC 的外心 ，选 B。(五) 将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0， | OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，求证P 1P 2P3 是正三角形 . （数学第一册（下） ，复习参考题五B 组第 6 题）证明 由已知 OP1+OP2=- OP3，两边平方得 OP1 · OP2 =1，2同理 OP2 · OP3= OP3· OP11=，2 | P1 P2 |=| P2 P3
6、|=| P3 P1 |= 3 ，从而 P1 P2P3 是正三角形 .反之，若点 O 是正三角形 P1P2P3 的中心，则显然有 OP + OP+ OP=0 且|OP |=| OP2|=| OP |.12313即 O 是 ABC 所在平面内一点，OP1 + OP2 + OP3 =0 且 |OP1 |=| OP2 |=| OP3 |点 O 是正 P1P2P3 的中心 .例 9若 O H 分别是 ABC 的外心和垂心 .求证OH OAOB OC.、证明若 ABC 的垂心为 H ，外心为 O，如图 .连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD， CD. ADAB，CDBC .又垂心为 H， AHBC，
7、CHAB ， AH CD ，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形，优秀学习资料欢迎下载AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC.课后巩固练习1已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 ABC 的重心，动点P 满足OP =1(1 OA+1OB+2OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的（ B）322A. AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点解析：取 AB 边的中点 M，则OA OB2OM ，由 OP=1(1 OA+1 OB+2OC )可得3223 OP3OM2MC ， MP2 MC ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线
8、的一个三等分点，且点P 不过重心，3故选 B.ABC2BC2OB222AB22在同一个平面上有及一点满足关系式：O ACAOC，则为ABC 的（D）外心内心C重心D 垂心3已知 O是平面上一定点， A、 B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OPOA( ABAC) ，则 P 的轨迹一定通过 ABC的（C）外心内心C重心D 垂心4已知 ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：PAPCPAPBPBPC0 ，则 P 点为三角形的（D）外心内心C重心D 垂心222 ABCP，则 P5在三角形 ABC中，动点 P满足：CACB点轨迹一定通过ABC的：（ B ） 外心内心C重心D垂
9、心+ACAB·AC=1, 则ABC 为( )6.已知非零向量 AB 与 AC满足 ( AB) ·BC=0 且2|AB |AC |AB |AC |A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足 (ABAC) ·=0，即角 A 的平分线垂直于BC， AB=AC ，又 cos AAB AC|AB|AC|AB| |AC| A= ，所以 ABC 为等边三角形，选D 1=2 ，37.ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， OHm(OAOBOC) ，则实数 m = 18. 点 O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OA OBOB OCOC OA ，则点 O是ABC 的（ D）优秀学习资料欢迎下载（ A）三个内角的角平分线的交点（ B）三条边的垂直平分线的交点（ C）三条中线的交点（ D）三条高的交点OBOCABAC0,，则动9. 已知 O是 ABC所在平面内的一点， 动点 P 满足 OP2,AB cosBAC cosC点 P 一定过 ABC的 CA、重心B、垂心C、外心D、内心10、已知 O是 ABC所在平面内的一点， 动点 P 满足 OPOAABAC0,，则,AB cosBAC cosC动点 P 一定过 ABC的 B A、重心B、垂心C、外心D、内心