管理统计学习题解答.docx

《管理统计学习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《管理统计学习题解答.docx（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、管理统计学第7章习题解答习题7.11、随机地从一批钉子中抽取10枚，测得长度 （单位：cm）如下：2.11, 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12,2.14, 2.12, 2.13试求这批钉子长度总体均值卩及方差b 计值，并求样本方差S2 . 解：X2的矩估Xi =10 i 12.127;2 = 1 10(Xi X)10 i 10.014182Xs22、f(x)kxk 1k 1|x|<1.:f(x)dxJ ,=0.000201;1 10 一-(Xi X)2 0.014942 0.000229 i 1设总体X服从几何分布，其分布律为：P（X=k）=（ 1-p

2、）k-1p，k=1，2, ,其中P为未知参数，（X1,X2,X）是取自总体X的一 个样本，求p的矩估计.EX =k(1 P)k 1k 1p k(1 P)k 1解：f(x)1EX = pf(1 p) -,p1EX3、设总体X的概率密度为f(x) E(x),0 X0,其他.其中9 >0, (X1,X2,冯是取自总体X的一个样本，试 求未知参数9的矩估计.解：EX = xf(x)dxx)dx , =3EX,3x.30x1,其他.4、设(xM,x)是取自总体X的一个样本，求下 述各总体的概率密度函数中的未知参数9的最 大似然估计.(1). f(x)乂0,解：似然函数为n_n/2(Xi)1(0 &

3、lt; Xi <i 1L( 9 )=nf (Xi)i 11,i=1,2,n),In L()-In2n(、1)In Xii 1(0 <xi <1,i=1,2,n),令从中解得nn(I")2i 1dInL( ) n _1_d 22厂，此即为9的最大似然估计.In xi0 ,x2(2) f(x) 2 xe，x o, ''0,其他.nX2i 1解：似然函数为L( 6)=n n 2 nf(x) 2 xe x (2 )n( x)ei 1i 1(0<xi,i=1,2,n),ln L( ) nln 2nln xi 1n2Xii 1(0<Xi,i=1,2,

4、n),令nx2 0 ,i 1从中解得nn2Xi 1d ln L()d,此即为6的最大似然估计.5、设总体X服从二项分布B(m,p)，其中m已 知，p为未知参数，(X1,X2,X)是取自总体X的一 个样本求p的矩估计和最大似然估计.解：EX = mp,p=EX/p, p X 丄 nm mn i 16、设总体X服从指数分布Exp (入)，概率密度 函数为xcf(x) e，X 0, x 0.(X1,X2,Xn)是取自总体X的一个样本.求未知参数入的矩估计与最大似然估计.解：EX = 1/X ,所以入的矩估计；.再求入的最X大似然估计似然函数为L()=nnnxf(Xi)e x ne i1i 1i 1(

5、0<Xi,i=1,2,n)ln L()In(0<Xi,i=1,2,n),dlnL() d此即为B的最大似然估计.习题7.21、设(XX,)是取自总体X的一个样本，e =E(X) 为待估参数问下列点估计中哪些是e的无偏估 计？1 (Xi2X3X3 4X45X5 6X6)/62 (X2X3X3 4X45X5 6X6)/213 (XX2X3 X4 XX6)/6解：E16( 23456)¥6 6E2 丄(23456)E 32 21 33是e的无n2 In i i计.解：E(1 0 E(Xi2)n i 1E(XJ 1 0 D(Xi) E(Xi)2 E(XJn i 1所以2Xi(Xi

6、 1)是参数入2的无偏估计.偏估计.2、设随机变量XP (入)，(X*，x是取自X的 一个样本.试证2 1 Xi(Xi 1)是参数入2的无偏估3、设随机变量Xu( £, 2)，试证 x是参数0的无偏估计.解：EX= 0, E( ) E(X) EX ，所以 X是参数B 的无偏估计.4、设总体X的数学期望为卩，(X1,X2,必)是取自X 的一个样本.a1,a2,an是任意常数，验证 / aXi)/ a/ a 0)是卩的无偏估计.i 1i 1n n n n n n解：E(aiXi)/ai(aiEXi)/ai(a/a：，i 1i 1i 1i 1i 1i 1所以(aiXi)/ a是卩的无偏估计

7、.i 1i 15、设第1题中的总体X的方差Var(X)存在.问0的哪个无偏估计较为有效？解: D 2 壽(1 4 9 16 25 36) 0.21DX,D 3 畛 0.17DX, D 3 D 2 ,3 较 2 有效.6 7 7习题7.31、测试某种清漆的干燥时间，随机抽取12个样 品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，6.2，5.9，6.4设干燥时间总体服从正态分布 N（卩，异），对以 下两种情况分别求卩的95%置信区间.（1）若由以往经验知a =0.5 （小时）;若6为 未知.解：(1) X = 6.04仃，s= 0.5071

8、 ,a = 0.05,U12 .n6.04171.96 0.5 =.12(5.7588, 6.3246);t1 2(n1)Sn=6.0417t0.95(11)0.5071(5.7195,6.3639）.2、包糖机某日开工包了 10包糖，称得的重量（单 位：g）分别为505,515,520,525,510,485,490,505,500,495假设糖包重量服从正态分布，试求糖包平均重量 的95%置信区间.解：x = 505, s= 12.9099?a = 0.05, ti 2(n i)=t°.975(9)2.2622 ,X ti 2(n 1) S = 505 2.2622 12詈9 =

9、505 9.2354=( 495.765, 514.235).3、为估计一批钢索所能承受的平均张力，从其 中随机抽样做了 9次试验.由试验结果算得张力 的样本均值为6720kg/cm2,样本标准差s为220 kg/cm2.设张力服从正态分布，试求钢索所能承 受平均张力的95%置信区间.解：X = 6720, s= 220,a = 0.05, b 2(n 1)=10.975 (8)2.3060 ,X t1 2(n 1)S =( 6720 169.11) = ( 6550.89, 6889.11).4、设炮弹初速服从正态分布，随机地取 9发炮 弹做试验，得炮弹初速度样本标准差为11( m/s),

10、分别求炮弹初速度的方差a 2和标准差a的90% 置信区间.解：a 2的置信区间(n 1)S2 (n 1)S2 8 112 8 112 12 从n 1) , (n 1)15.507, 2.733=(62.42, 354.19);（T的置信区间(n 1)S2i2 /2(n 1)(n2/21)S (n21) = ( 7.90,18.82) 5、对某农作物两个品种 A,B计算了 8个地区的 亩产量（单位：kg）如下：品种 A 430，435, 280，465, 420，465， 375， 395品种 B 400，395, 290，455, 385,410， 380, 330假定两个品种的亩产量分别服从

11、正态分布N（卩1（T 2）和N（卩2, 2）,试求两个品种平均亩产量之 差卩1- U 2的95%置信区间.解：置信区间 X Y t1 ,，2（n1 n2 2）s J丄丄,X =Y小n2408.125, Y = 380.625, S1 = 60.3524, S2= 50.3869,t1 2( n n2 2) = to.975 ( 14)= 2.1448, (n1 1)S2 1)S2Swn-in2 2=SW 7 3642.412 7 2538.83973090.62595 ,14Y t1 ,2(n1 n2 2)S J丄丄丫 n1 n227.5 2.1448X 55.5934X 0.5 =( -32

12、.12 ,87.12) 6、随机地从甲批导线中抽取 4根，从乙批导线 中抽取5根，测得其电阻（单位:Q ）分别为甲批导线:0.142, 0.143, 0.137, 0.143 乙批导线:0.138, 0.140, 0.136, 0.140,0.142设两批导线电阻分别服从 (T 2),并且它们相互独立, 信区间解：置信区间X Y20N(卩 1, d2)和 N(卩 2, 试求卩1-卩2的95%置n2 2)s J丄丄,X = 0.14125, Y = 0.1392, S1 = 0.002872, S2 =0.002280,t1 ,；2(口1 n2 2) = t0.975 (7)= 2.3646,2

13、 2s 5 1)S 眦 1)S2 = 3 °.000008 4 o.。00005 0.000006 ,q n227x Y t1 ,2g n2 2)s J丄丄=0.00205 0.0039=( Y n1 n20.002, 0.006)7、两台机床加工同一种零件，从中分别随机抽 取6个和9个零件，测量其长度，并计算出 两个样本的方差分别为S12=0.245(mm)2, S22=0.357(mm)2.假定各台机床所加工的零件长 度总体都服从正态分布.试求两个总体方差之比(T12/ d 22的置信水平为95%的置信区间.解：置信区间s2 / s2s2/s；Fl /2（n 1小21）'

14、F/2（n 1,n21）0.245/0.357 0.245/0.357F 0.975 （5,8）F 0.025 （5,8）0.245/0.357 0.245/0.35742，1/6.76（0.142,4.639),&有两位化验员甲、乙，他们独立地对某种聚 合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值的样本方差依次为 0.5419和0.6065, 设甲、乙测得的数据总体分别服从方差依次为b12和b 22的正态分布，试求b 12/ b 22的置信水平为95%的置信区间.解：置信区间s2/s2si/s；F1 /2（ n 1小2 1）'F/2（n 1,n 1）0.5419/0.6

15、065 0.5419/0.60650.5419/0.6065 0.5419/0.6065_F°.975（9,9） ' F°.025（9,9）4.03，1/4.03（0.222, 3.601）9、设某种电器零件的电阻（单位：Q）服从正态 分布N（卩,b2）.从这种零件中随机抽取15只， 测得电阻为：3.0 , 2.7 , 2.9 , 2.8 , 3.1 , 2.6 , 2.5 , 2.8 ,2.4 , 2.9 , 2.7 , 2.6 , 3.2 , 3.0 , 2.8.试求：（1）电阻均值卩的95%单侧置信下限；S0.22360.2236解牛：X t1 （n）2.8

16、t0.95（14） 152.8-1.7613X15-=2.698.电阻方差” 2的95%单侧置信上限.解:(n 1)S2 = 14 0.22362 = 14 0.22362 = 0 10652/2(n 1)0.05 (14)6571''10、试求第6题中，卩1- U 2的置信水平为95% 的单侧置信下限.解：X Y h m n2 2)s I .x = 0.14125, Y =v n1 门2?0.1392,t1 g n2 2) = t0.95 (7) = 1.8946, S J0.000006 0.00245 ,X Y t1 g n2 2)S / = -0.001u n1 n2复

17、习题七1、总体X服从区间(0,b)上的均匀分布，(1.3,0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 1.1)是来自总体的一组样 本值，试用矩法估计总体均值，总体方差及参 数b.5解：EX X = 1.2, DX S2 1 (Xi X)2 = 0.407, EX -,6 i 12b 2X = 2.4.2、设总体X服从r分布，其概率密度为1 xcx e , x 0 f(x) ()0,x 0,(Xi,X2, ,%)是取自总体X的一个样本，试求a及入 的矩估计.角军：E(X)x e Xdx = 1 ( x) e xd( x) = (o ()() o()r 占，dx=ex 2E(X2)41x 1e xd(

18、 x)()(EX)2EX2DXEXDX(EX)2DXX1 (Xi X)2 n i iX-(Xi X)2n i i3、设总体X服从几何分布，其分布律为：P(X=k)=( 1-p)k-1p，k=1，2,其中p为未知参数，(X1,X2,X)是取自总体X的一 个样本，求p的最大似然估计n/力nnx n解：L(p)=P(Xi Xi)p(1 p)x 1 pn(1 p)i1对数似然函数为：in L( p) nin p ( x n)1 n(1 p)i 11nJ =0,解得:1 pi 1i 1din L(p)dp0 上的均匀分布，n对p求导并令其为0：n 1p 丁X xi 1设总体X服从区间0,4、(X1,X2

19、,X)是取自总体X的一个样本，求未知参 数9的最大似然估计.1解:f(x) -, 0 x ;0, 其它。L( 9 )=1 1n, 0 X ,i 1,2,n; , max%)；f (x)i 10,其它。0, 其它。L( 9 )在(-x, max(Xi)恒为 0,在(max(xj , +8)单调递减，所以L( 9 ) 在9 = max (xj处取到最大值，最大似然估计为max(Xi).|x|5、 设总体X的概率密度为f(x； ) *，(XX,必)是取自总体X的一个样本求未知参数9的最大似然估计解：L( 9 )=f(xj1 nn 1匹1_ 必1e re i1i 1 2(2)对数似然函数为:1 nln

20、L( ) nln(2 ) |Xi| ,i 1对9求导并令其为0：芈g厶打和0di 1即为9的最大似然估计.从中解得1 nXi | ni 16、设是参数9的无偏估计，且有 Var( )>0,试证2 ()2不是B 2的无偏估计.解：E( )2 Var ( ) +E ( ) 2= Var ( ) +02>02,所以不是0 2的无偏估计.22>2(m 1)S2 (n 1)S；7、设(Xl,X2,与(丫1,丫2,Yn)分别是来自正态总体 N(卩1, a 2)和Ng 2, b2)的样本，s2分别是这两 个样本的样本方差验证统计量sW ( 一 2 :m n 2是b 2的无偏估计.m n 2

21、2 2(m 1) (n 1)m n 2a 2,所以是/ 2的无偏估解: E谪(n 1)S； (m 1)ES2 (n 1)ES；计.(入)，其概率xf(x; ) e , x0 x8设总体X服从指数分布Exp 密度为0,0.(X1,X2,Xn)是取自总体X的一个样本.(1)试证：x和 nZ=nmin(X i,X2，,Xn)都是参 数丄的无偏估计；(2)求X与 nZ=nmin(X 1/2，,Xn)的方差，判 断这两个无偏估计中何者较有效.解：(1) E ( x) = E (Xi)=丄Z的分布函数为：Fn (Z) = 1-1-Fx (Z) n,概 率密度为 fN (Z) = n1-Fx (Z) n-1

22、fx (Z),Fx(x)1 e，x0 x0, ,fx (x ) =f(x； )：X，X 0, fN (Z)0. ' /0 x 0.'丿n e n z, z 0,0 z 0.EZ= zfN (z)dzn zzn e0dz=，E( nZ)=-所以x和nZ=nmin(X 1/2，,Xn)都是参数 丄的无偏估计.(2) Var ( x)=二；Var (Z) = E(Z2) -( 0 /n) 2.nE (Z2)=c 222z2n enzdz=,Var (nZ) = n DZ=0 . Var 0 n(x ) < Var (nZ ) , x 较有效.9、设从均值为卩，方差为c 2>

23、;0的总体中，分 别抽取容量为n1,n 2的两个独立样本，X1和元分 别是这两个样本的样本均值，试证，对于任意常 数a,b(a+b=1), 丫 ax； bX；都是卩的无偏估计.并 确定常数a,b,使Var(Y)达到最小.解：EY aE(x1) b(x；) a b 所以丫是卩的无偏估 计.Var(Y) = a2 a 2/n 1+b2 a 2/n 2,用拉格朗日乘数法， 求a2 a 7n 1+b2 a 2/n 2在条件a+b=1下的最小值.构造函数 F= a2 a 7n 1+b2 a 7n 2+ 入(a+b-1),2aan-i2bb n20a，解之得0bqnjn2n2nin210、某工厂生产滚珠，

24、从某日生产的产品中随机 抽取9个，测得直径(mm如下：14.6, 14.7 , 15.1 , 14.9 , 14.8 ,15.0 , 15.1 , 15.2 , 14.8(1) 求该日生产的滚珠其直径均值的矩估计；(2) 如果滚珠直径服从正态分布 N(卩,a2)，且 标准差a =0.15mm求直径均值卩的95%置信区 间.解: (1)直径均值的矩估计为X = (14.6+14.8)/9= 14.911； X U1 0.05/2 石 14.911 1.96詈=(14.813,15.009)11、测得一批钢件20个样品的屈服点(单位:1000kg/cm2)为:4.98 , 5.11 , 5.20

25、, 5.20 , 5.11 , 5.00 ,5.61 , 4.88 , 5.27 , 5.38 ,5.46 , 5.27 , 5.23 , 4.96 , 5.35 , 5.15 ,5.35 , 4.77 , 5.38 , 5.54.设屈服点总体服从正态分布N( u 2(n 1)0.05(19)10.117)，求U和/的95%置信区间及/ 2的单侧置信上限.解：卩的置信区间X2(n 1)话，X = 5.21, S =0.220263, ti 2(n i)= ti 0.052(19)= 2.0930,卩的置信区 间为 5.21 2.0930 a22；63 =( 5.1069, 5.3131).(T的置信区间19 0.220263"32.8522(n 1)S2(n 1)S12 訓 1门 (n 1)19 0.220263"V 8.907=(0.1675, 0.3217),及/ 2的单侧置信上限(n 1)S2 =190.2202632=0.92180.0911