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1、专业.专注圆锥曲线双曲线主要知识点1、双曲线的定义：定义：(2) 数学符号：(3) 应注意问题：2、双曲线的标准方程图像标准方程不同点相同点注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程性质焦占八'、八、焦距范围顶点实轴虚轴对称性离心率渐近线(2)双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用注意：(1)如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？学习参考(3)当a b时，双曲线有什么特点？4. 双曲线的方程的求法(1) 双曲线的方程与双曲线渐近线的关系已知双曲线段的标准方2 y b2(a 0,b0)(或2 2务 1(
2、a 0,b 0)b a 已知渐近线方程为 bx ay 0 ,则双曲线的方程可表示为 (2) 待定系数法求双曲线的方程2 2x y与双曲线 1有共同渐近线的双曲线的方程可表示为 a bb 若双曲线的渐近线方程是y -x ,则双曲线的方程可表示为 ；_a2 2x y 与双曲线 笃 1共焦点的双曲线方程可表示为 a b 过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 2 2x y 与椭圆 空1 (a b 0)有共同焦点的双曲线的方程可表示为a b5. 双曲线离心率的有关问题c(1) e , e 1 ,它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大。a(2) 等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e ,2。(3) 双
3、曲线离心率及其范围的求法。 双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。 双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a .与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；b.通过判别式；c.利用点在曲线内部形成的不等式关系；d .利用解析式的结构特点。6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算(1) 直线与双曲线的位置关系有： 注意:如何来判断位置关系？(2) 若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB, A、B两点分别为A(X1, y1)、B(X2,y2),则相交弦长 AB 二、典型例题：考点一：双曲线的定义例1 已知动圆 M与圆C1： (x+4)2+y2=2外切，与圆C2:
4、 (x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心 M的轨迹方程变式训练：成厶PF1F2,2 2由双曲线 L Z=1上的一点P与左、右两焦点Fi、F2构94求厶PF1F2的内切圆与边Fi F2的切点坐标.巩固训练:（1）. Fi、F2是双曲线2x162y-=i20的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点Fi的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.过双曲线x2-y 2=8的左焦点Fi有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则 PF2Q的周长是.2 2 2 2（3）.动圆与两定圆x y i和x y 8x i2 0都外切，则动圆圆心轨迹为A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线考点二：双曲线
5、的方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.2 2（i）与双曲线 =i有共同的渐近线，且过点（-3，2 3）；9 i622_（2）与双曲线缶y=i有公共焦点，且过点（3 2，2）变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y=0,（i）若双曲线经过P（ - 6，2），求双曲线方程；(2)若双曲线的焦距是 2 J3 ,求双曲线方程;(3) 若双曲线顶点间的距离是 6 ,求双曲线方程2 2巩固训练：(i)求与椭圆 1共焦点且过点(3一的双曲线的方程；255(2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5: 4，求双曲线的标准方程;(3) 已知双曲线的离心率 e 2
6、，经过点M( 5, 3)，求双曲线的方程；2与双曲线X2 L 1有共同渐近线，且过点(2,2)的双曲线方程4-x，若顶点到渐近线32 2已知双曲线 X2 每 1 (a>0,b>0)的两条渐近线方程为ya b的距离为1，则双曲线方程为 1表示双曲线，则m的取值范围是 经过两点A( 7, 6J2), B(2J7,3)的双曲线的标准方程为 考点三：双曲线的几何性质2 2例3 双曲线C:筈 与=1 (a> 0,b > 0)的右顶点为A , x轴上有一点 Q (2a, 0),若Ca b上存在一点P,使AP PQ =0 ,求此双曲线离心率的取值范围变式训练：已知双曲线的中心在原点，
7、焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率为.2 ,且过点P（4，- J0）.（ 1）求双曲线方程；（2）若点M （ 3，m）在双曲线上，求证：MF1 MF2 =0 ；（ 3）求厶 F1MF2 的面积.60。的直线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的离心率是A.1B. 2C.3D.42x已知双曲线一2a、的两条渐近线的夹角为-，则双曲线的离心率为：巩固训练:2 2xy（1）已知双曲线 21（a>0,b>0）的右焦点为 F,若过点F且倾斜角为abA.2厂症疝B/ 3C.D.'勺33设双曲线的-个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率
8、为 .2 2x y双曲线2 1(a0,b 0)的一个焦点为R4, 0),过双曲线的右顶点作垂直于x轴的a b垂线交双曲线的渐近线于A，B两点，O为为坐标原点，则厶AOB面积的最大值为：A.8B.16C.20D. 24考点四：双曲线的离心率2 2例1、已知Fi、F2分别是双曲线2 笃 1(a 0, b 0)的左、右焦点，过Fi作垂直于Xa b轴的直线与双曲线交于 A、B两点，若厶AF2B是直角三角形，求双曲线的离心率。变式训练：1、 若厶AF2B是等边三角形，则双曲线的离心率为 。_2、若厶AF2B是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 3、若厶AF2B是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范
9、围为 巩固训练:x2y21、已知F1、F2分别是双曲线22 1(a 0,b 0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为a b60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。2、已知F1、F2分别是双曲线22xy221(a0,b 0)的左、右焦点，过F2作垂直于渐近a b线的直线与双曲线的两支都相交,求双曲线的离心率的取值范围。2 23、直线y kx 1与双曲线x y 4没有公共点，则k的取值范围为 两个公共点，则k的取值范围为 一个公共点，则k的取值范围为 左支有两个公共点，则k的取值范围为例、设Fi和F2为双曲线2x16考点五：双曲线中的焦点三角形2 1的两个焦点，P是双曲线上
10、一点，已知/FiPF2=60°求9 F1PF2的面积变式训练：设Fi和F2为双曲线2x16i的两个焦点，p是双曲线上一点已知I PFi II PF2 I =32,求/F1PF2的余弦值与三角形 F1PF2面积巩固训练:2 2X y1.双曲线1左焦点Fi的弦AB长为6 ,则厶ABF2 （ F?为右焦点）的周长是1692、已知定点A, B ,且AB6，动点P满足PA PB 4，贝U PA的最小值是2x3、设F1和F2为双曲线y2 1的两个焦点，P为双曲线上一点，若ZF1PF2=90°,则三4角形F1 PF2面积是4、设F1和F2为双曲线匚 匸1的两个焦点，P是双曲线上一点，已知
11、ZF1PF2=60O则P169点到F1和F2两点的距离之和为5、已知双曲线C2x2a2笃 1 (a>0,b>0 )的两个焦点为 Fi(-2,0) ,F2(2,0),点 P ( 3， ： 7 ) b在双曲线C 上 (1)求双曲线C的方程(2)记0在坐标原点，过Q (0 , 2)的直线L与双曲线C相交于不同的两点 E,F,若厶OEF的面积2 /2，求直线L的方程考点六：直线和双曲线的位置关系2 2例4.已知曲线笃爲 1(a0,b0)的离心率ea b空3，直线 I 过 A(a, 0)、B(0,3b)两点，原点O到I的距离是(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于 M、N两点，
12、若OM ON 23，求直线m的方程。变式训练直线l : y kx 1与双曲线C : 2x2 y21的右支交于不同的两点A、 B.(I)求实数k的取值范围；(n)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.2 2巩固训练：1、已知双曲线x 2y 2的左、右两个焦点为F1, F2,动点P满足尸斤|+|PF2 |=4.求动点P的轨迹E的方程；设过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：终段OF?上是否存在一点D ,使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形作出判断并证明.2、已知双曲线C:2 2X-丄=1(0Vv 1)的右焦点为B,过点B作直线交双曲线 C的右支于M、N两点，试确定的范围，使OM ON =0，其中点O为坐标原点3、已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fi(-3,0), 条渐近线的方程是、.5 x-2y=0.(1) 求双曲线C的方程；(2) 若以k(k丸)为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点 M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81 ,求k的取值范围.2