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1、双曲线的定义及标准方程一、教材分析1、 教材的地位与作用本内容选自人教 A 版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1，新课程在必修学完直线与圆后， 把圆锥曲线放在了选修内容里，体现了新课程对知识掌握是螺旋式上升的要求， 也体现了圆锥曲线的重要性。双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为第二种圆锥曲线来学习是教材一贯的传统安排本节内容的学习前有椭圆的铺垫引领，后有抛物线的巩固加强，在整个圆锥曲线的学习中占据承前启后的重要地位.它是学好圆锥曲线的关键之一， 能让学生进一步掌握求曲线方程的方法，并对后面由方程讨论曲线性质，从而借助形和数的对应关系，形数互化来讨论
2、问题产生积极的影响.这也是深化解析几何的基本思想和方法，从而提升学生分析问题、解决问题的能力.2、学生状况分析学生经过解析几何的较系统学习，已初步掌握解析法和具备解析研究能力，并学习了椭圆的相关知识，基本掌握了椭圆的相关问题及研究方法.本节在在数学思想和方法上没有新内容，知识的正迁移作用可以在本节课中凸现学生对解决双曲线一般问题已具备一定的基础. 另外，学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。根据以上对教材和学生的分析， 考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。3、 教学目标（ 1） 知识与技能： 掌握双曲线定义、相关
3、概念及标准方程，能根据简单条件写出双曲线的标准方程 .（ 2） 过程与方法： 经历双曲线轨迹的探索过程并与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生观察、类比、分析、运算、推理、归纳和探索等能力提高学生进一步运用坐标法解决几何问题的能力.通过求双曲线方程（ 3） 情感态度与价值观： 在类比探究、师生互动过程中激发学生的求知欲，培养学生积极参与、相互交流的主体意识，养成学生敏锐发现问题并按规律及时解决问题的严谨治学态度 .4、教学重点、难点重点 ：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点： 双曲线标准方程的推导。二、 教学方法与教学手段1、教学方法新课程标准的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮
4、助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我采用了问题教学法、启发发现法， 注重 “引、思、探、练 ”的结合 .在概念的建立上，让学生观察拉链实验，使学生直观地感受知识并激发他们的学习兴趣，很好地突破难点，提高教学效率，充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学理念 .2、教学手段采用多媒体辅助教学。幻灯机与几何画板的交替使用。3、教学流程图：复习旧知，自然引出研究问题动画类比、知识迁移，获得双曲线定义定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比通过例题和练习，巩固知识，加深对
5、双曲线的认识三、教学过程一、创设情景，导入新课得出双曲线的定义提问： 椭圆的第一定义是什么？把其中的和改成差它的图像应该是怎样的？打开几何画板， 先画椭圆的图像， 再把和改成差， 画出图像。 告诉学生这就是双曲线的图像。双曲线的定义其实就是动点所满足的关系， 那么双曲线的定义是什么？也就是动点所满足的关系是什么？这个问题可让学生进行探究。解决这个问题有两个难点：一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而忽视了距离差为负值的情况，这样实质上只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我采取启发引导，把 P 从一支移到另
6、一支， 然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到自己缺少一种情况， 动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，学生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。二、引导探究，获得新知双曲线定义深入理
7、解和标准方程的推导。1、与椭圆定义的对比反复强调与椭圆定义的对比与联系2、定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响带领学生用几何画板对绝对值大于常数，小于常数，常数为 0 等情况进行探究，得出相关的结论。虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题，但双曲线较为复杂，比如：增加了“绝对值”等等。学生要独立完成会较为困难，所以采取合作探究。这个过程既可以加深学生对定义的理解，又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高，从而培养学生的表达能力和协作能力。然后用练习来巩固相关的结论的掌握。请说出下列方程对应曲线的名称：(1)F 1 (5,0), F2 (5,0), | PF1 |
8、 PF2|6(双曲线 )( 2)F 1 (5,0), F2 (5,0), | PF1 | PF2|6( 双曲线右支 )（3） |(x5)2y2( x5)2y2 | 6（双曲线）（ 4）( x4) 2y 2( x4) 2y 26 （双曲线右支）（ 5）( x4)2y2( x4) 2y225（椭圆）（ 6）x2( y4) 2x2( y4) 28 （以（ 0， 4）为端点，沿着y 轴正向的一条线）（片）3、标准方程的推导这是本节课的难点，我让学生先回顾椭圆标准方程的推导，然后类比椭圆标准方程的推导过程再推导双曲线的标准方程，在推导过程 中再由学生类比椭圆讨论怎样换元。最后类比椭圆由学生说出焦点在 y
9、 轴上的标准方程。这样设置的目的是考虑到由定义求方程，就是求轨迹方程的问题，并且双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似，学生有能力独立完成。但在由于化简根式时运算量较大，处理起来很可能出现一些运算错误。另外，变形时绝大多数学生会想到先移项再平方，少部分学生会直接平方。若直接平方，就会出现4 次方，较为复杂。如果在实际教学中，有学生提出这种做法，我会让然后让大家参与分析讨论，看看哪种做法更为简便。以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。整个这个推导过程，不仅提高了学生的变形能力、运算能力，而且也提高学生的分析问题和解决问题的能力。4、方程的对比。双曲线两种标准方程的对比及怎样区分；双曲
10、线与椭圆标准方程的对比； a，b， c 三者关系的对比。之后，我又准备了这样一组题：请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a、 b 、 c 的值：x 2y2x 2y2y2x 2x 2y21 （片）(1)41(2)41(3)1(4)949994可以检测学生对四个方程的掌握程度。学生处理时，前三题起来会比较顺利，第4 题很可能出现问题。因为需变成标准形式之后再判断焦点位置及a、 b、 c 的值。三、知识的应用双曲线的定义及标准方程的应用例 1、已知双曲线焦点的坐标为F1(5,0), F (5,0)，双曲线上一点P 到 F1，F2的距离的差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程。这道题难度不大，可直接利
11、用定义求标准方程。也可以按求轨迹方程的方法求标准方程，学生不会出现太大问题。但是要向学生指明，如果某种轨迹适合某种曲线的定义，就不必再用列方程求解，只要利用定义求出常规待定函数即可。例 2、已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P1， P2 的坐标为 （3， 42），（ 9，5）4求双曲线的标准方程。 （片）这道题可采用待定系数法求标准方程。本题中双曲线焦点在y 轴上，学生在求解过程中很可能会忽视这个条件，易将方程设成焦点在x 轴的。教师可及时加以强调，让学生注意审题，以培养学生紧密的思维和严谨的学习态度。设置两道题是考虑到他们都来源于教材，紧紧围绕双曲线的定义和标准方程，题目典型而且也
12、有梯度，可使学生初步掌握定义及标准方程的应用。练习 3：写出适合下列条件的双曲线的方程。1、 a=4,b=3, 焦点在 x 轴上；2、焦点为（ 0，6），（ 0， -6 ），过点（ 2 ， 5 ）四、知识小结1、知识总结：（ 1）双曲线的定义（与椭圆的区别）（ 2）标准方程（两种形式）（ 3）焦点位置的判断（与椭圆的区别）（ 4） a 、 b、 c 的关系（与椭圆的区别）在课的尾声，我让学生对本节课进行了总结。目的是帮助他们认清这节课的知识结构，培养他们的归纳总结能力。2、作业（ 1）、让学生填好下表：定义图形标准方程焦点坐标|MF 1|-|MF 2|=|F1F2|=2a<2ca,b,c的关系（2）、 作业： P481，2P541培养学生自我提高、自我发展的能力。五、板书设计标题 : 双曲线的定义和标准方程幻灯区一演示实验例 1二定义及剖析例 2三标准方程及剖析小结与作业