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1、第一章集合与函数概念综合素能检测及答案本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分。满分150 分。考试时间120 分钟。第卷(选择题共 60分 )一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1已知集合 A 0,1,2,3,4,5 ， B 1,3,6,9 ，C 3,7,8 ，则 (A B) C 等于 ()A 0,1,2,6,8B 3,7,8C1,3,7,8D 1,3,6,7,8答案 C解析 A B 1,3 ， (A B) C 1,3,7,8 ，故选 C.2 (09 ·陕西文 )定义在R 上的偶函数
2、 f(x)满足：对任意的x1， x2 0， )(x1 x2)，有f(x2) f(x1)<0，则 ()x2 x1A f(3)< f( 2)< f(1)B f(1)< f( 2)< f(3)Cf( 2)<f(1)< f(3)D f(3)< f(1)< f(2)答案 A解析 若 x2 x1>0，则 f(x2) f(x1)<0 ，即 f(x2)<f(x1 )， f(x) 在0 ， )上是减函数， 3>2>1， f(3)< f(2)< f(1) ，又 f(x)是偶函数， f( 2)f(2)， f(3)<
3、 f( 2)< f(1) ，故选 A.3 已知 f(x)， g(x)对应值如表 .x 011f(x)10 1x01 1g( x) 101则 f(g(1) 的值为 ()A1B 0C1D不存在答案 C解析 g(1) 0， f(0) 1， f(g(1) 1.4 已知函数 f(x 1) 3x2，则 f(x)的解析式是 ()A 3x 2B 3x 1C3x 1D 3x4答案 C解析 设 x1 t，则 x t 1， f(t) 3(t 1) 2 3t 1， f( x) 3x1.2x 1(x 2)5 已知 f(x)，则 f( 1) f(4) 的值为 () x2 3x (x<2)A7B 3C 8D 4
4、答案 B解析 f(4) 2× 4 1 7， f( 1) ( 1)2 3× ( 1) 4 ， f(4) f( 1) 3，故选B.6 f(x) x2 mx 在 (， 1上是增函数，则m 的取值范围是 ()A 2B (， 2C2， )D (， 1答案 C2m 1， m 2，故选 C.解析 f(x) (xm 2m的增区间为 ( ，m2 )42 ，由条件知27 定义集合A、 B 的运算 A* B x|x A，或 x B，且 x?AB ，则 (A* B)* A 等于 ()A ABB ABCAD B答案 D解析 A* B 的本质就是集合A 与 B 的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组
5、成的集合因此 (A* B)* A 是图中阴影部分与A 的并集，除去 A 中阴影部分后剩余部分即B，故选 D.点评 可取特殊集合求解如取 A 1,2,3 ， B 1,5 ，则 A*B 2,3,5 ， (A* B)* A 1,5 B.8 (广东梅县东山中学2009 2010 高一期末 )定义两种运算： aba2 b2， a?b(a b)2，则函数 f(x)为 ()A 奇函数B 偶函数C奇函数且为偶函数D 非奇函数且非偶函数答案A解析 由运算与 ?的定义知，4 x2f( x)，2(x2) 2 4 x20， 2 x 2，4 x24 x2 f(x) ，(2 x) 2x f(x) 的定义域为 x| 2 x
6、<0 或 0<x2 ，又 f( x) f(x)， f(x)为奇函数x2，x 0，9 (08 ·天津文 )已知函数 f(x) x 2，则不等式 f(x) x2 的解集为 ()x>0，A 1,1B 2,2C2,1D 1,2答案A解析 解法 1：当 x 2 时， f(x) 0， f(x) x2 不成立，排除B、 D；当 x 2 时， f(x)0，也不满足f(x) x2，排除 C，故选 A.解法 2：不等式化为x 0x>0x 2x2 或 x 2 x2 ，解之得， 1 x 0 或 0< x 1，即 1 x 1.10调查了某校高一一班的50 名学生参加课外活动小组的
7、情况，有 32 人参加了数学兴趣小组，有 27 人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是 ()A最多 32人B最多 13 人C最少 27 人D最少 9 人答案 D解析 27 32 50 9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9 人1， f(x 2) f(x) f(2) ，则 f(5) ()11 设函数 f(x)(x R)为奇函数， f(1) 2A 0B 15D 5C.2答案 C11解析 f(1) f( 1 2) f( 1) f(2) 2，又 f( 1) f(1)2， f(2) 1， f(5) f(3) f(2) f(1)52f(2)
8、 .2g(x)，若 f(x) g(x)，12已知 f(x)3 2|x|，g( x) x2 2x，F(x)则 F(x)的最值是 ()f(x)，若 f(x)<g(x).A 最大值为3，最小值 1B 最大值为7 27，无最小值C最大值为3，无最小值D 既无最大值，又无最小值答案B解析 作出 F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选 B.第 卷 (非选择题共 90分 )二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4分，共16 分，把正确答案填在题中横线上)13 (2010 江·苏， 1)设集合 A 1,1,3 ， B a 2， a2 4 ， A B 3
9、，则实数a_.答案 1解析 A B3 ， 3 B， a2 44， a2 3， a 1.2(n 1)，则 f(3) _.14 已知函数 y f(n)满足 f(n)(n 2)3f(n 1)答案 18解析 由条件知， f(1) 2， f(2) 3f(1) 6， f(3) 3f(2) 18.15 已知函数 f(x) 2 ax (a 0)在区间 0,1 上是减函数，则实数a 的取值范围是_答案 (0,2解析 a<0 时， f(x)在定义域上是增函数，不合题意， a>0.2由 2ax 0 得， x a，2 f(x) 在( ， a 上是减函数，2由条件 a 1， 0<a 2.16国家规定个
10、人稿费的纳税办法是：不超过 800 元的不纳税； 超过 800 元而不超过4000元的按超过800 元的14%纳税；超过4000 元的按全部稿酬的11% 纳税某人出版了一本书，共纳税 420 元，则这个人的稿费为 _答案 3800 元解析 由于 4000× 11% 440>420，设稿费x 元， x<4000 ，则 (x 800)× 14% 420， x 3800(元 )三、解答题 (本大题共6 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17( 本题满分 12 分 )设集合 A x|a x a3 ，集合 B x|x< 1 或 x>5
11、 ，分别就下列条件求实数a 的取值范围：(1)A B ?， (2)A B A.解析 (1)因为 A B?，所以 a< 1 或 a 3>5 ，即 a< 1 或 a>2.(2)因为 AB A，所以 A? B，所以 a>5 或 a 3< 1，即 a>5 或 a< 4.18 (本题满分12 分 ) 二次函数 f(x)的最小值为1，且 f(0) f(2) 3.(1)求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)在区间 2a， a 1上不单调，求a 的取值范围解析 (1) f(x)为二次函数且f(0) f(2) ， 对称轴为x 1.又 f(x)最小值为1， 可设
12、f(x) a(x 1)2 1(a>0) f(0) 3， a2， f(x)2(x1) 21，即 f(x)2x2 4x 3.1(2)由条件知2a<1< a 1， 0<a<2.19 (本题满分12 分) 图中给出了奇函数f( x)的局部图象，已知f(x)的定义域为 5,5 ，试补全其图象，并比较f(1)与 f(3)的大小解析 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图显见f(3)> f(1)20(本题满分 12 分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm 与 60cm 现将它剪成一个矩形， 并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料
13、最少？解析 如图，剪出的矩形为CDEF ，设 CD x， CFy，则 AF 40 y. AFE ACB. AFAC FEBC即 40 60x40y2 y 40 3x.剩下的残料面积为：12222S 2× 60× 40 x·y3x 40x 1 2003(x 30) 600 0<x<60 当 x30 时， S取最小值为600，这时 y 20. 在边长 60cm 的直角边 CB 上截 CD30cm，在边长为 40cm 的直角边 AC 上截 CF 20cm时，能使所剩残料最少21 (本题满分12 分 )a(1)若 a<0 ，讨论函数f(x) x x，在其
14、定义域上的单调性；a(2)若 a>0 ，判断并证明f(x) x x在(0 ，a 上的单调性a在 ( ， 0)和 (0， ) 上都是增函数，解析 (1) a<0， y xa又 yx 为增函数， f(x) x x在 ( ， 0)和(0 ， )上都是增函数a(2)f(x) x x在(0 ，a上单调减，设 0< x1<x2 a，则 f(x1) f(x2) (x1 a ) (x2 a) (x1 x2)a(x2 x1)x1 x2x1x2a (x1 x2)(1 x1x2)>0， f(x1 )>f(x2)， f(x)在 (0， a 上单调减22 (本题满分14 分 ) 设函数 f(x) |x a|， g(x) ax.(1)当 a 2 时，解关于x 的不等式f(x)<g(x)(2)记 F(x) f( x) g(x)，求函数F(x)在 (0， a上的最小值 ( a>0) 解析 (1)|x 2|<2x，则x 2，x<2，或x2<2x.2 x<2x. x 2 或 2<x<2. 即 x>2.33(2)F(x)|x a| ax， 0<x a， F(x) (a 1)x a. (a 1)<0 ， 函数 F(x)在 (0， a 上是单调减函数， 当 xa 时，函数 F(x)取得最小值为 a2.