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1、微专题3不等式与线性规划命题者说考题统计考情点击2018全国卷I T13线性规划求 最值2018全国卷H T14线性规划求 最值2018北京高考Ts线性规划区 域问题2018浙江高考T15不等式的解 法2017全国卷I T14线性规划求 最值1.不等式作为咼考命题热 点内容之一，多年来命题较稳 定，多以选择、填空题的形式进 行考查，题目多出现在第 59 或第1315题的位置上，难度 中等，直接考查时主要是简单的 线性规划问题，关于不等式性质 的应用、不等式的解法以及基本 不等式的应用，主要体现在其工 具作用上。2.若不等式与函数、导数、数列 等其他知识交汇综合命题，难度 较大。琴向例析盼福nt
2、錚徂園囲觀闕國昭考向调硏闕丽賤删罔如 考向一 不等式的性质与解法【例1】(1)已知a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()11 11A. a + I>b+B. a + ；>b + 匚b aa b_ a+ bCa>a+D.->ab(2)已知函数f (x) = (ax- 1)(x+ b)，若不等式f (x)>0的解集是(-1,3)，则不等式f (-2x)<0的解集是()3、u1 ,)A.OO-一 2丿+O2,十丿B.32,2.'C.oo5-u _2 r ，十丿D.1r 2,3、21 i解析(1)因为a>b>0，所以a<=0,
3、则2a+ 8b的最小值为oa2+ b2(2)已知a>b，且ab= 1，则的最小值是。a b1解析(1)由 a 3b+ 6 = 0,得 a= 3b 6,所以 2a+ 活=23b，根据不等式的性质可得a1ii11+ >b+ -，故 A 正确；对于 B，取 a= 1, b=；，贝U a + -= 1 +b a2a 111511=2, b+ b= 2+ 2= 2，故a+ a>b + b不成立，故B错误；根据不等式的性质可得b<b+1，故C错误；取a= 2, b= 1，可知D错a a+ 1误。故选A。(2)由f (x)>0的解集是(一1,3)，所以a<0，且方程f (
4、x) = (ax 、 、亠-1，、1)(x+ b) = 0的两根为一 1和3,所以< a所以a= 1,-b= 3,b= 3,所以 f (x)= x2 + 2x+ 3,所以 f (一 2x) = 4x2 4x+ 3,13由4x2 4x+ 3<0,得 4x2+ 4x 3>0,解得 x>或 x< ?。故选 A。答案(1)A(2)A解不等式的策略(1) 一元二次不等式：先化为一般形式ax2 + bx+ c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式 的解集。(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将 其转化为整式不等式求
5、解。变|式|训|练1 11. (2018北京高考)能说明“若a>b,则a<b”为假命题的一组a, b的值依次为 o (答案不唯一)1 1解析 由题意知，当a= 1, b = 1时，满足a>b，但是->匚, a b故答案可以为1, 1o (答案不唯一，满足a>0, b<0即可)答案 1, 1(答案不唯一)2 .(2018浙江高考)已知 R ,函数f (x)=x 4, x> 入 x2 4x + 3, x< 入当X= 2时，不等式f (x)<0的解集是o若函数f (x)恰有2个零点，则 入的取值范围是 解析 若后2,则当x>2时，令x 4&
6、lt;0，得2W x<4;当 x<2时，令x2 4x+ 3<0,得1<x<2。综上可知1<x<4，所以不等 式 f (x)<0 的解集为(1,4)。令 x 4= 0，解得 x=4;令 x2 4x+ 3 =0,解得x= 1或x= 3。因为函数f (x)恰有2个零点，结合函数 的图象(图略)可知1<疋3或Q4o答案(1,4)(1,3 U (4,+)考向二基本不等式及其应用【例2】(1)(2018天津高考)已知a, b R，且a 3b+ 6 16 + 2> 2 1时等号成立。a2 + b2(a b)2+ 2ab(2) =ab ab2b=&#
7、177; 时取得等号。a b答案(1)4 (2)2 223b6x 士= 2X 23 = 1,当且仅当 23b6= 21，即2 -=a b+ ab'2 2,当且仅当b=在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号成立）的条件， 否则会出现错误。变|式|训|练1.已知a>0, b>0,若不等式m匚£ 0恒成立，则 m3a+ b a b的最大值为（）B. 16C. 9解析因为a>0, b>0，所以由30-a-0恒成立得，mw |+ l(3a+ b
8、) = 10+ 乎+曽恒成立。因为3b 3a3b+3a'3b 3aa =6,当且仅当a= b时等号成立，所以10 + 笑+ 曽'16,a b所以mW 16,即m的最大值为16。故选B 答案 B2.已知函数f (x) = In(x+1 + x2),若正实数a, b满足f (2a)1 1+ f (b 1) = 0,贝U +1的最小值是。a b解析 因为 f (x) = In(x+1 + x2), f ( x) = In( x+ 1 + x2),所以 f (x) + f ( x) = ln(x+1 + x2) ( x+1 + x2) = In1 = 0,所以函数f (x)= In(x
9、+ 1 + x2)为R上的奇函数，又y= x+ 1 + x2在 其定义域上是增函数，故f (x)= In(x+ 1 + x2)在其定义域上是增 函数，因为 f (2a) + f (b 1) = 0, f (2a) = f (b 1), f (2a) = f (111 2a + b 2a + bb),所以 2a = 1 b,故 2a+ b = 1。故- + 二=+= 2aba b+ b+ 2a+ 1 = b+ 寻+ 3>2 2 + 3。(当且仅当 b = 2a且 2a + b= 1, a b a ba b即a= 2 2 2, b = 2 1时，等号成立。)答案 2 2+3考向三线性规划及其
10、应用微考向1:求线性目标函数的最值【例3 (2018全国卷H )若x , y满足约束条件q-x+ 2y 5> 0,<x 2y+ 3>0,贝U z= x + y的最大值为 。x5W0,解析 作可行域，则直线z= x+ y过点A(5,4)时取最大值9。答案9线性目标函数z= ax+ by最值的确定方法（1）将目标函数z= ax+ by化成直线的斜截式方程（z看成常（2）根据b的几何意义，确定b的最值。（3）得出z的最值。变I式I训I练（2018天津高考）设变量x, y满足约束条件x+ yw 5, 2x yw 4, -x+yw 1, y> 0,则目标函数z= 3x+ 5y的最
11、大值为（）B. 19C. 21D. 45解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出3直线y= 5X,平移该直线，当经过点 c时，z取得最大值，由x+ y= 1,x+ y= 521。故选C严2,y= 3,即 C(2,3)，所以 zmax= 3X 2+ 5X 3 =答案 C微考向2:线性规划中的参数问题【例4】(2018山西八校联考)若实数x, y满足不等式组xy+ 2>0,x+ 2y 4>0,且 3(x a) + 2(y+ 1)的最大值为 5，贝U a =2x+ y 5W 0,。解析 设z= 3(x a) + 2(y+ 1)，作出不等式组表示的平面区3域如图中阴影部分所示，
12、由z= 3(x a) + 2(y+ 1)得y= 2x+3a 2+ z32，作出直线y= 3x,平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为 5,所以3(1 a) + 2(3 + 1)= 5，解得 a= 2。答案2解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论， 将各种情 况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的 可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值。变|式|训|练匸x y 2W 0,已知x, y满足约束条件 ax+ y>4,目标函数z= 2xx 2y+ 3 > 0,3y的最大值是2,则实数a=(3C.D. 4解析 作出约束条件所表示的可
13、行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z= 2x 3y的最大值是2,由图象知z= 2x 3y经过平面区域的点A时目标函数取得最大值2。由厂y-il2x 3y= 2,解得A(4,2)，同时A(4,2)也在直线ax+ y 4= 0上，所以4a= 2,1则a=。故选A答案AIV突破-压轴小题X, XW 0，In x+ 1 , x>0,1. （考向一 ）（2018福建联考）已知函数f （x）=若f （2 - x2）>f （x），则实数x的取值范围是（A . ( g, 1)U (2,+ )B. ( g, 2)U (1 , + )C. ( 1,2)D. ( 2,1)解析 易知f (x)在R上是增
14、函数，因为f (2 x2)>f (x),所以2 x2>x，解得2<x<1，则实数x的取值范围是(2,1)。故选Do 答案 D2. （考向一 ）（2018南昌联考）若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正确的是（）A . Ioga2 018>logb2 018B. Iogba<logcaC. (c b)ca>(c b)baD. (a c)ac>(a c)ab解析 因为 a>1,0<c<b<1，所以 Ioga2 018>0, Iogb2 018<0, 所以 Ioga2 018>Iog
15、b2 018，所以 A 正确；因为 0>Iogab>Iogac,所1 1以log疵<10，所以logbavlogca，所以B正确；因为 ca<ba, c b<0，所以(c b)ca>(c b)ba，所以 C 正确；因为 ac<ab, a c>0, 所以(a c)ac<(a c)ab，所以D错误。故选D。答案 D3. (考向二)(2018河南联考)已知直线ax 2by = 2(a>0, b>0)41过圆x2 + y2 4x+ 2y+ 1 = 0的圆心，贝U+- 的最小值为a+ 2 b+ 1O解析 圆x2 + y2 4x+ 2y+
16、1 = 0的圆心坐标为(2, 1)。由 于直线 ax 2by= 2(a>0 ,b>0)过圆 x2 + y2 4x+ 2y+ 1 = 0 的圆心，411故有a+ b=仁所以a+2+不4©+2 b+1丿(a+ 2+ b+ 1) =1一迤也3 > 5+ 1X 25 +a + 2b+ 1霊靑=号，当且仅当a=2b = |时，取等号，故亠+3a+ 2b+ 11的最小值为4°答案9x+ y 3> 0,4. (考向三)(2018南昌联考)设不等式组 x y+ 1>0, 表3x y 5< 0示的平面区域为M ,若直线y= kx经过区域M内的点，则实数k
17、的取值范围为()4 B._2，34 J DJ3, 2.1 A-1,2 cP 2C. 2，解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，1易知当直线y= kx经过点A（2,1）时，k取得最小值刁 当直线y= kx经过点C（1,2）时，k取得最大值2,可得实数k的取值范围为 $ 2。故选C。答案 C5. （考向三）（2018广州测试）若 x, y满足约束条件xy+ 2>0,2y 1> 0,则z= x2 + 2x+y2的最小值为（）x K 0,11A. 2B. 413C. - 2D. 4解析 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z= x2 + 2x+ y2= （x+ 1）2+ y2 1,其几何意义是平面区域内的 点（x, y）到定点（一1,0）的距离的平方再减去 1,观察图形可得，1平面区域内的点到定点（一1, 0）的距离的最小值为2,故z= x2 + 2x+ y2的最小值为Zmin = 1 1 = 4。故选D。