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1、数列通项公式的十种求法、公式法anai(n 1)d dn d(nN )anaiqn 1鱼 qn(nN*)q、累加法an 1anf(n)例1已知数列an满足an 1an2n 1, a11 ,求数列an的通项公式。an n2例2已知数列an满足an 1nan231,a13 ,求数列an的通项公式(an3n n 1.)三、累乘法an 1f(n 0例3已知数列an满足an 12(n1)5n an,a13，求数列an的通项公式。(ann(n 1)3 2n 1 5 2n!.)评注:本题解题的关键是把递推关系an 1 2(n1)Taan转化为n 12(n1)5n，进而求出旦l a3 a2 ai，即得数列aj
2、的通项公式。an i an 2a2 ai例 4 已知数列an满足 a1 1, an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 (n 2)，求an的通项公式。(an .)2评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为 也 n 1(n 2),an进而求出 H 旦J L 色a2，从而可得当n 2时，an的表达式，最后再求出数列的an 1 an 2a2通项公式。四、待定系数法an 1Panqa n 1pan f nan 2 pan 1 qan(其中p，q均为常数)。例5已知数列an满足an 12an 3 5n，a16，求数列ar.的通项公式。(an2n 1 5n)评注
3、：本题解题的关键是把递推关系式an 12an35n转化为an1 51n12(an5n)，从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例6已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4，印1，求数列an的通项公式。(an 13 3n 15 2n 2)评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 3an 5 2n 4转化为 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)，从而可知数列a. 5 2n 2是等比数列，进而求 出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例7已知数列an满足an 1 2an 3n2 4n 5,印1，
4、求数列an的通项公式。n 42(an 2 3n 10n 18)评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3n2 4n 5转化为2 2an 13(n 1)10(n 1) 182(an 3n 10n 18)，从而可知数列22 2an 3n 10n 18是等比数列，进而求出数列a. 3n 10n 18的通项公式，最后再 求出数列an的通项公式。五、递推公式为Sn与a.的关系式（或Sn f （a.）解法：这种类型一般利用 anSnSn 1(n 1)(n 2)例8已知数列an前n项和Sn4 an12* 2 . (1)求an 1与an的关系;（2）求通项公34式an.例9已知数列an满足an 1
5、3an1，a13，求数列an的通项公式。解：an 13an 2 3n1两边除以n 1an 13，得盯an 2n33On3n因此an23n313a1an 1)1(tGan(i水2(n 1)3(an 1an 113n 1丄3n)(21孑2)°1)旦31)3an3n2(n3n 1)击L3n2n312 3n3n3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an 2 3n1转化为討a进而求出（an黑）（黑栄）3333鄴）L （話即|，即得数列an的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。七、对数变换法 （当通项公式中含幕指数时适用）解：因为an 12 3n5an,a17，所以an0, an 10
6、。在 an 12 3 a5In式两边取常用对数得lgan 15lgann lg3 lg 2设 lgan 1x(n 1)y5(lg anxn y)将式代入式,得5lg ann lg 3 lg2x(n1)y5(lg an xn y),两边消去5lg an并整理，得（lg3x)n xy lg25xn5y,则n 5例10已知数列an满足an 1 2 3 內,ai7，求数列an的通项公式。10lg3 x 5xx y lg2 5ylg34lg316lg24代入式，得lg alg34(n 1)lg316lg245(lg an4164)由igclg3 14lg316lg24ig7lg34lg3 lg2160及
7、式,得 lg anlg316lg24lg an 则 -an 4lg3 / 八(n 1)4叫也ig2lg316lg2416所以数列lg an比数列，则lganlg3蚂164也必(lg7164是以lg 7lg34Ig34ig316lg3 lg216乎为首项，以5为公比的等4）外，因此(lg7lg3lg3 lg2)5n1lg3n nlg3 lg24164464111n1 1(lg7lg 34lg36lg24)5r11 lg34lg 316 lg241 11n11lg(734 31624)5n1 lg(34 316 24)1 11n1 1lg(734 31624)5n 1lg(34316 24)5n1
8、n5n115n 1 1lg(75n 1 3 43 162 4)lg(755n4n 15n1 1n1 3 16 24)>g an5n 4n 175n1 35n 1 12F o5n1则an评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 12 3n a5转化为lg anlg an里(n4lg3n41)lg316lg316lg3lg 2lg35(lg ann1644是等比数列，进而求出数列lg an 4lg 2），从而可知数列4叫Ig3416竽的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。八、迭代法例11已知数列an满足 an 13( n 1)2nan，a15，求数列an的通项公式。解：因为an
9、 1a3(n 1)2n，所以an3n 2n 1an 1曲1)22 3n 2n 11)n 2(n 2) (n 1)32(nan 23( nan 3J(nan 3L3n 1 2 3L L (n 2) (n 1)n 21 2 L L (n 3) (n 2) (n 1)a12) 22)(n332(n 1) n 2(n 2) (n 1)1) n 2(n 3) (n 2) (n 1)n(n 1)3n 1 n! 2 2 q又a15，所以数列an的通项公式为ann (n3n 1 n!251)2 _o评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(n 1)2n1an两边取常用对数得lg
10、an 13(n 1) 2n lgan，即旦口 3(n 1)2n，再由累乘法可推知lg anlg anlg anlgan 1 L 鯉鯉 |g alg an i lg an 2 lg a2 lg an(n 1)3n 1 n! 2 2lg5，从而an3n 15n!2n(n 1)2九、数学归纳法例12已知数列an满足an 1 an8(n 1)2 2 ，(2n1) (2n 3)a18，求数列an的通项公式。9解：由an 1 an8(n 1)(2n 1)2(2 n 3)2及a18，得由此可猜测an(2n 1)2 1(2n 1)2往下用数学归纳法证明这个结论。(1 )当 n 1 时，q(2 1 1)2 1(
11、2 1 1)28，所以等式成立。9(2)假设当n k时等式成立，即ak(2 k 1)2 1(2k 1)2，则当nk 1时,a2a18(1 1)88224(211)2(2 13)2992525a3a28(2 1)248348(221)2(2 23)225254949a4a38(3 1)488480(231)2(2 33)249498181ak 1ak8(k 1)2 2(2k 1) (2k 3)(2k 1)2 18(k 1)222(2 k 1)(2 k 1) (2 k 3)(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8
12、(k 1)2 2(2k 1) (2k 3)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 (2k 1)2(2k 3)22(2 k 3)1(2 k 3)22( k 1) 12 12( k 1) 12由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 n N*都成立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例13已知数列an满足an 1£(14an,1 24an ），d 1，求数列an的通项公式。解：令 bn 1 24an，则 an故an 12(bn11)，代入 an24丄(1 4a
13、n16124a*)得訓11) 1164 丄(b；241)即 4b： 1因为 bn 1一24a, 0，故 bn 1. 1一24务 / 0ntt13则 2bn 1 bn 3，即 6 1 g2 2所以bn 3是以b 3厂24a, 3、厂24一1 3 2为首项，以£为公比的等比数列，因此 bn 3 2(,)n 1 (g)n 2，则 bn (,)n 2 3，即,1 24an (2 3，得评注：本题解题的关键是通过将.1 24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化1 3bn ibn形式，从而可知数列bn 3为等比数列，进而求出数列bn 3的通项公式,2 2最后再求出数列an的通项公式。1可化为bn1 3尹3），