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1、等差数列（二）教学目标（一）教学知识点1.等差中项概念.2.数学建模.（二）能力训练要求1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.（三）德育渗透目标1.培养学生的应用意识.2.提高学生的数学素质.教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学方法讲练相结合结合典型例题，认真分析，讲解，再结合典型习题进行巩固性练习，从而提高分析问题、解决问题的能力.教具准备投影片两张第一张：记作1.如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？2.在等差数列an中，若m+n=p+q,则am
2、+an ap+aq,（填“”“=”“”）第二张：记作例1梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.例2已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p、q是常数，且p0,那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？教学过程.复习回顾师（提问）：上节课，咱们学习了有关等差数列的哪些内容呢？生（回答）：1.等差数列定义：anan1=d（n2）2.等差数列通项公式：an=a1+（n1）d（n1）推导公式：an=am+（nm）d.讲授新课师首先，请同学们来思考这样一个问题.（打出投影片问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使
3、a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？生由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：Aa=bA,即：A=.- 1 - / 4师反之，若A=,则2A=a+b,Aa=bA,即a、A、b成等差数列.总之，A=a,A,b成等差数列.也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件.如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和
4、7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5=，同时还满足5=.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7=.看来，a2+a4=a1+a5=2a3,a4+a6=a3+a7=2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.下面，我们来看一个实际问题.（打出投影片）分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1=33,a12=110,n=12.由通项公式，得a12=a1+（121）d
5、,即：110=33+11d,解得：d=7.因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.师再来看例2.生思考片刻.师分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n2）是不是一个与n无关的常数就行了.解：取数列an中的任意相邻两项an1与an（n2），anan1=（pn
6、+q）p（n1）+q=pn+q（pnp+q）=p它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列，且公差是p.在通项公式令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an=pn+q（其中p、q是常数）当p=0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y=q的图象上.当p0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：an=2n1，相应的图象是直线y=2x1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：.课堂练习课本.（师生讨论）3.已知一个无穷
7、等差数列的首项为a1,公差为d:（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a1,a2,am,am+1,an,若去掉前m项，则新数列为：am+1,an,即首项为am+1,公差为d的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a1,a2,a3,a4,a5,an,则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1,a3,a5,a2m1,即，首项为a1,公差为2d的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组
8、成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a1,a2,a3,an,则新数列为：a7,a14,a21,a7m,即首项为a7,公差为7d的等差数列.课本练习生（口答）4.（1）100与180的等差中项为140，（2）2与6的等差中项为2.5.（1）由an=3n+6得a1=9,d=anan1=3n+63（n1）6=3,（2）由an=2n+7得a1=5,d=2.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A=与a,A,b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.课后作业（一）课本（二）1.预习内容：课本2.预习提纲：（1）等差数列的前n项和公式，（2）等差数列前n项和的简单应用.板书设计 课 题一、等差中项的概念A= 三、例题讲解 复习回顾a,A,b成等差数列 例1二、若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 例2 课时小结 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！