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1、概率论与数理统计作业9 (§ 3.1§ 3.3 )一、填空题1. X,Y独立同分布01，则 P X YP 1/3 2/3< 14XY玄2.设X的密度函数为f(x) =(1 X)100 ： x : 1其它E(X)二 1/3, E(X2) = 1/ 6 .X3.随机变量X的分布率为一-2 0P 0.4 0.3 0.3E(3X2 * 13.44.已知随机变量 X的分布列为P ( X )=110m = 2,4,18,20,，则E(X)=115.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为5，第二台仪器发生故障的概率为P2 令X表示测试中发生故障的仪器数，则E X =
2、 P!P2二、计算题Ikxa 01.连续型随机变量 X的概率密度为f(x)又知E(X)二0.75 ,10其它求k和a的值。1k解：由 f xdxkxadx = 1,得1,0a亠11k又 E(X) =0.75，则有 xf x dx x kxadx=0.75,得0.75,-0a 2故由上两式解得 k=3,a=2.2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产 品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为 p，求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量 X表示每批产品抽查的样品数，则 ：P( X =m) = pq
3、m(m=1,2,3,4);P(X =5) = pq4 q5 =q4( P q ")X的概率分布表如下:X12345P(X =m)ppq2 pq3 pq4 qEX = p 2pq 3pq2 4pq3 5q4 = 5 -10p 10p2 - 5p3 p43设二维随机变量 X, 丫的联合密度函数为x? _ y _ 1其它21 2 xf X, y =41°1)求 EX , EY 及 EXY ；2)求X与丫的边缘密度函数;解：1) EX =如 fxf (x,ydxdy =21 x2ydy21 x3-4”-213 x7 dx 二 0；8beEY 二11212E XY =xyf x,yd
4、xdy1dx x2 xy x ydyT x3x9 dx = 0;2)当 x 兰1 时，fx(x)= J*f(x,ydy1(2x21x2yd21 x248-x6;当 x 兰 1时，fX(x)=0.mxj"2*，) "1；i o,x >1.-He当 0 一 y 一1 时，fY y = f x,y dx 二y21x2ydx-y 425y2;当 y 1 或y 0时，fY y = 0.概率论与数理统计作业10 (§ 3.4§ 3.7 )、填空题11. 设随机变量X!, X , X3相互独立，其中 人在0, 6上服从均匀分布，X2服从e$),X3服从参数为 =
5、3的泊松分布，记 丫二人-2X2 3X3，则D(Y) =46_(1 2. 随机变量 X，丫 相互独立，又 X P (2 )Y B 8, i 则 E( X - 2Y )=-2，< 4丿DX-2Y=8_.13. 随机变量 X B(10,0.6), Y P(0.6),相关系数 R(X,Y)= , Cov(X,Y)= _0.3.414. 若xB(n,p)，且E(xr12, D(xr8，则"亠，-M二、选择题1. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于 0,则D(X YD X D Y是X和Y的BA)不相关的充分条件，但不是必要条件；B)独立的必要条件，但不是充分条件；C)不相关的必要条件，但
6、不是充分条件；D)独立的充分必要条件2. 设 X P()，且 E (X -1) X -2=1，则=_A4.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,A) 1,B) 2,C) 3,D) 03.设 X1, X2, X3相互独立同服从参数黑=3的泊松分布，令1Y(xX2 X3)，则3E(Y2)二CA) 1.B) 9.C) 10.D) 6.Y的相关系数等于(A )。A)-1B) 0C) 1/25.设随机变量D(X) =2 , D(Y) =2，而且X与Y不相关，令U = aX Y , V -X bY , 且U与V也不相关，则有( C )A) a=b=0 ；B) a二b=0 ；C)
7、a b=0 ；D) ab=0 .6若PX,Y表示二维随机变量(x, Y )的相关系数，则“ Px,丫 =1 ”是“存在常数a、b（b = 0）使得 PY = a bX 丄 1 ”的（C ）A ）必要条件，但非充分条件;C）充分必要条件；三、计算题B）充分条件，但非必要条件；D）既非充分条件，也非必要条件.1、一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个，如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的方差解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数,则 X=0， 1,2,3;P（X 二 k）=Pa'Pe11概率分布表如下X01239991P（Xi）12442
8、20220EX =0.3,EX 2 = 9 ,DX = EX 2 - EX 23510.319.22 11001,I x| ： ： 12、设随机变量X的概率密度为f （x） = «兀J1 一xxf x,y dxdy = 2 °dx ° xdy =，求D（X）0|x|H11 11） EXx :dx11- xEX21 2 dx = Z:1 一 X1X2TT21cos2t 亠 1 dt =- ） 2 2令 x = sint ,dx = costdt2 兀2DX 二 EX 2 二一2 sint 2dt-二 0二3.二维随机变量（X,Y ）在区域R:0岂x岂1,0乞y岂x上
9、服从均匀分布，求：（1）数学期望EX及EY ；（ 2）方差DX及DY；（3）协方差cov（X,Y）及相关系数 R（X,Y）。解：由题设得f （x， y ）= *2其它”宀，则0 其它EXEX2EY2 二EYDX = EX 2: : 2x1x1yf xydxdy"。叭 yd -；2 1f X,y dxdy =2 °dx 0 x dyp；:21 x 21y2f x,ydxdy=20dx0y2dy=6；-EX 2 = |； ； DY = EY 2 一 EY 2 =118E（XY）= J LoxyfXydxdyPJodx xydy=4cov X ,Y 二 E XY - EX EY1
10、36；RX,Y）=严VDX J DY 24. 设（X,Y）的联合概率分布如下表所示，计算X与Y的相关系数，并判断X与Y是否独解:X-101P（Xi）313848Y-101p（yj）31384819P " 丁 Px "1*, x,y不独立EX =0,EY =0,_3 EY24，34233EX28 8DX =3,DY43蔦，j1EXY=0.cov X，丫R X，Y _ DX DY=0.5.Y ）只取下列数组中的值:(0,0), (-1,1), (-1,-), (2,0)且相应的概率依次为1，36解:112，求X与Y的相关系数，并判断X与Y是否独立?12由题设得-101131/3
11、1/120000X-10 2P(Xi)51512 6 12001/65/12Y0113p(yj)71112312513EX ,EY , 1236225237EX2 ,EY2,12108dx=275,dy 二竺14412961361336，13513_ x .RX,Y UC°VX,丫二 36 12 36 - 一221 - -0.804.VDX v DYJ35 J2752751236j“35tp -1,0 = 0 = Px -1 X 0, X ,Y不独立。1446.两个随机变量(X，丫 ),已知 D(X) =25 , D(Y) =36 , R(X,Y) =0.4，计算 D(X Y) 与
12、D(X -Y).解.D(X +Y )= DX +DY 十 2coVX,Y )= DX + DY + 2R(X ,Y VBX 汉 TDY25 36 2 0.4 5 6 = 85;概率统计作业10 (§ 3.8§ 4.2 )1.随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式估计P（ X - E（X $兰2）解:2 1PX EX亠厂22.利用切比雪夫不等式估计随机变量与数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率DX 1 解：P（XEXZ3b）E= 吧 0.1111.9口293. 为了确定事件 A的概率，进行10000次重复独立试验，利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次实验中发
13、生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率.解：设事件 A在每次试验中发生的概率为p,在这10000次试验中发生了 X次，则 EX=np=10000p=10000 p,DX= 10000p（1-p）,因此，所求事件的概率为血000 一p <0.01=P X - 10000 p 100 i=P X -EX| 伽 -1DX1002X= 1p1p =1p p2 一0.75.4、填空题1）设 X N 3,4 p-1.6 EX 5.8 = >，贝U E X2 二 25.2）随机变量 X N 20,22，若P X < a ，则a二归.3）X,Y 服从相同分布 N 4匚2，
14、则 EaX bY aX - bY?= a b2 二22 .24）设随机变量 X N（2,二），且 P（2 ： X :：: 4） =0.3，则 P（X :：: 0） =0.25）已知连续随机变量X的概率密度函数为则X的数学期望为1，X的方差为05.5. 设随机变量X服从正态分布 N （1，22），查表求：（1） p X 2.2 ;（ 2） p1.6X 5.8;（ 3） p X <3.5 ;（4） p X _4.56.“ “2 2-1、 *解：（1 ）p（X £2.2 卜1 =（0.6 ）=0.7257;I 2丿16-1、卜（2.4）-（-1.3）二：2.4 -1 亠知1.3 =0
15、.8950-35-1、： 1.25 - -2.25二：1.25 -1 亠知 2.251= 0.8822 （4）p（X K4.56）=1-pX| 兰 4.56）=1 - | 4.56-1 |-4.56-1 | "''i 2丿i 2丿=1 - !：1.78-2.78 1=2-：1.78 -：2.78二 0.0402.6.设测量两地的距离时带有随机误差X，其概率密度为1f（X"40e3200-二 X < : 求1） 测量误差的绝对值不超过30的概率；2） 连续独立测量 3次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解：1）由题设 X N 20,402笃空卜（0.25）-（-1.25）< 40丿=：0.25 -1 亠 ©1.25 =0.4931;2）设Y表示连续独立测量 3次，“误差的绝对值不超过 30”所发生的次数,则丫B （3, 0.4931）,所求为pY=0 =1一1一 0.4931 f = 1 - 0.50693 二 0.8698.0 < y 兰1;P（丫 X ）壬 7 一5fY y = ?y，I 0,y 1 或 y ： 0.2121 7_. yf xydxdy 二 px x2y x 闪丫 =1x2