优胜教育讲义小六数学第18讲：因数与倍数(教师版).docx

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1、第十八讲 因数与倍数因数与倍数 因数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸， 就是在多个数之间去研究公因数和公倍数， 经常地应用最大公因数与最小公倍数解题 下面 我们就先回顾基本的概念：1. 公因数与最大公因数几个数公有的因数， 叫做这几个数的公因数； 其中最大的一个， 叫做这几个数的最大公 因数例如： 12 的因数有 1，2，3，4，6，1218 的因数有 l ，2，3，6，9，18 那么它们 的公因数有 l ， 2， 3， 6；其中最大公因数为 62. 公倍数与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数例如：

2、 15的倍数有： 15，30，45，60，75，90， 105 ，120， 10 的倍数有： 10， 20，30，40，50，60，70， 80 。90，那么它们的公倍数有 30，60，90，是有无穷多 个的；而最小公倍数却只有一个，为303. 互质的概念如果两个数的最大公因数是 1，那么这两个数互质 显然的， 两个不同的质数一定互质4. 辗转相除法求最大公因数 （辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公因数。 解： 4811=2×1981+849，1981=2×849+283， 849=3×283，（ 4811， 1981）=283。补充说明

3、：如果要求三个或更多的数的最大公因数， 可以先求其中任意两个数的最大公因数， 再求这个公因数与另外一个数的最大公因数，这样求下去，直至求得最后结果。5. 最大公因数与最小公倍数性质1) 分数的计算b,da,cb,d ； b, db,d；,a, ca ca,c2) 约倍关系 ab a, b a,b1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。例 1： 用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析： 要求的数去除 30、60、 75都能整除，要求的数是 30、 60、 75的公约数。又要求符合条件的最大的数，就是求 30、 60、 75的最大

4、公约数。解：30，60，75)=5×3=15这个数最大是 15。例2：一个数用 3、4、 5除都能整除，这个数最小是多少？分析 由题意可知，要求的数是 3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。解： 3， 4，5=3×4×5=60，用 3、4、5除都能整除的最小的数是 60。例3：有三根铁丝，长度分别是 120厘米、180厘米和 300厘米 .现在要把它们截成相等的 小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析： 要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是 120、 180和 300的公约数。又每段要尽可能长，要求的每段长度就是 120、 180

5、和 300的最大公约数 .（120，180，300）=30×2=60每小段最长 60厘米。120÷60+180÷60+300÷60=235=10（段）答：每段最长 60厘米，一共可以截成 10段。例4：加工某种机器零件， 要经过三道工序 . 第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析： 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数 . 要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、 10和5的最小公倍数。3，10，

6、5=5×3×2=30各道工序均应加 130个零件。30÷3=10（人）30÷10=3（人）30÷5=6（人）答：第一道工序至少要分配 10人，第二道工序至少要分配 3人，第三道工序至少要 分配 6人。例5：一次会餐供有三种饮料 . 餐后统计，三种饮料共用了 65瓶；平均每 2个人饮用一瓶 A饮料，每 3人饮用一瓶 B饮料，每 4人饮用一瓶 C饮料. 问参加会餐的人数是多少人？分析： 由题意可知，参加会餐人数应是 2、 3、 4的公倍数。解： 2 ， 3，4=12参加会餐人数应是 12的倍数。又12÷2+12÷3+12

7、7;4=6+4+3=13（瓶），可见12个人要用6瓶A饮料， 4瓶B饮料， 3瓶C饮料，共用 13瓶饮料。又 65÷13=5，参加会餐的总人数应是 12的 5倍，12×5=60（人）。答：参加会餐的总人数是 60人。例6：一张长方形纸，长 2703厘米，宽 1113厘米 .要把它截成若干个同样大小的正方形， 纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大 . 问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析： 由题意可知，正方形的边长即是 2703和1113的最大公约数 . 在学校，我们已经学 过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到 .

8、 但又不能轻易断定它们是互质数 . 怎么办？在此，我们以例 6为例 介绍另一种求最大公约数的方法。对于例 6，可做如下图解：从图中可知：在长 2703厘米、宽 1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（ 1113 厘米）为边长的正方形 2个. 在裁后剩下的长 1113厘米，宽 477厘米的长方形中，再裁去 以宽（ 477厘米）为边长的正方形 2个 . 然后又在裁剩下的长方形（长 477厘米，宽 159厘 米）中，以159厘米为边长裁正方形， 恰好裁成 3个，且无剩余 .因此可知， 159厘米是 477 厘米、 1113厘米和 2703厘米的约数 . 所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的

9、边 长应是 159厘米 . 所以， 159厘米是 2703和 1113的最大公约数。让我们把图解过程转化为计算过程，即：2703÷1113，商 2余 477；1113÷477，商 2余 159；477÷159，商 3余 0。或者写为2703=2×1113+477，1113=2×477+159，477=3×159。当余数为 0时，最后一个算式中的除数 159就是原来两个数 2703和 1113的最大公约 数.可见， 477=159×3，1113=159×3×2+159=159×7，2703=159

10、×7×2+477=159×7×2+159×3=159×17。又7和 17是互质数，159是 2703和 1113的最大公约数。我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法 . 辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例 7： 用辗转相除法求 4811和1981的最大公约数。解： 4811=2×1981+849，1981=2×849+283，849=3×283，（ 4811，1981）=283。补充说明： 如果要求三个或更多的数的最大公约数， 可以先求其中任意两个数的最 大公约数，

11、再求这个公约数与另外一个数的最大公约数， 这样求下去， 直至求得最后结 果. 也可以直接观察，依次试公有的质因数。例8：求1008、 1260、 882和1134四个数的最大公约数是多少？解：（ 1260， 1008） =252，（882，1134）=126，又（ 252，126）=126，（ 1008，1260，882，1134）=126。 求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例 9.例 9：两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？4 x 28解：设要求的数为 x ，则有：y7x=4×y28=4×728

12、x=4×y×4×7又 4是 x 和 28的最大公约数， （ y，7）=1，4×y×7是 x 和 28的最小公倍数。x×28=4×252 x=4×252÷28=36要求的数是 36。通过例 9的解答过程，不难发现：如果用a 和 b 表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）×a ，b=a×b。这样， 求两个数的最小公倍数的问题， 即可转化成先求两个数的最大公约数， 再用 最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例10：求21672和1135

13、2的最小公倍数。解：（ 21672， 11352） =1032（1032可以用辗转相除法求得）21672，11352=21672×11352÷1032=238392。答： 21672 和 11352 的最小公倍数是 238392.A1. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是 18，求另一个自然数。答案： 242. 两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是 77，求这两个自 然数。答案： 35 和 423. 已知 a与b，a与 c的最大公约数分别是 12和 15，a，b，c的最小公倍数是 120，求a，b， c。答

14、案： a 为 60， b 为 24，c 为 15 或 a 为 120，b 为 12， c 为 154. 已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。答案： 5和45，15和 355. 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。答案： 4和60，12和 20B6. 用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数， a 最大是多少？ 答案： 127. 现有三个自然数， 它们的和是 1111 ，这样的三个自然数的公约数中， 最大的可以是多少？ 答案： 1018. 狐狸和袋鼠进行跳远比赛， 狐狸每次跳 4.5 米，袋鼠每次跳 2.75 米，它们每

15、秒都只跳一次。 比赛途中，从起点开始，每隔 12.375 米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一 个跳了多少米 ?答案： 40.59. 用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体 木块？答案： 21610. 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成8 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 12 个，第三道工序每个工人每小时可完成 16 个，要使加工生 产均衡，三道工序至少各分配几个工人？答案： 6， 4，3C11. 一个两位数去除 251，得到的余数是 41. 求这个两位数。 答案： 42 或 70。12. 用一

16、个自然数去除另一个整数， 商 40，余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是 933， 求被除数和除数各是多少？答案：被除数是 856，除数是 21。13. 某年的十月里有 5个星期六， 4个星期日，问这年的 10月 1日是星期几？ 答案：这年的 10 月 1 日是星期四。14. 3月18日是星期日，从 3月 17日作为第一天开始往回数（即 3月 16日（第二天）， 15 日（第三天） ，）的第 1993 天是星期几？答案：第 1993 天必是星期二。15. 一个数除以 3余2，除以 5余3，除以 7余2，求适合此条件的最小数。 答案：适合条件的最小的自然数是 23。16. 一个数除以 5

17、余3，除以 6余4，除以 7余1，求适合条件的最小的自然数。 分析 “除以 5余3”即“加 2后被 5整除”，同样“除以 6余4”即“加 2后被 6整除”。 答案：适合条件的最小的自然数是148。17. 一个数除以 3余2，除以 5余3，除以 7余4，求符合条件的最小自然数。 答案：符合条件的最小的自然数是 53。18. 一个布袋中装有小球若干个 . 如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最 后都剩 2 个. 布袋中至少有小球多少个？ 答案：布袋中至少有小球 37 个。19. 69 、90和 125被某个正整数 N除时，余数相同，试求 N的最大值。 答案： N 最大

18、是 7。1. 甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？ 答案： 甲数是 18，乙数是 54。2. 一块长方形地面， 长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树， 每两棵之间的距离相等， 最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？答案： 每两棵之间的距离是 60米，最少要种树苗 6棵。3. 已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公约数是 31. 求这两个自然数。答案： 设这两个自然数为 A 和 B。A，B=5766÷31=186。186=2×3×31，这两个自然数为 31和186或62和 93。4. 兄弟三人在外工作

19、，大哥 6天回家一次，二哥 8天回家一次，小弟 12天回家一次 . 兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 答案： 10月 25日。5. 将长 25分米， 宽20分米， 高 15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？答案： 每个立方体的体积是 125立方分米 . 一共可锯 60块。6. 一箱地雷，每个地雷的重量相同， 且都是超过 1的整千克数，去掉箱子后地雷净重 201千克， 拿出若干个地雷后，净重 183千克. 求一个地雷的重量？答案： 3 千克 .78 的大于 11. 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字

20、，所得到的两个数都是 的约数。求这个两位数。答案：42 或 852. 有一个自然数， 它的最小的两个约数之和是 4，最大的两个约数之和是 100，求这个自然 数。答案： 753. 有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。答案： 824. 求只有 8 个约数但不大于 30 的所有自然数。答案： 30 ， 245. 100 以内约数个数最大的自然数有五个，它们分别是几？答案： 60 ， 72， 84， 90， 966. 一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字 9 误看成 7，得出的乘积是 756 ，问：正确的乘积是多少？答案： 8127. 一个数如果等于除它本身

21、以外的所有约数之和， 则称此数为完全数。 已知 30 以内有两个 完全数，请将它们找出来。答案： 6 ，288. a 、b两数的最大公约数是 12，已知 a有 8个约数， b有 9个约数，求 a和 b。 答案： a=24 ，b=369. 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数最大可以得多少?答案： 10110. A ，B是两个奇数，它们的最大公约数是3，求（ A+B）和（ A-B）的最大公约数。答案： 611. 甲、乙两数的最大公约数是 37，两数的和是 444，这样的自然数有哪几组？ 答案： 37 与 407 或 185 与 25912. 试用 2，3，4，5，6，7 六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与 数尽可能大。答案： 324 和 756540 的最大公约教学主管签字：课程顾问签字：