《中南大学最全高等工程数学试题集(部分含答案)(2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中南大学最全高等工程数学试题集(部分含答案)(2).docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期： 20XX 年月日时间 110 分钟注：解答全部写在答题纸上一、 填空题 (本题 24 分，每小题 3 分 )（ 1）对方程 f ( x)x32x2x ，写出其 Newton 迭代公式【 注意重根 】，使得由迭代公式产生的序列 xn可以 2 阶收敛于方程的唯一正根x*；（ 2）在 a,b 上，设 f ( x) 0 与 x( x)等价， 则当(x) 满足，和时，由 xk 1( xk )（ k 0,1,2, L ）产生的序列xk 收敛于方程 x(x) 的根；211x14（ 3）用 Doolittle分解法求方程：132x26122x35则： L =
2、， U =，解 x =；2114（ 4）已知 A132 , x6，1225则： A； A 1； x 1。(xi,yi ), i0,1,2, n，则其三次样条插值函数S( x) 是满5yf (x)在区间 a,b 上通过点（ ）已知足，；y111（ 6）设有线性回归模型y22 122 ，其中i N(0,2 )(i 1,2,3) 且相互独立，写出参数y312231, 2 的最小二乘估计。（ 7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法。（ 8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， 。二、（本题8 分） 已知 f ( x) 的数据如表：x-2 026f (
3、x)04-210试求三次 Newton 插值多项式 N3 ( x) ，求 f (5) 的近似值，并给出相应的误差估计式。三、（本题 10 分） 引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：maxZ3x14x2st.2x1x24x10.5x21x10,x20四、（本题 8 分） 某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工， A 工序在设备 A1 或 A2 上完成， B 工序在 B1 ， B2 ， B3 三种设备上完成。已知产品甲可在A，B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的 A设备上加工，但完成 B 工序时，只能在B1 设备上加工；产品丙只能在A2 与 B
4、2 设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。设备产品设备有效设备加工费甲乙丙台时（元 / 小时）A151060000.05A27912100000.03B16840000.06B241170000.11B3740000.05原料费（元 / 件）0.250.350.50售价（元 / 件）1.252.002.80（ 1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（ 2）写出所建立的模型的对偶形式。五、（本题 12 分） 一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了20
5、0 人服用此药品，一周后有148 人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实(0.01) ？3A1 f (0) A2 f (2)，试确定 A0 , A1, A2 ，使六、（本题 10 分） 设有数值求积公式f (x)dx A0 f ( 2)3该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。七、（本题12 分） 影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表因素秧龄苗数氮肥1 水平小苗15 万株 /亩8 斤/亩2 水平大亩25 万株 /亩12 斤/亩若考虑之间的交互作用，采用 L8 (27 ) 安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题
6、：（ 1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。八、（本题16 分） 设方程组为291x112125x28832x313（ 1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德尔迭代法求解时都收敛；（ 2）写出对应的高斯塞德尔迭代格式的分量形式；（ 3 ） 取 初 始 向 量 x(0)(0,0,0) T， 用 雅 可 比 迭 代 方 法 求 准 确 解 x*的 近 似 解 x( k1)， 使x(k 1)x*10 3至少需要迭代多少次？中南大学工程硕士“高等
7、工程数学”考试试卷考试日期： 20XX 年 4 月日时间 110 分钟注：解答全部写在答题纸上一、 填空题 (本题 24 分，每小题3 分 )1.若方程f ( x)0 可表成 x( x) ，且在 a,b 内有唯一根 x* ，那么(x) 满足，则由迭代公式xn 1( xn ) 产生的序列xn 一定收敛于 x* 。（( x) 满足：(x)C1 a,b ,且x a, b 有( x) a, b ,' ( x)L1；）2. 已知二元非线性函数向为 （最速下降方向为：f (x)x12x1 x2x222x1 4x2 , X 0 (2,2) T ，该函数从X0 出发的最速下降方p4,T2）；3已知二元
8、非线性函数向为 （ Newton 方向为：f ( x)x12x1 x2 x222x1 4x2 , X 0 (2,2) T ，该函数从X0 出发的 Newton 方p2,0T）；4 已知 yf ( x) 在区间 a,b上通过点 (xi , yi ), i 0,1,2, n ，则其三次样条插值函数S(x) 是满足（ 1）在每个小区间是次数不超过3 次的多项式， （ 2）在区间 a,b 上二阶导数连续， （ 3）满足插值条件 S(xi )yi , i 0,1,2, , n ）；5设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0 成立时，样本值( X1, X 2, X n ) 落入 W 的概率为0.
9、15 ，则犯第一类错误的概率为_（ 0.15）；6在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈大愈好，而置信区间的长度愈短愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是变长 ；7 取步 长h0.2， 解y'x2 y0,1的Euler法 公式为 ：y(0), x1（ yn 1ynh( xn2 yn )0.6 yn0.2xn ,n0,1,2,5 ）；8对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：（模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。）。二、（本题 8 分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好 10%，镍介于 35% 到 55%之间，不允
10、许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。合金锡（ %）锌（ %）铅（ %）镍（ %）杂质（ %）费用（元 /吨）矿石125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（ 1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果） ；（ 2）写出所建立的模型的对偶形式。（ 1）设 xj（, j 1,2, 5) 是第 j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：minZ
11、 340x1 260x2 180x3 230x4 190x5s.t0.25x10.4x20.2x40.08x50.280.1x10.15x20.2x40.05x50.150.1x10.05x30.15x50.14 分0.25x10.3x20.2x30.4x40.17x50.550.25x10.3x20.2x30.4x40.17x50.350.7x10.7x20.4x30.8x40.45x51x j0,j1,2,5（ 2）上述线性规划模型的对偶形式如下：maxf0.28 y10.15 y20.1 y30.55 y40.35 y5y6s.t0.25y1-0.1y20.1y30.25 y40.25
12、y50.7y63400.4y10.3y40.3y50.7y62600.15y20.05y30.2y40.2y50.4y61804 分0.2y10.2y20.4y40.4y50.8y6 2300.08y10.05y20.15y30.17y40.17y50.45 y6 190y10, y20, y40, y50, y3R1 , y6R1三、（本题8 分） 已知 f ( x) 的数据如表：x0137f ( x)00.521.5试求三次插值多项式P(x)，求 f (4) 的近似值，并给出相应的误差估计式。解：用 Newton 插值法求f ( x) 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：xif (
13、 xi )一阶差商二阶差商三阶差商0010.50.5320.750.25/371.5 0.125 0.875/61.375/42418.25/7-0.37-0.245-0.033由差商表得出f (x) 的三次插值多项式为：N 3 (x) 0.5x0.25 x( x 1)1.375 x(x 1)(x3)342于是有f (4)N3(4)0.540.254 3 1.37543 1342212.7518.2577四阶差商-0.0000753 分2 分相应的误差估计式为：R3( x) f 0,1,3,7, x x(x1)(x3)( x 7)f 0,1,3,7,4 4 3 1( 3)0.000075 (
14、36)2 分0.0027四、（本题12 分）为了考察硝酸钠NaNO 3 的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（0C ），观察它在 100 的水中溶解的NaNO 3 的重量（ g），得观察结果如下：温度 x20303340151326383543重量 y7981154810910（ 1）求 Y 对 X 的线性回归方程。 （结果保留小数点后两位。）1010101010xi293 ,yi81 ,x i yi2574 ,x i29577 ,yi2701i 1i1i1i1i 1（ 2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05， 0.01）， 50.F0=58)32.1,(10.F0 8)
15、,1(261.，t0.05 (8) 1.8595t0.01 (8)2.8965。解：（） x29.3y8.1LxYxi yinxy 2574 10 29.3 8.1 200.7Lxx2nx 225741029.32992.1xiLYY2ny 2701108.1244.9 4yi?Lxy200.7?b0.2023ybx8.1 0.2023 29.3 2.17Lxx992.10.20 a?( x )2 . 1 7 x 04 . 20?21?1( LYY(44.90.2023200.7) 0.54n2bLxY )8?2LxY0.20232200.7bF 3.92F0.5415.21T?2F F0.0
16、5 (1,8)FF0.01(1,8)0.05 0.01Tt 0.05 (8)T t0.01 (8)0.05 0.011210maxZ300x1400x2st.2x1x240x11.5x230x10,x20.(2).(2).(3).(3)x*(15,10)T , f *8500 (2 )10hf ( x)dxA1f ( h)A f (0)A f (h)h01A 11 hA 1A0A12h34f (x)1,x, x2 ,h( A 1A1)0A0hh2 ( A 12 h33A1)A11h33h3dxh (h)3h (h)3hx4dxh ( h)4h (h)4xhh3333f ( x)dxf (4hf
17、 (0)hh)h f (h)具有三次代数精度 .h333h算出系数 6 分，验证 3 次 2 分，给出结论2 分七、（本题 12 分）设有 4 种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24 个病人分成4 组，每组 6 人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：药物治愈所需天数1 5， 7，7， 7， 12， 82 4， 6，6， 13，4， 63 6， 4，8， 5， 3， 94 7， 4，6， 6， 3， 15试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（0.05 ， F0.05 (3,20)3.10 ）解：SSTxij2nx 2129124(161)2
18、21124SSExij26x126x226x326x421291 1090.5200.5SSAAAT SSE10.5方差来源平方和自由度样本方差F 值组间（因子）10.533.50.35组内（误差）200.52010.02总和21123由于 FF0.05 (3,20)3.10 ，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别（正确算出 F 值给 10分，结论正确给2 分）八、（本题16 分） 设方程组为x18x27x19x389x1x2x37（ 1）对方程组进行适当调整，使得用高斯塞德尔迭代法求解时收敛；（ 2）写出对应的高斯塞德尔迭代格式；（ 3）取初始向量x ( 0) ( 0,0,0)
19、T ，用该方法求近似解 x( k 1) ，使 x( k 1) x( k)10 3 。解：9x1x2x37（ 1）将原方程组调整为x18x 27 ，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯塞x19x38德尔迭代法求解时收敛。5 分（ 2）高斯塞德尔迭代格式为x1(k 1)19x2(k 1)19x3(k 1)19（ 2）取 x(0)( k)1k7x29x397x( k1)185分x( k1)819(0,0,0)T ，用上述迭代格式计算得k( k)( k)( k)x1x2x310.77777780.97222220.975308620.99417010.99927130.999352230.999
20、84710.99998090.999983040.99999600.99999950.9999996因 x(4)x(3)0.000148910 3 ，故取近似解 x*x(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T 。6 分x*x(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T 。6 分中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期： 20XX 年 4 月日时间 110 分钟注：解答全部写在答题纸上一、 填空题 (本题 24 分，每小题3 分 )1. 若函数 ( x)C1a, b ,且x a, b 有( x) a,b 和 , 则方程 x(
21、x)在 a, b 上的解存在唯一，对为初值由迭代公式xn 1(xn ) 产生的序列xn 一定收敛于方程 x(x) 在 a, b 上的解 x* ，且有误差估计式x*x k；2. 建立最优化问题数学模型的三要素是：、；3求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是：；4已知函数 yf ( x) 过点 ( xi , yi ), i0,1,2, n ， xi a,b ，设函数 S(x) 是 f (x) 的三次样条插值函数，则 S(x) 满足的三个条件是；5随机变量 X N (3,4),( X1 , X 2 , X10 ) 为样本， X 是样本均值，则X ；6正交表 LN (n p
22、 mq ) 中各字母代表的含义为；7线性方程组 Ax b 其系数矩阵满足时，可对A 进行 LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元 akk 为；y'3xy的公式为。80.01，用Euler法解, x 0,1取步长 hy(0)1二、（本题 6 分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车 1500 辆，中级车 1200 辆，高级车 1000 辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。微型车中级
23、车高级车资源可用量钢材（吨）1.522.56000（吨）人工（小时）30405055000（小时）利润234三、（本题10 分） 已知 f(x) 的数据如表：x0125f ( x)-5306用 Newton 插值法求 f ( x) 的三次插值多项式 N3 (x) ，计算 f (6)的近似值，给出误差估计式。四、（本题12 分） 为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为A1 , A2 , A3 并假设 Ai N ( i ,2 ) ， i1,2,3，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下：方差来源平方和自由度样本方差F 值组间
24、SSA66组内 SSE12总和 SST12914(1)试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）(2)小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05 ， F0.05 (2,12)3.89 ）五、（本题12 分） 用表格形式单纯形法求解max Z20 x1 8x2 6 x38x1 3x2 2x3 250st. .2x1 x2 504 x1 3x3 150x 1,x2, x30六、（本题10 分） 试确定求积公式1f ( x)dx A0 f ( 1) A1f (0) A 2f (1) 中的待定系数，使其代数精1度尽量高。七、（本题 12 分）（ 1）在多元线性回归
25、建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？（ 2）如果要考察因素A 、 B、 C 及交互作用A × B、 A× C、 B× C，如何用正交表L8 (27 ) 安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。表 L8 (27 ) 两列间交互作用表列号1234567(列号 )(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1八、（本题14 分） 设方程组为025x195104x23010 20x314（ 1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛；（ 2）取 x(0)0，用 Gauss-Seidel 迭代法计算两步迭代值 x(1) ， x(2) ；（ 3）取 x(0)0，估计用 Jacobi 迭代求解 x(100) 与准确解 x* 的误差。