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1、1-6 已知物体内某点的应力分量为x =y =20MPa ， xy =10MPa ，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。解： I1xyz =40MPaI 2(x )222xyyzzxyyzzx =-300 MPaI 32222xyzxyyz zxxyzy zxz xy =0340230001 =30MPa2 =10 MPa3 =01-7 已知变形时一点应力状态如图1-34 所示，单位为MPa，是回答下列问题？（ 1）注明主应力；（ 2）分解该张量；（ 3）给出主变形图；（ 4）求出最大剪应力，给出其作用面。解：（ 1）注明主应力如下图所示：（2）分解该张量；50060010006 0 06
2、 0 000007006001（3）给出主变形图（4）最大剪应力13571 MPa1322其作用面为1-8 已知物体内两点的应力张量为a 点1=40 MPa ， 2=20 MPa ，3 =0 ；b 点： xy =30MPa，xy =10 MPa ，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。解： a 点 I 112360MPaI 2(122331 ) =-800 MPaI 3123 =0I 1xyz =60 MPaI 2(x )222xyyzzxyyzzx =-800 MPaI 32222xyzxyyz zxxyzyzxz xy =0其特征方程一样，则它们的应力状态相同。1-10 某材料进行单向拉
3、伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm2，载荷为 P=6000N ；（ 1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量；（ 2）画出应力状态分解图，写出应力张量；（ 3）画出变形状态图。解：（ 1）600060MPa10010 6则 160MPa ，2 0；30 ；应力分量为6000200040000 0002000-20000-6000 2000-204000偏差应力分量为0-20000-202000球应力分量为02000 0 20（ 2）应力状态分解图为=+（3）画出变形状态图1-15已知应力状态的6个分量x7MPaxy,MPa， 4=0，=4MPa，=-8 MPa，=-15MPa。
4、画出应力yyzzx状态图，写出应力张量。解：7-4-8应力张量为-404-84151-16 已知某点应力状态为纯剪应力状态，且纯剪应力为-10MPa，求：（ 1）特征方程；（ 2）主应力；（ 3）写出主状态下应力张量；（ 4）写出主状态下不变量；（ 5）求最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力， 并在主应力状态中绘出其作用面。解：（ 1）I 1xyz =0+0+0=0I 2(x )222xyyzzxyyzzx =100I 32222xyzxyyz zxxyzy zxz xy =03特征方程为1000（2）其主应力为1 =10MPa ；2 = 0 MPa ；3 = -10 MPa1000（3）主
5、状态下应力张量为00000-10（4）主状态下不变量I 1123 =0I 2(12233 1 ) =-（ -100） =100I 3123 =0（5）最大剪应力为13 =1 -3 =10- （-10 ）=10 MPa；22八面体正应力8= 1(123 )1 (10010)033八面体剪应力1（ -2-）+（-） =212） =628=）+（12（10-0）+（0+10）+（-10-1032333MPa最大剪应力 在主应力状态中绘出其作用面为：1-17 已知应力状态如图1-35 所示：（ 1）计算最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，绘出其作用面；（ 2）绘出主偏差应力状态图，并说明若变形，会
6、发生何种形式的变形。解：（ 1）最大剪应力13 =1-3=-6- （-10 ）2MPa22=八面体正应力8 =1(3 )16810)8MPa312(3八面体剪应力8 =1（1-22 -221222232）+（3）+（ 3 -1）=3（-6+8）+（-8+10）+（-10+6）=63（2）主偏差应力状态图如下所示：变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。(1)最大剪应力13 =1- 3=0- （-10 ）= 522八面体正应力8= 1(123 )1 (0510)5MPa33八面体剪应力8 =11-22 -23 -212225（2）+（3）+（1）=3（0+5）+（-5+10）+（-10
7、+0）=633变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。(1)最大剪应力13 =1 -3 =8-3 =2.522八面体正应力8= 1 (123 )1 (3+5+8)16 MPa333八面体剪应力11-22 -22122218 = （2）+（3）+（ 3 -1）=（8-5）+（5-3）+（3-8） =38333变形时是体积变形，一个方向拉伸，另外两个个方向缩短。1-14 ，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为 H=10mm，h=8mm，轧辊圆周速度v=2000mm/s，轧辊半径 R=200.试求该轧制时的平均应变速率。解：轧制时的平均应变速率为：2vH h2 2000108=R10+820
8、022.22m / sH+h1-13 轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357 ，总的压下率为 30%，共轧两道次，第一道次的对数变形为0.223 ；第二道次的压下率为0.2 ，试求第二道次的对数变形和第一道次的压下率。解：第二道次的对数变形为第一道次的压下率为1-12 已知压缩前后工件厚度分别为H=10mm和 h=8mm，压下速度为 900mm/s，试求压缩时的平均应变速率。解：压缩的平均应变速率2vy=2 900=100m/sHh10+81-11 试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。证明：设某物体由l 0 延长一倍后尺寸变为2l 0. 其工程变形为2LLe100
9、%100%L如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为0.5l 0，则工程变形为e0.5L L 100%50%L物体拉长一倍与缩短一半时， 物体的变形程度应该一样。 而用工程变形表示拉压程度则数值相差悬殊。因此工程变形失去可以比较的性质。用对数变形表示拉压两种不同性质的变形程度， 不失去可以比较的性质。 拉长一倍的对数变形为ln2Lln 2L缩短一半的对数变形为0.5Llnln 2L所以对数变形满足变形的可比性。2-4某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为x=75 ，y=15 ，z=0，xy=15（应力单位为 MPa），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？解：由由密席斯屈服准
10、则：s122262222xyyzzxxyyzxz得该材料的屈服应力为：s175215207520073.5MPa1506 15222-5试判断下列应力状态弹性还是塑性状态？-4 s000. 2s000-5 s0 ；00. 8s0 ；00-5s000. 8s0.5 s00c) ij0s0001.5 s解：由屈雷斯加屈服准则：得： -4） =。应力处于塑性状态。a)1-3=ss-（ -5ss由密席斯屈服准则状态。12222123213s 。应力处于塑性b)由屈雷斯加屈服准则：1-3=s 得： -0.2s+0.8s =0.6s，应力处于弹性状态。由密席斯屈服准则12221232132应力处于弹性状态
11、。0.6sc)由屈雷斯加屈服准则： 1-3=s得： -0.5） =，应力处于塑性状态。s-（ -1.5ss由密席斯屈服准则122212321321-0.5s + s2s +1.52-1.522-ss +0.5 s34ss应力处于弹性状态2-15 已知应力状态1=-50MPa ， 2=-80 MPa ， 3=-120 MPa ，s=1079 MPa，判断产生何变形，绘出变形状态图，并写出密赛斯屈服准则简化形式。解：a)1-3=s得： -50-（ -120） =70 MPa<1079MPa。应力处于由屈雷斯加屈服准则：弹性状态。由密席斯屈服准则12221232132应力处于弹性状态。1000
12、0310偏差应力分量为0030 0 -11031037 MPa <1079 MPa。变形状态图如下：密赛斯屈服准则简化形式如下：13-80-50-1201222d=13-50（-120 ） 7221 -23 =3+2s =2s = 7s3+( 1)237d72-14 绘出密赛斯屈服准则简化形式，指出参数的变化范围和k 与屈服应力的关系。答：密赛斯屈服准则简化形式“1 -23 =3+2s =sd参数d 变化范围为k 与屈服应力关系为-1，2d113sk=32-13 已知三向压应力状态下产生了轴对称的变形状态，且第一主应力为 -50 MPa，如果材料的屈服极限为 200 MPa ，试求第二和
13、第三主应力。解： s =200MPa1 =-50MPa轴对称的变形状态，1 -3s =200MPa3 =-250MPa2 = 3 =-250MPa或 1 = 2 =-50MPa2-12 已知两向压应力的平面应力状态下产生了平面变形，如果材料的屈服极限为200 MPa，试求第二和第三主应力。解：平面应力，则01平面变形，则+213=322按屈雷斯卡塑性条件：则1 -3s =200MPa则3 =-200MPa2 =-100MPa按密赛斯塑性条件：2222 =2 2002123213=2 s3 =-2200 MPa32 =- 200 MPa32-11 写出主应力表示的塑性条件表达式。答：主应力表示的
14、塑性条件表达式为：屈雷斯卡屈服准则：max=1 -3C2密赛斯屈服准则：2222123213=2 s2-10 写出平面应变状态下应变与位移关系的几何方程。答：平面应变状态下应变与位移关系的几何方程：uxuy1 uxuyxxyyxy2yx2-9 推导薄壁管扭转时等效应力和等效应变的表达式。解：薄壁扭转时的应力为：xy0 ，其余为x =y =z=yz =zx =0主应力状态为：1 =-3 =xy =yx2 =0屈服时：1 =-3 = xy =km=0等效应力为：e12222122331 = 3 1 = 3 xy = 3k等效应变为：d e222222d1d 2d 2 d 3d 3 d 1 =d 1
15、 =-d 39332e132-8 试写出屈雷斯卡塑性条件和密赛斯条件的内容，并说明各自的适用范围。答：屈雷斯卡塑性条件内容：假定对同一金属在同样的变形条件下，无论是简单应力状态还是复杂应力状态，只要最大剪应力达到极限值就发生屈服，即max=1 -3C2适用范围：当主应力不知时，屈雷斯卡准则不便适用。密赛斯条件的内容： 在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2 不变量达到一定值时，该点就进入塑性状态。屈服函数为I 2222Cxyyzzxxyyzzx适用范围 :密赛斯认为他的准则是近似的，不必求出主应力，显得非常简便。2-7 已知下列三种应力状态的三个主应力为：=, ；（ 2）1
16、=0，2=-,3=-；（ 1) 1=2，23=0（3）1=，2=, 3=0，分别求其塑性应变增量d 1p 、 d2p 、 d3p与等效应变增量 dp的关系表达式。解：d xpd ypd zpd xypd yzpd zxpdxyzxyyzzxd1pd2pd3pd1 -3 -m2mmdp=d（1-）1md2p =d（2 -m）dp=d（3-）3mp2222dd 1pd 2pd 2pd 3pd 3pd 1p9p=d（- ）=d（ 2 -）=d（ 1） d11mdp（2 -）（-）2=dm=d=0dp=d（3- ）=d（0-）=-d3md1p =-d3pdp2pdp 2dpp 2pp 29d 122d
17、 3d 3d 1=2d 1p =-2d 3p33（ 2）dp =d（ -）=d （0+ 2）=d211m33dp=d（2-）=d （- + 2）=- 1d2m33dp=d（3-）=d （- + 2）=- 1 d3m33d 1p =-2 d 2p =-2 d 3pp2dpdp 2dpdp 2dpdp 2d9122331p1 pp1-dp（-21=d（3）=-d d=d=（-21）=d3）= d12123m3dp=d（2-）=d（ - 2） = 1 d2m33dp=d（3-）=d （0- 2）=- 2 d3m33d 1p =d 2p =- 1 d3p2p2pp2pp2pp2dddddd9122d
18、331=2d 1p =2d 2p =-d3p3-1 镦粗圆柱体， 并假定接触面全黏着，试用工程法推导接触面单位压力分布方程。答：接触面全黏着， fk及屈服公式 drd z代入微分平衡方程式d r2 f0 ，得 d r - 2k0drhdrh边界条件 rR, zas则接触面表面压力曲线分布方程为zs2s ( Rr )3hp1drdr3 d2.2s则接触面单位压力分布方程为20z(1)R9h3-2平面变形无外端压缩矩形件，并假定接触面全滑动（即fpf ），试用近似力平衡方程式和近似塑性条件推导确定平均单位压力p 的公式。dx2 fdx2答：将 fpf0f y0代入力平衡微分方程式h得hdxdxdy
19、fy再将屈服准则式 dd y代入上式20xhdx2fx积分上式Ce h，由边界条件 a 点0， xya0 ，由剪应力互等， yxa0 ，yxa则由-2424k2 ，边界处yaK（ xy）xy2f ( lx )常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程为y- Keh 2lP 22ydx02平均单位压力为pll2ydx0整个接触面均为常摩擦系数区条件下pex1flK， xhx3-3 在750×1000mm的二辊轧机上冷轧宽为 590mm的铝板坯，轧后宽度为 610mm，该铝板退火时板坯厚为H=3.5mm，压下量分配为3.5mm2.5mm1.7mm 1.1mm，已知该铝的近似硬化曲线s6.88
20、.2，摩擦系数 f=0.3 ，试用斯通公式计算第三道次轧制力 P。h1( Hh )1(1.71.1)1.4 mm解：解：按斯通公式22lR h375(1.7-1.1)15mmxfl0.3153.21h1.4npex1e3.2117.4Kx3.21轧件在变形区的平均变形程度1H0H H0h H0h1H0h2)4(H0H0H0H01(03.52.53.53.51.73.51.1 )37.14%43.53.5则该合金的平均变形抗力s6.88.26.88.20.37149.85MPaK'Kfb1.1559.850011.38 MPa22p 7.4 11.38=84.2 MPa铝板坯平均变形宽带为B前B后B600mm2则第三道次轧制力Pp Bl84.260015757.8k N3-4在 500轧 机 上 冷 轧 钢 带 ， H=1mm， h=0.6mm， B=500mm， f=0.08，b200MPa f300MPas600MPa 试计算轧制力。,，解：按斯通公式h1( Hh)1(1 0.6)0.8 mm22lR h250(1-0.6)10mmxfl0.08101h0.8exe1