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1、1、简立方原胞基矢体心立方原胞基矢面心立方原胞基矢a1aia1a / 2( ij k )a1a / 2( j k )a2a ja2a / 2(ijk )a2a / 2(ki )a3aka3a / 2(ijk )a3a / 2(ij )2、试证面心立方的倒格子是体心立方证：设与晶轴a、 b、c 平行的单位矢量分别为i 、 j、 k。面心立方正格子的原胞基矢可取为a1a ( jk ), a2a (ki ),a3a (ij )由倒格子公式得222b12 a2a3 ,b22 a3a1 ,b32 a1a2 可得倒格基矢为：b12(ijk), b22(ijk ), b32 (ijk ),aaa3、考虑晶格
2、中的一个晶面urrrr（ hkl ），证明： ( a) 倒格矢 G hhb1kb 2 lb 3 垂直于这个晶面；b晶格中相邻两个平行晶面的间距为dhkl2；( c)对于简单立方晶格有( )urG hd 2h2a2l 2。k 2证明：（ a）晶面（ hkl ）在基矢 a1、 a 2、 a3 上的截距为 a1 、 a2、 a3。作矢量：hklm1a1a 2， m2a 2a 3， m3a3a1hkkllh显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图） ，且aa21hb1kb2lb3m1 Ghkha1a22 ha2a32 ka3 a12 la1 a20h kaaaaaaa123a23a12
3、31同理，有 m2 G h0 ， m3G h0所以，倒格矢 G hhkl 晶面。（ b）晶面族（ hkl ）的面间距为：aGha1hb1kb2l b32d hkl1hG hhG hG h（ c）对于简单立方晶格：G h2h 2k21l 2 2ad 2h 2a 2l 2k 24、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论高低温极限。解：按照德拜模型， 格波的色散关系为w=vq 。由图色散曲线的对称性可以看出，dw 区间对应两个同样大小的波矢区间dq。 2 / a 对应 L/a 个振动模式， 单位波矢区间对应有L/2 个振动模式， dw 围则包含 dz2dqLdqL 个振动模式， 单位频率区间
4、包含的模式数目定义2dzL dqL为模式密度，根据此定义可得模式密度为：D (w)dw再利用Ldwvvw0D( w)dwN式中 N 为原子数， a 为晶格常数，得 w00aawmw2ew / kBTD (w) dw由公式 C vkBkB Tw / k BT2得其热熔量为0e1wmLw2ew/ k BTdww 得Cvk B2 作变量变换 x0vk BTew / kB T1kB T2x2w0CvLk BTD / Te x dxz其中Dv0ex1k B在高温时 x 是小量，上式被积分函数ex x2exz11因此，晶格的高温热熔量LCVa kBNkB在低温时D / T, CV 中的被积函数按二项式展开
5、成级数ex x2x2nenx则积分ex x2 dx2L kB2 Texz0 exz此时期热熔量 CV3 v1n 1135、模式密度计算模式密度的一般表达式： gVdS32qq德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q。即cq代入式，容易得到：V14V2g3 c2c32c2（ 1） 三维情况模式密度对于三维情况，=cq2 在 q 空间等频率面为球面，半径为：qc在球面上，q( q)d2Cq2CdqC是一个常数，且球面积分为：ds4 q2 ，因此：gVdsV1dsV14 q2V1 1 223q23q232cq22 c3 2（2）二维情况模式密度对于二维情况，q 空间也约化为二维空间，其等
6、频面实际为一个圆，圆半径为：qc二维情况下的q 空间中的密度为：A/(2 ) 2 ，（这里 A 为二维晶格的面积） ，而且有：q( q)d2Cq2CdqCdL2 q所以对于 =cq2，二维情况的模式密度为：g()dnAdLA2 qA d(2 )2q (q)(2 )22Cq4 C（3）一维情况模式密度同理，在一维情况下，q 空间有两个等频点+q 和 -q。仿上面的方法可以得到：dnLdqL1Lg( )q (q)2d(2 )(2) 2Cq2 C总之，色散关系为=c q2的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率 的? ， 0， -? 次方成比例。271 cos2ka), 式中 a是 晶
7、格6、已知一维晶格中电子的能带可写成E(k )ma2(coska88常数， m是电子的质量， 求，能带宽度， 电子的平均速度，在带顶和带底的电子的有效质量。解：（ 1）、当 ka， E（ k）有最大值， Emax2 7( 1)1 2 2ma 88ma 2当 k=0 时， E（ k）有最小值 Emin2( 711)0 所以：EEmaxEmin2 2ma88ma121 a sin 2ka1 sin 2ka)（2）、 vma2 asin ka(sin ka4ma4（3）、 m *22E /k2，2 Ek E( k)(a2cos ka1a2cos2ka )2因为2k 2Kma2所以当 k=0 时，带顶
8、， m* |k 02m2ma2(a 21a2 )22，带底， m* (k22 m当 k)2a2 a 2aa()3ma 227、用紧束缚近似求出面心立方及晶格 s 态原子能级相对应的能带函数解 面心立方晶格vvv v s 态原子能级相对应的能带函数sJ0ik RsE(k )sJ (Rs )eRsNearests 原子态波函数具有球对称性J1vi0*vvvvvvJ ( Rs )(Rs )U ( ) V () i0 () d0svv vik RE (k )sJ0J1esRs Nearest任选取一个格点为原点最近邻格点有12 个12 个最邻近格点的位置a ,a , 0 0,a ,aa ,0,a222
9、222aaaaa0,a,00,2,22222a ,a , 0 0,a ,aa ,0,a222222a ,a , 0 0,a ,aa ,0,a222222va va vvs vv vJ0J1eik RsRsij 0kE (k )s22RsNearestv vvvvvvvi ( kxi k y j kzk ) ( a ia j 0k )eik Rse22ei a (k x k y )kx ai sinkx aky ai sinky a2(cos22)(cos2)2 类似的表示共有12 项 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带Esv( k )sJ0kakyacoskakaky aka4J
10、1 (cos xcosxcoszcoscosz)2222229、电子在周期场中的势能1 m 2 b2( x na)2,当 na b xnab2V ( x)0，当 (n-1)a+bxna b其中 a 4b，是常数(1) 试画出此势能曲线，求其平均值.(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度解： (I) 题设势能曲线如下图所示(2) 势能的平均值：由图可见， V (x) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V (x)11a1a bV ( x)V (x)dxaV ( x) dxL La bb题设 a4b ，故积分上限应为ab3b ，但由于在b,3b区间 V ( x)0 ，故只需在b
11、,b 区间积分这时，n0 ，于是1bm 2b(b22)dxm 22xb1x3 b12。VV ( x)dxbxbbbm bab2a2a36（ 3），势能在 -2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V (x) V0Vm cos m x,Vm2m2b2b2b0V (x)cos mxdx12bbb0V ( x)cos m xdx 2bm2x dx第一个禁带宽度 Eg2 V1 ,以 m1代入上式 , Egb2x2 )cos1(b1b02b利用积分公式u2cosmuduumusin mu 2cos mu2sin mu 得m2m3Eg116m 2b2 第二个禁带宽度E2 V ,以m2代入上式 , 代
12、入上式3g22Eg 2m2(b2x2 )cosx dx 再次利用积分公式有Eg22m22b2bb0b12、能，结合能，体弹性模量计算正格子与倒格子的关系面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。晶体： 构成粒子 （原子， 分子， 集团）周期性排列的固体， 具有长程有序性， 有固定的熔点，具有自限性，各向异性和解理性特点的固体。布拉伐点阵： 晶体的周期性结构可以看作相同的点在空间周期性无限分布所形成的系统， 称为布拉伐点阵。布拉伐格子：在空间点阵用三组不共面平行线连起来的空间网格称为布拉伐格子。基元： 布拉伐格子中的最小重复单位称为基元。原胞： 在布拉伐格子中的最小重复区域称为原胞
13、。晶胞：为了同时反应晶体的周期性和对称性， 常常选取最小的重复单位的整数倍作为重复单元，这种单元称为晶胞对称操作 是指一定的几何变换。 如某物体如绕某一轴旋转一定角度或对某一平面作镜象反映等等 . 一种晶体可以有多种不同形式的对称操作， 描述晶体的对称性的方法就是找出能使它复原的所有对称操作。布拉菲晶格： 由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉菲晶格布里渊区： 在倒格子中， 以某个倒格点作为原点， 作出它到其他所有倒格点的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成有置外的相等区域，称为布里渊区。布洛赫定理： 晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波， 即电子的波函数具有以下形式：其中 k 为电子的波矢，Rn 是格矢，上述定理称为布洛赫定理。导致晶体能带对称性的原因：什么是回旋共振，观察到这种现象需要什么条件，它有什么用途在恒定外磁场的作用下，晶体中的电子（或空穴）将做螺旋运动，回转频率。若在垂直磁场方向加上一交变电场，当，交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为回旋共振。可以用回旋共振频率测定有效质量。恒定磁场下电子的运动