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1、等差数列知识点总结一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式p.若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1(n1)d(nm)dy 的等差中项，则 A .3等差中项如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x&#
2、160;和 y 的等差中项，如果 A 是 x 和xy24等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 mnpq，则 amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列(4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.nd(6)若 n 为偶数，则 S
3、;偶S 奇 2 ；若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)5等差数列的前 n 项和公式若已知首项 a1 和末项 an，则 Snna1an2，或等差数列an的首项是 a1，公差是 d，nn1则其前 n 项和公式为 Snna12d.Sn n2ça1 ÷n，数列an是等差数列的充要条件是 SnAn2Bn(A，B 为常数)6等
4、差数列的前 n 项和公式与函数的关系dædö2è2ø7最值问题小值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最大值，若 a10，d0，则 Sn 存在最na1an一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，2得：Sn.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元aaa aaa(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为， 2d， d， ，
5、0;d， 2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为， 3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 anan1 为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证 anpnq；(4)前 n 项和公式法：验证 SnAn2Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列回顾：1已知等差数列an中，a3=9，a9=3
6、，则公差 d 的值为（）AB1CD12已知数列an的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（）A以 7 为首项，公差为 2 的等差数列B以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C以 5 为首项，公差为 2 的等差数列D不是等差数列3在等差数列an中，a1=13，a3=12，若 an=2，则 n 等于（）A23B24C25D264两个数 1 与 5 的等差中项是（）A1B3C2D5
7、（2005 黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考点 1:等差数列的通项与前 n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例 1】已知a 为等差数列， an 15= 8, a = 20 ，则 a =60 75解：方法 1： Q í
8、Þ a = , d =îa= a + 59d = 2015 15ìa = a + 14d = 86441511601 a75= a + 74d =164 4+ 74 ´
9、; = 2415 15方法 2： Q d =60a- a20 - 8415 =，60 - 15451515 a754= a + (75 - 60)d = 20 + 15 ´ = 2460î60a + b = 20
10、6;方法 3：令 a = an + b ，则 í15a + b = 8n16 8Þ a = , b =45 3 a75= 75a + b = 75 ´16 8+ = 244
11、5 3a方法 4： Q 为等差数列，n a , a , a , a , a1530456075也成等差数列，设其公差为 d 1，则 a15为首项，a60为第 4 项. a a6075= a + 3d Þ 20 = 8 + 3d Þ d =
12、;415 1 1= a + d = 20 + 4 = 2460 1方法 5：a 为等差数列， (15, an 15), (60, a ), (75, a ) 三点共线60 75a- aa- a20 - 8a- 206015 =7560 Þ=7560
13、;- 1575 - 604515Þ a = 2475对应练习：1、已知a 为等差数列， anm= p, a = q （ m, n, k 互不相等），求 ank .2、已知5 个数成等差数列，它们的和为 5 ，平方和为 165 ，求这 5 个数.题型 2：已知前 n 项和 S 及其
14、某项，求项数.n1 及 d求项数n ；【解题思路】利用等差数列的通项公式a = a + (n - 1)d 求出 an 1，代入 Sn 可利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出a + a1n ，代入 Sn 可求项数 n .【例 2】已知San 为等差数列 n 的前
15、60;n 项和， a4= 9, a = -6, S = 63 ，求 n9 n解：设等差数列的首项为 a1ìa + 3d = 9，公差为 d ，则 í 1îa1 + 8d = -6Þ a = 18, d = -31 S =
16、;18n -n32n(n - 1) = 63 Þ n = 6, n = 71 2对应练习：3、若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，求这个数列的项数n .4. 已知San 为等差数列 n 的前 n 项和，a = 1, a
17、;= 7, S = 100 ，则1 4 nn =.题型 3：求等差数列的前 n 项和【解题思路】（1）利用 Sn 求出 an ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例 3】已知 S（1）an 为等差数列 n 的前 n 项和， Sa + a + a3
18、；1 2n= 12n - n 2 .求a + a + a + L + a1 2 3 10；求解： Qa + a + a + L + a1 2 3S = 12n - n 2 ，nn.1 ， a &
19、#160;= 13 - 2n .2a = S - Snna < 0 .时，nn-1 当 n = 1 时， a = S = 12 - 1 = 11 ，1 1当
20、 n ³ 2 时 ，= (12n - n 2 ) - 12(n - 1) + (n -
21、;1) 2 = 13 - 2n ，n = 1 时， 13 - 2 ´ 1 = 11 = a当n由 a = 13 - 2n ³ 0 ，得 n £ 13 ， 当 1 £ n £ 6 时
22、， a > 0 ；当 n ³ 7n na + a + a = a + a + a = S = 12 ´ 3 - 32 = 27 ；1 2 3 1 2 3 3（1）a + a + a&#
23、160;+ L + a12310= a + a + a + L + a - (a + a + a + a )1 2 3 6 7 8 9 10= 2S - S= 2(12 ´ 6 - 6 2 ) -&#
24、160;(12 ´ 10 - 10 2 ) = 52 ；6103）（1 £ n £ 6时 ，a + a + a + L + a = a + a + a + L&#
25、160;+ a = 12n - n 2 ，123n123n当n ³ 7时，a + a + a + L + a = a + a + a + L + a - (a + a + L + a )123n123678n= 2S&#
26、160;- S = 2(12 ´ 6 - 62 ) - (12n - n 2 ) = n 2 - 12n + 72.6n对应练习：5、已知 San 为等差数列 n 的前 n 项和， S10= 100, S100= 10 ，求 S110 .
27、考点 2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法： an+1a- a = d （ n Î N ， d 是常数） Û 是等差数n + n列；2、中项法：2an+1= a + ann+2a( n Î N ) Û 是等差数列；+ n3
28、、通项公式法：aa = kn + b （ k , b 是常数） Û nn是等差数列；4、项和公式法： Sna= An 2 + Bn （ A, B 是常数， A ¹ 0 ） Û n是等差数列.【例 4】已知 Snan为等差数列 n 的前 n
29、;项和， bn = Sn (n Î N + ) .求证：数列b 是等差数列.n2解：方法 1：设等差数列a 的公差为 d ， Snn= na + 1 n(n - 1)d1， b = S n = a +n
30、 2n11(n - 1)d2 2 2 bn+11 1 d- b = a + nd -&#
31、160;a - (n - 1)d =n 1 1（ 常数 ）n = a +n 2b 数列 n方法 2：b =n是等差数列.S 11(n - 1)d ，2
32、 2 bn+1= a + nd ， b = a + (n + 1)d1 n+2 11 1+ b = a + 1n+1 ，2 2bn+2n 1 1&
33、#160;11(n + 1)d + a + (n - 1)d = 2a + nd = 2b对应练习：6、设 Sb 数列 是等差数列.nan 为数列 n 的前 n 项和，Sn= pna (n Î N ) ，a = a .n + 1
34、0;2（1）常数 p 的值；（2） 证：数列a 是等差数列.n考点 3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.= 100 ，则 S = ；【例 5】1、已知San 为等差数列 n 的前 n 项和， a6112、知Sn为等差数列a 的 前 nn项和，&#
35、160;S = m, S = n(n ¹ m) ，则n m解：1、 S= 11(a + a )2 2Sm+n =.111 11 =11 ´ 2a6 = 11a6= 1100 ；2、方法
36、1：令S = An 2 + Bn ，则nî Am 2 + Bm = nì An 2 + Bn = míÞ A(n 2 - m 2 ) + B(n - m) = m - n .Q n ¹ m&
37、#160;， A(n + m) + B = -1 ， Sm+n= A(m + n ) 2 + B(m + n ) = -(m + n ) ；方法 2：不妨设 m > nS - S = amnn+1+ an+2+ an+3+
38、;L + am-1+ a =m(m - n)(an+12+ a )m= n - m. a + a1m+n= an+1+ a = -2 ，m Sm+n =(m + n)(a + a12m+n)= -(m + n) ；î n þ方法 3： Qaý
39、; 是等差数列， ìí S n ü 为等差数列n ç n,n ÷, ç m,m ÷, ç m + n, m+n ÷ 三点共线.SæS öæS öæöèn øèm &#
40、248;èm + n øSnmnm+n- mn = m + nm Þ Sm - nnm+n= -(m + n) .对应练习：7、含 2n + 1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）B. C.
41、 D.A.n2n + 1 n + 1 n - 1 n + 1n n
42、0;2nn = 7n + 28. 设 Sn、 Taan 分别是等差数列 n 、 n 的前 n 项和，SnT n + 3 ，则a5 =.b5考点 4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出 T 后，判断nTn 的单调性
43、.n 2 + n ；数列 b 满足： b = 11 ，2 2【例 6】已知 San 为数列 n 的前 n 项和， Sn =1 11n 3bn+2= 2bn+1- bn，其前9 项和为 153.数列ab 、 的通项公式；n n项
44、和， c = 6设 Tnc为数列 的 前 nnn (2a - 11)(2b - 1) ，求使不等式n nT >nk57对 "n Î N + 都成立的最大正整数 k 的值.解： Q S
45、0;= n 2 + n ，2 2111n 当 n = 1 时， a = S = 6 ；11当n ³ 2时 ，1&#
46、160; ， a = n + 5 ；a = S - Snnn-11 11 1 11= n 2 + n - (n - 1) 2 -&#
47、160; (n - 1) = n + 52 2 2 2n = 1 时， 1 + 5 = 6 = a当nn+1 = b 是等差数列，
48、设其公差为2 ， Q bn+2= 2bn+1- b Þ b n n+2b + bn nd .9b + 36d = 153îìb + 2d = 11则 í 11Þ b = 5, d = 3 ，1(2a &#
49、160; - 11)(2b - 1) b = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2 .nQ c =6nnn= 2(n + 5) - 112(3n + 2) - 16= 211=-(2n - 1)(2n
50、;+ 1)2n - 12n + 1 T = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + L + ( - ) = 1 -3
51、 3 5 5 7 2n - 1 2n + 1 2n + 111111111nQ n Î N+， Tn 是单调递增数列. 当 n = 1 时，&#
52、160;(Tn min = T = 1 -)11 2=3 3"n Î N 都成立 Û (T )n min > Û > Û k < 3857
53、60; 57 3 57 T >nk
54、60; k 2 k对+ 所求最大正整数 k 的值为 37 .对应练习：9.已知 San 为数列 n 的前 n 项和， a1= 3 ， S Snn-1= 2a (n ³ 2) .n数列a 的通项公式
55、；n数列a 中是否存在正整数 k ，使得不等式 ank> ak +1 对任意不小于 k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数 k ，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010 广雅中学)设数列a 是等差数列，且 an2= -8 ，a = 5 ，S15n 是数列 an的前 n项和，则11
56、B S > S11 C S = S10 D S < SAS = S10 10 9 9 102.
57、在等差数列a 中， an5= 120 ，则 a + a + a + a = .2 4 6 83. 数 列aa = 2n - 49 ，当数列 a 中 ，
58、; 的 前 nn n n项和 Sn 取得最小值时，n =.4.已知等差数列a 共有 10 项，其奇数项之和为 10 ，偶数项之和为 30 ，则其公差n是.5.设数列a 中， an 1= 2, an+1= a + n + 1 ，则通项 a =
59、0; .n n6.从正整数数列1,2,3,4,5,L 中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第m - n k - n m - n k - n m - n1964
60、60;项是.答案与解析：对应练习：1、【解析】a - aa - ap - qa - qp(k - n) + q(m - k )mn =kn Þ=kÞ a =k2、【解析】设这 5 个数分别为 a - 2d , a - d , a, a + d
61、0;, a + 2d . 则ì(a - 2d ) + (a - d ) + a + (a + d ) + (a + 2d ) = 5ìa = 1íÞí &
62、#160; î(a - 2d )2 + (a -&#
63、160;d )2 + a 2 + (a + d )2 + (a + 2d )2 = 165î5a 2 + 10d 2 = 165解得a = 1, d = ±4当 a = 1, d = 4 时，这 5 个数分别为：
64、0;- 7,-3,1,5,9 ；当 a = 1, d = -4 时，这 5 个数分别为： 9,5,1,-3,-7.3、【解析】 Q a + a + a + a = 36, a + a1234nn-1+ an-2+ an-3= 124a + a = a + a1
65、n2n-1= a + a3n-2= a + a4n-324、【解析】设等差数列的公差为 d ，则 d =4 4(a + a ) = 160 Þ a + a = 401n1n S = n(a1 + an ) = 780 Þ 20n =
66、60;780 Þ n = 39na - a7 - 11 =4 - 13= 22ì10a + 45d = 100a =-505、 解析】方法 1：设等差数列的公差为 d ，则 íÞí【1S = n +n(n - 1) ´
67、60;2 = 100 Þ n = 10 .nì11ï 11î100a1 + 4950d = 10ïd = 1099î1002 S1101= 110a + ´ 110 ´ 109d = -110 ；1- S= &#
68、160; = -90 Þ a + a2方法 2： Q S10010 11 10090(a + a )11 100= -2110 = =
69、 = -110110(a + a)110(a + a)S111011100226、【解析】 Q S = pnann ， a1 = a2 ， a1 = pa1 Þ p = 1由知：S = nann ，当n ³ 2 &#
70、160; 时 ，a = S - Snnn-1= na - (n - 1)ann-1Þ (n - 1)(a - ann-1) = 0 ， a - ann-1a= 0(n&
71、#160;³ 2) ， 数列 n是等差数列.7、 【解析】 （本两小题有多种解法）Q2n+1 = (n + 1)(a + aS= a + a + a + L + a奇135122n+1)S= a + a + a + L + a偶2462n&#
72、160;=n(a + a )2 2n2， a1 + a2n+1 = a2 + a2n SS奇 =偶n + 1n. 选 B.8、【解析】 an =bnS2n-1 =T2n-17(2n - 1) + 2 14n - 5 a 14 &
73、#180; 5 - 5 65= Þ 5 = = 填(2n - 1) + 3 2n + 2 b 2 ´ 5
74、 + 2 1256512.9、【解析】当 n ³ 2 时， S Snn-1= 2a Þ S Sn nn-1= 2( S - Snn-1) 12
75、0; ，且= ， a 是以 -3 2其首项为 13.1 1 1- =-S S Sn n-1 11 &#
76、160; 1n为公差的等差数列，S2 6 5 - 3n1Sn1 1 5 - 3n
77、; 6= - (n - 1) = Þ S =n12nn-1 当 n ³ 2 时， a = 1 S Sn=18(3n - 8)(3n - 5)ì3(n = 1)18 &
78、#160;18 ï当 n = 1 时，= ¹ a ， í(3 - 8)(3 - 5) 10ïî (3n - 8)(3n - 5)118(n ³ 2) ；k +1 =&#
79、160; 18a - ak2 5 8> 0 ，得 < k < 或 k > ，(3k - 8)(3k - 5)(3k - 2) 3
80、; 3 3 当 k ³ 3 时， a > akk +1 恒成立，所求最小的正整数 k = 3.2 2
81、 21 【课后练习： 、 解析】C S =9a + a a + a + d (a + d ) + a2 16 = 2 15 , S = 2 15 Þ S109= S1015 - 8
82、0; 7 7另法：由a = -8 ， a = 5 ，得 d =2 155 - (-8) 13 69= &#
83、160; ， a = a - d =1 2，计算知 S = S9102、【解析】 480a + a + a + a = 4a = 480.24685【a3、 解析 】 24由 a = 2n - 49 知 是等差数列， a > 0 Þ n > 25. nnnn = 24.4、【解析】 4 已知两式相减，得5d = 20 Þ d = 4.5、【解析】12n(n + 1) + 1 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳猜想证明的方法.6、【解析】2008