成都七中 2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题.docx

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1、成都七中 20182019 学年度下期 2020 届高二半期考试数学试卷（文科）考试时间：120 分钟总分：150 分一.选择题（每小题 5 分，共 60 分）1、复数 2 - 3i 的虚部为（）A.2B. -3i              C. 3i    

2、           D. -32、已知 f (x ) = x2 ，则 limDx®0f (x + Dx )- f (x )Dx= （   ）6、以下不等式在 x > 0 时不成立的是（   ）6 

3、60;             B.  p4               C.  p3               D. 

4、; p8、在 DABC 中，  1p                C.   64p               D.  494p     

5、         B.  9A. x 2B. 2 xC. (Dx )2D. Dx3、函数 f (x ) = x3 - 2x2 - 3 的导数为（）A. f ¢ (x ) = 3x2 - 4 xB. f 

6、;¢ (x ) = 3x2 - 4 x - 3C. f ¢ (x ) = 3x2 - 2 xD. f ¢ (x ) = 3x2 - 2 x - 34、正方体 ABCD - A B C D 中，点 E、

7、F 分别是 CC ，D B 的中点，则 EF 与 AB 所成角的大小为（）11111111A. 30°B. 60°C. 90°D.120°5、函数 f (x ) = 2 x - sin x 在 0,2p 的最小值为（）A.0B. pC. 2pD. 4pA. ln x&#

8、160;< xB. x < exC. ln x + 1 > exD. ex > 1 + x7、已知 P - ABC 为正三棱锥，则 PA 与 BC 所成角大小为（）A. p2119111116+³；在四边形 ABCD 中，+³；在五边形 ABCD 中，ABCpABCD2p11

9、11125111111+³.则在六边 ABCDE 中，+³ x ，x 的值为（）ABCDE3pABCDEFA. 254p9、日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用（单位：元）为 c (x ) =5284（ 80 < x < 100 ）.当净化到 95% 时所需

10、净化100 - x费用的瞬时变化率为（）元/吨.A.5284B.1056.8C.211.36D.105.6810、为了判断我校学生选文科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，得到如下 2 ´ 2 列联表：男女合计理科13720文科102030合计232750ræ         æ xp öö  ræ  

11、 æ x   p öö11 、 已 知 向 量 a = ç sin x + cos x, tan ç + ÷   ， b = ç1,tan ç   , ÷ &#

12、160; ， f  (x ) = a × b ， x Î 0,p  ， 且» 0.05， P已知 P (K 2 ³ 3.841)(K 2 ³ 5.024)» 0.025.50 ´ (13 ´ 20 -

13、10 ´ 7 )2根据题目数据，得到 K 2的观测值 k =» 4.844 ，则认为选文科与性别有关系出错的23 ´ 27 ´ 20 ´ 30可能性不超过（）A. 5%B.10%C.15%D. 25%r røøè 24 ø ÷èèè 2 4

14、 ø ÷f (x )+ f ¢ (x ) = -1，则 x 的值为（）4               C.  pB.  pA. p26         

15、0;     D.不存在A. (-¥,1       B. ç  -¥,   úe û         C. 1,+¥ )     D. ê 

16、0; , +¥ ÷12、已知 axex - ln x - x -1 ³ 0 对 x > 0 恒成立，则 a 的范围是（）æ1 ùé 1öèë eø二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案

17、填在答题卷的横线上.）13、复数52 - i的共轭复数为_.14、正四面体 OABC 的棱长为 2，点 D、E 分别是边 AB ， OC 的中点，则 DE = _.15、设 f (n ) > 0 （ n Î N * ）， f (2) = 4 ，对 "n 

18、， n Î N * ， f (n + n1212) = f (n ) f (n )成立，则 f (5) =1 2_.16、设函数 f (x ) = x2 + 2 x - ln x ，若关于 x 的方程 f (x )

19、60;= x2 + x + a 在 ( 0, 2 上恰有两个相异实根，则实数 a 的范围是_.三.解答题（17 题 10 分，18-22 每小题 12 分，共 70 分.）17、（1）已知 2i - 1 （i 是虚数单位）是关于 x 的方程 mx + n -1 = 0&

20、#160;的根，m，n 为实数，求 m + n 的值；（2）已知 2i - 1 （i 是虚数单位）是关于 x 的方程 x2 + mx + n -1 = 0 的一个根，m，n 为实数，求 m + n 的值.18、如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB

21、 垂直于 AD 和 BC ，侧棱 SA  底面 ABCD ，且 SA = AB = BC = 2 ， AD = 1 .（1）求三棱锥 S - BCD 的体积；（2）求直线 SB 与 CD 所成角的余弦值.19、已知函数 f (x ) =  

22、1x3 -ax2 + (a - 1) x + 1 ，a 为实数.（1）当 a ³ 2 时，讨论 f (x )的单调性；132（2）若 f (x )在区间 1,4 上是减函数，求 a 的取值范围.20、已知数列 an中， a1= 3 ， nan+1= (n + 1)a&#

23、160;- 1 .（1）求 a ， a ， a 的值；（2）猜想数列 a 的通n 2 3 4 nT  <ý 的前 n 项和   n项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证：数列| íînn+1 þì1üa a16.21、已知如图，直线 PQ 是抛物线 x2

24、 = 2 py （ p > 0 ）和圆 C： (x - 3)2 + y2 = 1的公切线，切点（在第一象限）分别为 P、Q.F 为抛物线的焦点，切线PQ 交抛物线的准线于 A，且 PA = 2 PF .（1）求切线 PO 的方程；（2）求抛物线的方程.22.设 l 为曲线 C： y&

25、#160;= ln x 在点 (1,0 ) 处的切线.（1）求 l 的方程；（2）证明：除切点(1,0 ) 之外，曲线 C 在x111n(n-1)2直线 l 的下方；（3）求证： 2 2 × 33 ×L × n n < e（其中 n Î N * ， n&

26、#160;³ 2 ，e 为自然对数的底数）.成都七中 20182019 学年度下期 2020 届高二半期考试数学试卷（文科）答案1D2B3A4C5A6C7D8B9C10A11D12C13、 2 - i14、 215、3216、 (1,2 - ln 217、解：（1）由已知得 m (2i -1)+ n -1 = 0 ， (n - 

27、m - 1)+ 2mi = 0 ，ìn - m -1 = 0,ìn = 1,í解得 í2m = 0,îîm = 0. m + n = 1 .（2）由已知得 (2i -1)2 + m (2i -1)+ n -1 

28、= 0 ，(n - m - 4)+ (2m - 4)i = 0 ，ìn - m - 4 = 0,ìn = 6,í解得 í2m - 4 = 0,îîm = 2. m + n = 8 .18.解：（1）VS

29、0;-BCD1         1 1         4= S × SA = ´ ´ 2 ´ 2 ´ 2 = .3 BCD 3 2     

30、0;   3（2）以 A 为坐标原点，以 AD 、 AB 、 AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.则 S 0,0,2 ， B 0,2,0 ， C 2,2,0 ， D 1,0,0 .uuruuurSB0,2, 2 ， CD1, 2,0 ，SB   CD 

31、    10uur uuuruur uuurrcos SB ,CDuuruuuSB CD 5.所以直线 SB 与 CD 所成角的余弦值为105.方法 2延长 DA 到 M ，使得 AM1 ，连接 SM ， BM .由 DM  CB ， DMCB ，得四边形 BCDM为平行四边形，

32、从而 BM  CD .所以SBM 是直线 SB 与 CD 所成角.Q SA面 ABCD ，SAAB ， SAAD .又 SAAB2 ，则在 SMB 中， SMBM5 ，又 SB2 2 ，所以取 SB 的中点 N ，连接 MN ，则 cos MBN25所以直线 SB

33、60;与 CD 所成角的余弦值为10.5105.19.解：（1） f xx2ax a 1x 1 xa 1当 a 1 1 即 a2 时， f xx 1 20 ， f x 在 R 上单调递增；当 a 1 1 即 a2 时，由 f x0 得 x 

34、1 或 xa 1 ，由 f x0 得1xa 1 . f (x ) 分别在 (-¥,1)与 (a - 1, +¥ )单调递增，在 (1, a - 1) 单调递减.综上所述，当 a = 2 时， f (x )在 R 上单调递增；当 a 

35、;> 2 时， f (x )分别在 (-¥,1)与 (a - 1, +¥ )单调递增，在 (1, a - 1) 单调递减.（2）由已知得 f ¢ (x ) = x2 - ax + a - 1 £ 0 在区间 1,4 上恒成立

36、. a (x - 1) ³ x2 - 1 在区间 1,4 上恒成立.当 x = 1 时， a Î R .n+1  =  n + 120.解：（1）由已知得， aa  - ，又 a  = 3 .n    

37、; n当1 < x £ 4 时， a ³ x + 1 .而 y = x + 1 在 x = 4 时， ymax综上 a ³ 5 .1n1所以 a = 5 ， a = 7 ， a = 9

38、 .234（2）猜想 a = 2n + 1.证明：n当 n = 1 时， a = 3 ，等式成立；1假设当 n = k 时，等式成立，即 a = 2k + 1 ，k= 5 ，则 a ³ 5 .=        

39、   =                =        = 2k + 3 = 2 (k + 1)+ 1.当 n = k + 1 时， ak +1(k 

40、;+ 1)a - 1  (k + 1)(2k + 1)- 1 2k 2 + 3kkk            k           k n = k + 1时，等式成立由可知，

41、60;a = 2n + 1成立na a(2n + 1)(2n + 3)2 è 2n + 12n + 3 ÷ø ，（3）证明：令 b =1nnn+11        1 æ 1     1  ö

42、;=               = ç    -T = b + b + L + bn12n-1+ bn=ç   -+-+ L  +   -   +  

43、; -    ÷=ç   -    ÷1 æ 11111111ö2 è 35572n -12n + 12n + 12n + 3 ø1 æ 11ö2 è 32n + 3 ø1

44、0;11<´=.2 3621.（1）如图，过 P 作 PH  准线于 H.由 PF = PH ，知 PA = 2 PH ，则 ÐPAH = 30° .3PQ =3 k.设切点 Q (x , y ) ，又 C (3,0 )，则 K00QC

45、0;=y0x - 30=- 3 ，  y  =   ，则  Q çç   ,22  ÷ø2÷ .è又 (x0- 3)2 + y2 = 1  由解得 x =0 05203 æ 5  

46、3 ö=    x -   ÷ ，即 y =2   3  è  2 ø切线 PQ 的方程为 y -3   3 æ  5 öç3    3x -3  &

47、#160; 3.（2）由抛物线方程 y =   ，求导数得  y¢ =  ，设切点 P (x , y )，则 x2 = 2 py  .2 p             p所以点 P 处切线方程为 y&#

48、160;- y  =  x ( x - x )，即 y =1 x - y .p              px 2x1111x11113    3    ï p由（1）可知切线方程为

49、0; y =        ，í3    3ïî y1 =ï x1 =3     ï y  =.ì xï1 =ï3 ï,3 ì，则 í3 ïî

50、0;13333p,.代入 x2 = 2 py ，得111 3p2 = 2 p ×   ，则 p = 2 3 ，抛物线方程为 x 2 = 4 3 y .3        3（ x > 0 ），则  

51、;f ¢ (x ) =    （ x > 0 ），22.（1）解：设 f (x ) =ln x                  1 - ln xx    

52、0;               x2从而曲线在点 (1,0 ) 处的切线斜率为 k = f ¢ (1) = 1 ，于是切线方程为 y - 0 = 1× (x - 1)，即 y = x -1 

53、;，因此直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 .（2）令 g (x ) = x - 1 - f (x )（ x > 0 ），则除切点 (1,0 ) 之外，曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g (x ) > 

54、0 （任意 x > 0 ， x ¹ 1 ）.Q g (x ) 满足 g (1) = 0 ，且 g ¢ (x ) = 1 - f ¢ (x ) =x2 - 1 + ln xx2（ x >&#

55、160;0 ， x ¹ 1 ）当 0 < x < 1 时， x2 -1 < 0 ， ln x < 0 ，从而 g ¢ (x ) < 0 ，于是 g (x )在 (0,1) 单调递减；当 x >&

56、#160;1 时， x2 -1 > 0 ， ln x > 0 ，从而 g ¢ (x ) > 0 ，于是 g (x )在 (1,+¥ )单调递增.因此 g (x ) = g (1) = 0 （任意 x > 0

57、 ， x ¹ 1 ），除切点 (1,0 ) 之外，曲线 C 在直线 l 的下方.（3）证明：方法 1 由（2）可知 ln x < x - 1 （任意 x > 0 ， x ¹ 1 ）.x令 x = n .得ln nn11 

58、;                                  1               

59、0;     1< n - 1 ，即 ln n n < n - 1 .则 ln 2 2 < 1 ， ln 33 < 2 ， ln n n < n - 1 .111将以上各式相加得 ln 2&

60、#160;2 + ln 33 + L + ln n n < 1 + 2 + L + n - 1 =n (n - 1)2，从而 ln ç 2 2 × 33 ×L  × n n ÷ <

61、;     ，即 2 2 × 33 ×L  × n n < e22æ111 ön (n - 1)111n(n-1)èø方法 2：用数学归纳法证明（其中 n Î N * ， n ³ 2 ）要证 2

62、  × 3  ×L  × n   < eÛ ln ç 2 2 × 33 ×L  × n n ÷ < ln ç e2÷è      

63、;      ø    è     ø11123nn(n-1)2æ 1 1        1 ö æ n(n-1) öç     ÷111Û ln&#

64、160;2 2 + ln 33 + L + ln n n <n (n - 1)2Û1     1        1 n (n - 1)ln 2 + ln 3 + L + ln n

65、60;<      （ n Î N * ， n ³ 2 ）（*）2     3        n        2以下用数学归纳法证明（*）当 n = 2 时，左边 

66、;=12ln 2 ，右边 =2 ´ (2 - 1)2= 1 ，左边 < 右边，不等式成立.假设当 n = k 时不等式成立，即1     1        1 k (k - 1)ln 2 + ln 3 + 

67、;L + ln k <      .2     3        k        2当 n = k + 1 时，由（2）可知ln xx< x - 1 （任意 

68、;x > 0 ， x ¹ 1 ），则ln (k + 1)k + 1< (k + 1)- 1 = k .   ln 2 +   ln 3 + L  +ln k +   ln  (k 

69、;+ 1) < k  k - 1  +   1   ln (k + 1)k (k - 1)   k 2 + k (k + 1)k(k + 1)éë(k + 1) - 1ùû1111()23kk + 12k + 1<+ k =2222 n = k + 1时，不等式成立.由可知（*）成立.111即 2 2 × 33 ×L × n n < en(n-1)2（其中 n Î N * ， n ³ 2 ，e 为自然对数的底数）.