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1、三角恒等变换一、选择题（共 12 小题；共 60 分）1. 如图所示，正方形的边长为 ，延长至 ，使 ，连接 ， ，则A. B. C. D.2. 在中，已知 ， ，则的值为A. B. C.或D.3. 中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图 ）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则图中菱形的一个锐角的正弦值为A. B. C. D.4. 在中， ，是方程的两根，则A. B. C. D.5. 计算：A. B. C. D.6. 在边长为的正方形中，已知为线段的中点，为线段上的一点，若线段，则A. B.C. D. 7.
2、若 ，且 ，则的值为A. B. C. D.8. 设 ，且 ，记 ，则的最小值为A. B. C.第 1 页（共 9 页）D.9. 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若边上的高为 ，则最大值是A.B. C. D.10. 已知 ， ，则A. B. C. D.11. 式子满足 ，则称为轮换对称式给出如下三个式子： ； ；（ ， ， 是的内角）其中，为轮换对称式的个数是A. B. C. D.12. 已知函数依次记为 ， ， ， ，则的图象与直线等于相交，若在轴右侧的交点自左向右A. B. C. D.二、填空题（共 5 小题；共 25 分）13. 已知 ，且 ，（ ）若 ，则 ；（ ）14. 已
3、知的最大值为 为锐角，且，则 15. 若 函 数的 最 大 值 为 ， 则16. 已 知 ，是 函 数在内 的 两 个 零 点 ， 则17. 如图，在同一个平面内，向量 ， ，的模分别为 ， ， ，与的夹角为 ，且，与的夹角为 若 ，则 三、解答题（共 5 小题；共 65 分）18.， ， ，求的值第 2 页（共 9 页）19. 已知函数 ，将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位，得到函数的图象将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（1）求的值；（2）若函数的图象关于原点对称，求的最小值；（ 3 ）设的三个内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且，求当时，函
4、数在上的取值范围20. 已知中， ，外接圆半径为 （1）求 ； （2）求面积的最大值21. 在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 已知 ，且 ， ，成等比数列（1）求 （2）求角 （3）求22. 已知动圆的值；的大小；的值过定点 ，且与直线相切；椭圆的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点 ， 是其一个焦点，且点在椭圆上（1）求动圆圆心的轨迹的方程和椭圆的方程（2）过点作直线 交轨迹于 ， 两点，连接 ， ，射线 ，交椭圆于， 两点，求面积的最大值（ 3 ）过椭圆上一动点作圆的两条切线，切点分别为 、 ，求的取值范围第 3 页（共 9 页）答案第一部分1. B2. A3. A4. A【解析】由 ，
5、是方程的两根，可得 ， ，所以 因为 ，所以 ，所以 5. A由【解析】6. C【解析】设 ，则 ， ，因为 ，解得 ，所以， ，又因为，所以.7. D8. B【解析】设 ， ，由题意可知 ， 不平行，设与的夹角为 ，则 ，那么以和为边长的三角形的面积为第 4 页（共 9 页）所以 ，所以记 ，则 ，所以所以其中 ，解得 ，所以 9. C10. B11. C 【解析】根据 ，可得 ， ， 所以 ，故是轮换对称式根据函数 ，则 ，由故不是轮换对称式同理可得 ， ， 所以 ，故是轮换对称式12. A 【解析】，令 ，得所以或 ， ，或 ， ，因为与直线在轴右侧的交点自左向右依次为 ， ， ， ，所
6、以 ， ， ， ， ， ， 所以 ，所以 第 5 页（共 9 页）第二部分13.，14.15.【解析】因为函数的最大值为 ，所以 ，可得 16.【解析】 ，是函数在内的两个零点，可得，即为 ，即有，由 ，可得 ，可得 ，由 ，可得由 ，即有17.第三部分18. 由，得 ， ，又 ， ，所以 ， ，所以19. （1） 因为 ， 所以 函数因为的周期为第 6 页（共 9 页）所以（2） 因为函数的图象关于原点对称，所以 ，即 ，所以因为 ，所以 ， （3） 因为 ，由余弦定理可变形为由正弦定理：因为 ，所以 ，因为 ，所以 当时， 因为 ，所以，则 因为所以 20. （1） 由又因为 ，所以 所以
7、 所以 又因为 ，所以 ，得 第 7 页（共 9 页）（2）所以当 ，即时，21. （1） 因为 ，所以 由 ，得 ， 展开，整理得 （2） 因为 ， ， 成等比数列， 所以 ，由正弦定理得 ， 所以 因为 ，所以 ，又因为边不是最大边，所以 （3） 因为 ， 所以所以，所以，22. （1） 因为动圆过定点 ，且与直线相切，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点、以直线为准线的抛物线，从而动圆圆心的轨迹的方程为 设椭圆的方程为 ，第 8 页（共 9 页）由题意，得 ，则 ，所以椭圆的方程为 （2） 设直线 的方程为 ，得 设 ， ，则 ，从而 所以 ，即设的方程为 ，由 ，得 ，解得 ，所以同理可得所以令 ，所以当 ，即时，（3） 设 ，动点到圆心的距离为 ，则 令 ，则，根据对勾函数的性质，得 ，即因此，第 9 页（共 9 页）