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1、ooo o o o oo第四章 三角函数一 任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向， 旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角； 当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系 x 轴正半轴作为角的起始边， 叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。2、特殊命名的角的定义：(1) 正角，负角，零角 ：见上文。(2) 象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴
2、上的角终边在 x 轴上的角的集合：终边在 y 轴上的角的集合： b| b=k ´180 , k ÎZ b| b=k ´180 +90 , k ÎZ终边在坐标轴上的角的集合： b| b=k ´90 , k ÎZ(4)终边相同的角：与 a终边相同的角x =a+2kp(5)与 a终边反向的角：x =a+(2 k +1)p终边在 y=x 轴上的角的集合： b| b=k ´180 +45 , k ÎZ终边在 y =-x轴上的角的集合： b| b=k ´180 -45 , k ÎZoo oo(6)若角 a
3、与角 b 的终边在一条直线上，则角 a与角 b的关系： a=180 k +b(7)成特殊关系的两角若角 a与角 b的终边关于 x 轴对称，则角 a与角 b的关系： a=360ok -b若角 a与角 b的终边关于 y 轴对称，则角 a与角 b的关系： a=360 k +180 -b若角 a与角 b的终边互相垂直，则角 a与角 b的关系： a=360 k +b±90o注：(1) 角的集合表示形式不唯一.(2) 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.3、本节主要题型：1.表示终边位于指定区间的角.1:写出在-720°到720°之间与-1050°的终边相
4、同的角.2:若a是第二象限的角,则2a,a2是第几象限的角?写出它们的一般表达形式. 3:写出终边在y轴上的集合.写出终边和函数y =-x的图像重合,试写出角 a 的集合. a在第二象限角,试确定2a,a a,2 3所在的象限. q 角终边与168°角终边相同,求在0 °,360 °)内与q3终边相同的角.（二）弧度制1、弧度制的定义：a =lR2、角度与弧度的换算公式：360°=2 p180°= p1°=0.01745 1=57.30°=57°18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
5、一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型（1）角度与弧度的互化例:315°,330 °,76p,43p（2）a =L 1 1 ， l =ra, s = lr = rR 2 22a的应用问题1:已知扇形周长10cm,面积4cm2,求中心角.2:已知扇形弧度数为 72°,半径等于 20cm ,求扇形的面积.23:已知扇形周长 40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.4:a =-570°, 1a =750°, 2b =13 7 p, b =- p5 3a.求出a ,1a2弧度,象限.b.b, b12用角度表示出,并在-720° 0
6、6;之间找出，他们有相同终边的所有角.二 任意角三角函数二 角函数的定义1、任意角的三角函数定义正弦 sina =y x y x , 余弦 cos a = , 正切 tan a = , 余切 cot a =r r x y2、三角函数的定义域： 三角函数定义域f ( x) =sinx f ( x) =cosxf ( x) =tanxx|x ÎRx|x ÎRì 1 ü íx | x ÎR且x ¹kp+ p, k ÎZ ý î 2 þf ( x) =cotxx | x ÎR且x &
7、#185;kp, k ÎZ同角三角函数的基本关系式1同角三角函数关系式(1)sina×csca =1 ， cosa×seca =1 ， tana×cota =1(2)商数关系：sin acos acos a=tan a =cot asin a(3)平方关系：sin2a+cos2a =1，1 +tan2a =sec2a，1 +cot2a =csc2a（4）诱导公式sin(2kp+x) =sin x cos(2kp+x) =cos x tan(2kp+x) =tan x cot(2kp+x) =cot xsin(p+x) =-sin x cos(p+x) =
8、-cos x tan(p+x) =tan x cot(p+x) =cot xsin(p-x) =sin x cos(p-x) =-cos x tan(p-x) =-tan x cot(p-x) =-cot xsin(-x) =-sin x cos(-x) =cos x tan(-x) =-tan x cot(-x) =-cot xsin(2p-x) =-sin x cos(2p-x) =cos x tan(2p-x) =-tan x cot(2p-x) =-cot x1sin( p-a)=cos a 2cos( p-a)=sin a 21tan( p-a)=cot a 21cos(21sin(
9、21tan(2p+a)=-sin ap+a)=cos ap+a)=-cot a三 三角函数的图像与性质 （一）基本图像：1正弦函数2余弦函数3正切函数4.余切函数（二）、函数图像的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y =sin xy =cos xy =tan x y =cot x定义域RRx| x ÎR且 1x ¹kp+ p 2x| x ÎR且x ¹kp值域-1,+1 -1,+1RR周期2p2ppp奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数-p2p+2 kp, 2+2 kp上为(2k-1)p, 2kp增函数上为æ p pç- +kp, +
10、k è 2 2为增函数 ( k ÎZ )pö÷ø上(kp,kp+p)上为减函数 ( k ÎZ )单调增函数p +2 kp, 23p+2 kp 2上为减2kp,(2k+1)p上为减函数函数(k ÎZ)(k ÎZ)px =kp+kpkpp对称对称轴为，对称2中心为 ( kp,0) ， k ÎZ对称轴为 x =kp ， 对称中心为p ( kp+ ,0)2k ÎZ无对称轴， 对称中心为( ,0) k ÎZ 2无对称轴， 对称中心为( ,0) k ÎZ 2（三）、常见结论：1.y =
11、sin x 与 y =cos x的周期是 .2.y =sin(wx +j)或 y =cos(wx +j)(w¹0)的周期T =2pw.3.y = tanx2的周期为 2p.4.y=sin(wx +j)的对称轴方程是x =kp+p2( k ÎZ )，kp,0对称中心()；y =cos(wx +j)的对称轴方程是x =kp( k ÎZ )，1对称中心( kp+ p,0 )；2y =tan(wx +j)的对称中心(kp2,0).5.当 tan a· tan b =1,a+b=kp+p2( k ÎZ )；tana·tanb=-1, a-b=k
12、p+p2( k ÎZ )6.函数y =tan x 在 R上为增函数.(×)只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y=tan x为增函数，同样也是错误的.7.奇函数特有性质：若0 Îx的定义域，则 f ( x)一定有f (0) =0.( 0 Ïx 的定义域，则无此性质) 8.y =sin x 不是周期函数；yy =sin x为周期函数( T =p)；xy =cos x 是周期函数(如图)；y = cos x为周期函数( T =p)；y=cos|x|图象y = cos 2 x +12的周期为 p (如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y1/
13、2xy =|cos2 x+1/2|图象四 和角公式两角和与差的公式cos(a+b)=cos acos b-sin asin btan(a+b)=tan a+tan b 1 -tan atan bcos(a-b)=cosacosb+sinasinb2tan(a-b)=tan a-tan b 1 +tan atan bsin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sin acos b-cos asin b五 倍角公式和半角公式 sin 2a=2 sin acos aa 1 -cos a sin =±2 2cos 2a=cos2a-sin2a=2 cos2a-1=1 -2 sin2aa 1 +coscos =±2 2atan 2a=2 tan1 -tanaaa 1 -cos a sin a 1 -cos tan =± = =2 1 +cos a 1 +cos a sin aa