《3对数及其运算 - 拔高 - 讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3对数及其运算 - 拔高 - 讲义.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、b对数及其运算 知识讲解一、对数的概念1. 对数的概念：如果a =N（ a >0，a ¹1），那么b叫做以 a 为底 N 的对数，记作log N =baa b =N Û log N =ba（ a >0， a ¹1， N >0）2.对数恒等式： a log aN=N 3.对数的性质：（1） 0 和负数没有对数，即 N >0 ;（2） 1 的对数为 0 ，即 log 1 =0a；（3）底的对数等于 1 ，即 log a =1a4.常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数为了简便，通常把底 10 略去不写，并把"log"写成
2、 "lg"，即把 log N 10记做 lg N .5.自然对数： 在科学技术中，常常使用以无理数 e =2.71828L 为底的对数以 数叫做自然对数 log N 通常记作 ln N e二、对数的运算1.积、商、幂的对数：e 为底的对loga(MN)=log M +log N a alogaMN=log M -log N a annloga，log M =n log M （ M >0 ， N >0 ， a >0 ， a ¹1 ） a a2.换底公式：log N =alog Nmlog am( a >0 ，a ¹1; m >
3、0 ，m ¹1)log b =a1log ab， logab n = bm m a3.对数恒等式： alog N= N4.常用结论：log 1 =0 log a =1 a aab20172017a𝑎3典型例题一选择题（共 6 小题）1（2017 春杭州期末）若 a2017=b（a0，且 a1），则（ ）Alog b=2017 Blog a=2017 Clog a=b Dlog b=a【解答】解：若 a故选：A2017=b（a0，且 a1），则 2017=log b，11 （2015 秋温州校级期中）函数 f（x）=（ ） 𝑥22𝑥2的单
4、调递增区间为（ ）A（，11 1B2，+） C（， ） D（ ，+）2 2【解答】解：令 u（x）=x2x20，解得 x2 或 x1函数 f（x）的定义域为：（，12，+）1根据复合函数的单调性可知：函数 f（x）=（ ）2定义域内求 u（x）的单调递减区间𝑥2 𝑥2的单调递增区间，即在u（x）=(𝑥 1)211 4u（x）的单调递减区间为：（，1 故选：A3已知𝑙𝑜𝑔 8 =，则 a 等于（ ） 21A4B12C2 D4【解答】解：因为𝑙𝑜𝑔
5、9886;8 =323所以𝑎2= 8解得 a=4aa𝑏518𝑎4536𝑙𝑜𝑔9×53=4×93323故选：D4（2015 秋高密市期中）若 0a1，实数 x，y 满足|x|=log 象是（ ）1𝑦，则该函数的图ABCD1【解答】解：由|x|=log ，得，𝑦1y= =𝑎|𝑥|𝑎𝑥，𝑥 0 ，𝑎𝑥，𝑥0又 0a1，函数在（，
6、0上递 j 减，在（0，+）上递增，且 y1， 故选：A5（2010 秋奉贤区期末）若𝑙𝑜𝑔189= 𝑎，18 = 5，则𝑙𝑜𝑔3645等于 （ ）𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 A B C D2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑎2【解答】解：18b=5 ，𝑏 =𝑙𝑜&#
7、119892; =𝑙𝑜𝑔2𝑙𝑜𝑔5323，又𝑎 =𝑙𝑜𝑔93𝑙𝑜𝑔183=22𝑙𝑜𝑔23，联立解得𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔2353=22𝑎2𝑏𝑎𝑙𝑜𝑔 =2
8、9897;𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔 22𝑙𝑜𝑔5 2=22×2𝑏𝑎22𝑎𝑎=𝑎𝑏2𝑎8 91031910313𝑥𝑙𝑜𝑔 324=49( )4 293𝑎𝑎2a23𝑎6计算 log 9log 10log 11log 32 的结果为（ ）5 1 3A4 B
9、C D3 4 5【解答】解：log 5𝑙𝑔2 5= 3𝑙𝑔2 3故选：B8𝑙𝑔9 𝑙𝑔10 𝑙𝑔11 𝑙𝑔32 𝑙𝑔329log 10log 11log 32= = =𝑙𝑔8 𝑙𝑔9 𝑙𝑔10 𝑙𝑔31 𝑙𝑔8二填空
10、题（共 5 小题）7（2015 秋淇县校级期中）若 xlog 2=1 ，则 2x= 3【解答】解：由 xlog32=1 ，得𝑥 =1𝑙𝑜𝑔 23= 𝑙𝑜𝑔 3，所以2 = 2 2 = 3，故答案为：328（2015 秋桐乡市校级期中）已知𝑎3=，其中 a0，则𝑙𝑜𝑔 9 𝑎4923； 𝑙𝑜𝑔𝑎231342【解答】解：a，3=92log= &#
11、39;𝑎32，log =log=2log31log =32 1故答案为： ， 3 39（2015闵行区一模）若 x 满足 4x 【解答】解：x 满足 4x=8，22x=23=8，则 x=32332 233𝑙𝑜𝑔 2× 3322232x=3，解得 x= 23故答案为： 2210（2008重庆）已知𝑎3=49（a0），则𝑙𝑜𝑔23𝑎 = 3【解答】解：已知𝑎23=49（a0），2 3 (𝑎 3 )22= ( )2
12、3322 𝑎 = ( ) 𝑙𝑜𝑔2𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 ( )33 33= 3，故答案为 311（2014 秋云浮期末）若 log 2=a ，log 5=b，则 3a+b= 10 【解答】解：3a+b=3 a×3b=3 3𝑙𝑜𝑔 53=2×5=10，或者由 log32=a，log 5=b 得 3a=2，3b=5 ，则 3a×3b=2×5=10，故答案为：10三解答题（共 2 小题）12（
13、2017 奉贤区一模）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 =2；（1） 求 a 和 f（x）的单调区间；（2） f（x+1）f（x）2(𝑎 2𝑥 + 𝑎 𝑥 2)（a0），且 f（1）【解答】解：（1）函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑎2𝑥+ 𝑎𝑥 2)（a0），且 f（1）=2，log （a2+a2）=2=log 4，
14、222222a=2log aloga+log𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2 2𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎 2 0 𝑎2 + 𝑎 2 = 4解得 a=2，f（x）=log （22x+2x2），设 t=22x+2x20，解得 x0，f（x）的递增区间（0，+）；（2）f （x+1）f（x）2，log （22x+2+2x+12）log2（22x+2x2）2=log4，22x+2+2x+124（22x+2x2），2x3，
15、xlog 3，x00xlog 3不等式的解集为（0，log 3）13设 a，b，c 是直角三角形的三边长，其中 c 为斜边，且 c1，求证：logaa+log（cb） （c+b） （cb）（c+b ）【解答】证明：由勾股定理得 a2+b2=c2log（c+b） （cb）a=1 1+𝑙𝑜𝑔 (𝑐+𝑏) 𝑙𝑜𝑔 (𝑐𝑏) 𝑙𝑜𝑔 (𝑐+𝑏)+𝑙&
16、#119900;𝑔 (𝑐𝑏)𝑙𝑜𝑔 (𝑐+𝑏)𝑙𝑜𝑔 (𝑐𝑏)𝑙𝑜𝑔 (𝑐 𝑏 )𝑙𝑜𝑔 (𝑐+𝑏)𝑙𝑜𝑔 (𝑐𝑏)=2(+) ()=2log（c+b ）alog （cb ）a原等式成立